то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

Вся эта картина характерна именно для явления резонанса, который должен наступать всякий раз, когда частота гармонической внешней силы совпадает с одной из нормальных частот колебательной системы. И действительно, сопоставив, с одной стороны, условия, определяющие частоты внешней силы, при которых амплитуды стоячих волн в стержне достигают максимального значения, а с другой – условия, определяющие частоты нормальных колебаний стержня, мы позднее убедимся что те и другие условия совпадают.

Сейчас мы рассмотрим явление резонанса в упругом стержне с энергетической точки зрения.

Как и в случае колебательной системы с одной или несколькими степенями свободы, вынужденные колебания в сплошной системе нарастают и поддерживаются за счет работы, совершаемой внешней силой. Резонанс наступает тогда, когда работа, совершаемая внешней силой за период, достигает максимума. Поскольку внешняя сила изменяется по гармоническому закону, то и движение конца стержня происходит по

Для того чтобы эта работа достигла максимума, прежде всего, как и в случае системы с одной степенью свободы, должно быть cosϕ = 1, т. е. угол сдвига фаз ϕ должен быть равен нулю, что действительно имеет место при

резонансе. Далее, необходимо, чтобы произведение амплитуд силы и скорости также достигло максимума. В системе с одной степенью свободы это условие выполняется «автоматически», так как при заданной внешней силе амплитуда скорости достигает максимума также при резонансе. Но в

сплошной системе амплитуды смещений и скоростей в разных точках системы, вообще говоря, различны. Если на систему действует гармоническая внешняя сила заданной амплитуды, то произведение амплитуд внешней силы и скорости достигает максимума там, где максимальна амплитуда скорости, т. е. в пучности скоростей. Следовательно, наиболее сильный резонанс будет наблюдаться в том случае, когда заданная внешняя сила приложена в том месте, где при колебаниях образуется пучность скорости. Если же заданная внешняя сила приложена в узле скоростей, где амплитуда скорости равна нулю, то работа внешней силы также будет равна нулю, и резонанс наблюдаться не будет.

Приведенные выше соображения относятся к тому простому случаю,

191

Рис. 6

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

когда внешнюю силу, действующую на конец стержня, можно считать заданной, т. е. считать, что она не зависит от характера движения конца стержня. Но это предположение справедливо только при определенных условиях. Чтобы выяснить, каковы должны быть эти условия, рассмотрим механизм, который на конец стержня может действовать с заданной внешней силой, меняющейся по гармоническому закону. Представим себе, что конец

А рычага этого механизма совершает гармоническое движение вдоль оси стержня х с заданной амплитудой X o (рис. 6). Если мы свяжем конец рычага

А с концом стержня В при помощи какой-либо упругой связи С, то эта связь будет действовать на конец стержня В с некоторой силой, меняющейся по гармоническому закону. Величина этой силы зависит, вообще говоря, не только от X o , но и от величины смещения конца стержня В; ведь величина

силы зависит от упругих свойств связи С и от величины ее деформации, которая определяется движением обоих концов связи Л и В.

Однако в том случае, когда жесткость связи гораздо меньше жесткости стержня, можно считать, что движется только конец А связи, а конец В практически покоится (мы всегда можем настолько уменьшить жесткость связи С, чтобы смещением точки В можно было пренебречь по сравнению со смещением точки А). Тогда практически сила, действующая со стороны связи С на конец стержня В, не зависит от движения этого конца. В этом случае силу, действующую на конец стержня В, можно считать заданной, так как она определяется только положением конца рычага Л, движение которого известно, и упругостью связи С, также известной. Таким образом, силу мож- но считать заданной в предельном случае, когда жесткость связи С очень мала по сравнению с жесткостью стержня.

Так же просто поддается рассмотрению другой предельный случай, когда жесткость связи С очень велика по сравнению с жесткостью стержня. Тогда конец стержня В должен двигаться так же, как и конец рычага А (деформацией очень жесткой связи можно пренебречь). Следовательно, в этом случае можно считать заданным движение конца стержня В. Конечно, это допущение справедливо лишь при условии, что не только связь С достаточно жесткая, но и что весь механизм достаточно жесткий, так что характер движения конца рычага А не изменяется под влиянием того, что конец рычага А жестко связан с концом стержня В.

Для того чтобы вызвать заданное движение конца стержня, механизм должен развивать большую силу, равную той упругой силе, которая возникает в крайнем слое стержня, прилегающем к концу В, когда этот конец совершает заданное движение1.

1 Рассмотренные случаи, когда жесткость связи, через которую действует внешняя сила, либо гораздо меньше, либо гораздо больше жесткости стержня, позволяют считать заданными соответственно либо внешнюю силу, либо движение конца стержня. Если же жесткость связи и жесткость стержня сравнимы между собой и задачу нельзя отнести ни к тому, ни к другому из рассмотренных предельных случаев, то не могут быть заданы ни сила, действующая на стержень, ни движение конца стержня. В этом случае приходится рассматривать взаимодействие стержня и приводящего его в колебание механизма, вследствие чего задача очень усложняется. Для того чтобы осуществить случай заданного движения конца

192

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Сила, развиваемая механизмом в этом случае, как и в предыдущем, совершает работу, за счет которой нарастают и поддерживаются колебания в стержне. Но так как в этом случае задано движение конца стержня, а значит, и амплитуда его скорости, то механизм совершает наибольшую работу за период в том случае, когда развивает наибольшую силу, т. е. когда он

приводит в движение то сечение стержня в котором возникают наибольшие упругие силы; это то сечение, в котором лежит пучность деформации. Следовательно, при заданном движении конца стержня наиболее сильный резонанс должен наблюдаться в том случае, когда условия таковы, что на этом конце образуется пучность деформации (и узел смещений). Наоборот,

если при заданном движении конца стержня на этом конце должны возникнуть узел деформаций и пучность смещений, то резонанс не наступит (так как сила, которую должен будет развивать механизм, а вместе с тем и работа этой силы будут очень малы). Таким образом, условия возникновения резонанса, полученные нами из энергетических соображений, совпадают с теми условиями, при которых, как показано амплитуда стоячей волны в стержне получается наибольшей.

Работа внешней силы идет на создание и поддержание энергии упругих колебаний стержня, т. е. потенциальной энергии упругой деформации и кинетической энергии движения элементов стержня. Так как колебания происходят во всем стержне то энергия, возникающая на одном конце стержня за счет работы внешней силы должна распространяться по стержню, чтобы поддерживать во всем стержне колебания, которые сопровождаются потерями энергии. Только предполагая, что при распространении и отражении волны потерь энергии не происходит, мы пришли к выводу, что

падающая и отраженная волны имеют одинаковую амплитуду и несут с собой одинаковую энергию в противоположных направлениях; в результате наложения этих двух волн энергия не должна течь по стержню, во всяком случае после того, как стоячая волна в стержне уже установилась (при

установлении стоячей волны картина течения энергии получается более сложной, и мы не будем ее рассматривать).

Действительно, когда падающая и отраженная волны имеют одинаковую амплитуду, то в узлах деформаций и скоростей амплитуды стоячей волны деформаций и скоростей соответственно обращаются в нуль. Но энергия может течь по стержню только в тех участках, где и деформация и скорость отличны от нуля. Следовательно, ни через сечения, в которых расположены узлы деформации, ни через сечения, в которых расположены узлы скоростей, энергия течь не может.

При наличии в стержне только одной стоячей волны, когда амплитуды в узлах смещений и скоростей падают до нуля, энергия может перемещаться только в пределах участка, ограниченного двумя соседними узлами смещений

жесткого сплошного стержня, потребовался бы очень жесткий механизм, приводящий в движение конец стержня. Но с помощью камертона на струне случай заданного движения легко может быть реализован.

193

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

и скоростей (которые, как мы знаем, расположены на расстоянии λ4 друг от

друга). Энергия, заключенная в этом участке, периодически превращается из потенциальной в кинетическую и обратно.

При этих превращениях энергия перемещается и в пространстве: когда вся энергия превратилась в потенциальную, то преобладающая часть ее сосредоточена вблизи пучности деформаций (так как плотность потенциальной энергии пропорциональна квадрату деформаций); когда через четверть периода вся энергия превращается в кинетическую, то

преобладающая часть ее оказывается сосредоточенной вблизи пучности скоростей (так как плотность кинетической энергии пропорциональна квадрату скоростей частиц). Таким образом, в течение четверти периода преобладающая часть энергии перемещается от одной пучности к другой, т. е. на расстояние порядка четверти длины волны; но если энергия

перемещается на расстояние порядка λ4 за время T4 , то скорость перемещения энергии v1 ≈ Tλ . Значит, скорости перемещения энергии в пределах участка стержня длиной λ4 , в котором она заключена, имеют тот же

порядок величины, что и скорости распространения по стержню бегущей волны и течения энергии в этой волне.

Как же изменится рассмотренная картина, если учесть, что при распространении волны в стержне происходят потери энергии? Вследствие этих потерь амплитуды как падающей, так и отраженной волн убывают по мере распространения: падающей – от начала стержня к его концу2, а отраженной – от конца к началу. Так как амплитуды падающей и отраженной волн в этом случае зависят от x (расстояния от начала стержня), то мы их будем обозначать соответственно через X1 (x) и X 2 (x), причем

X1 > X 2 и X1 (x) есть убывающая, а X 2 (x) – возрастающая функция x . Когда амплитуды двух волн, распространяющихся в противоположных направле- ниях, везде одинаковы, то амплитуды стоячей волны в пучностях, как мы видели, равны удвоенной амплитуде двух волн и одинаковы во всех пучностях. Если же две волны, распространяющиеся в противоположных

Первая из этих составляющих вместе со второй волной амплитуды X 2 (x) образует стоячую волну с амплитудами в пучностях, равными 2X 2 (x). Второй составляющей, распространяющейся от начала стержня к концу его, не

2 Для краткости мы будем называть началом стержня тот его конец, на который действует внешняя сила и у которого возникает падающая волна, а концом стержня – другой его конец, у которого происходит отражение падающей волны.

194

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

соответствует никакая волна, распространяющаяся в обратном направлении, и следовательно, вторая составляющая с амплитудой X1 (x)− X 2 (x) есть просто

пренебречь. Эта бегущая волна несет с собой энергию, возникающую у начала стержня за счет работы внешней силы; распространяясь по стержню, эта энергия расходуется на потери, происходящие при колебаниях во всех участках стержня (поэтому бегущая волна по мере распространения затухает).

Что касается стоячей волны с амплитудами 2X 2 (x) в пучностях, то эти

потерями энергии при отражении от конца стержня мы пренебрегаем). Если потери энергии в стержне или длина стержня столь значительны, что отраженная волна затухает, не достигнув начала стержня, т. е. X 2 (x)

обращается в нуль при x > 0 , то у начала стержня стоячая волна вовсе будет отсутствовать и возникнет только ближе к концу стержня. Это и есть уже упоминавшийся случай, когда явления, происходящие у конца стержня (отражение волны), никак не сказываются на явлениях, происходящих в начале стержня, и начальный участок стержня можно рассматривать как участок бесконечно длинного стержня, по которому распространяется только бегущая волна.

Присутствие в стержне помимо стоячей также и бегущей волны (существование которой, как мы убедились, обусловлено потерями энергии

встержне) приводит к тому, что в тех местах, где образовались узлы стоячей волны (либо смещений и скоростей, либо деформаций), амплитуды

соответственно смещений и скоростей или деформаций оказываются отличными от нуля, так как на стоячую волну налагается бегущая волна, амплитуды смещений, скоростей и деформаций которой нигде не обращаются

внуль. При этом чем больше потери энергии в стержне, тем меньше амплитуда X 2 (x) и тем больше амплитуда бегущей волны X1 (x)− X 2 (x) во всех точках

стержня, и в частности во всех узлах стоячей волны, в том числе в начале стержня (где хотя и образуется узел смещений и скоростей стоячей волны, но где результирующие амплитуды смещений и скоростей не равны нулю, а имеют тем большие значения, чем больше потери энергии в системе). Этот вывод подтверждает справедливость тех представлений, из которых мы

исходили выше при обсуждении вопроса о величине амплитуды стоячих волн в пучности для случая стержня, один конец которого совершает заданное движение.

Вернемся теперь к вопросу о тех соотношениях между нормальными частотами стержня и частотами внешней силы, при которых амплитуды стоячей волны в стержне достигают наибольшей величины.

195

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

При сопоставлении этих частот необходимо иметь в виду, что граничное

условие для неподвижно закрепленного конца стержня представляет собой частный случай граничного условия для конца стержня, совершающего заданное гармоническое движение. Это видно уже из того, что от второго граничного условия можно перейти к первому, положив амплитуду гармонического движения равной нулю. Вместе с тем, как мы видели, и при

том и при другом граничном условии на конце стержня образуется узел смещений и скоростей и пучность деформаций. Значит, стержень, у которого один конец закреплен неподвижно, а другой совершает заданное движение, является аналогом стержня с двумя закрепленными неподвижно концами, а стержень" у которого один конец свободен, а другой совершает заданное движение, – аналогом стержня с одним свободным и одним неподвижно закрепленным концом. По соображениям такого же характера, как приведенные выше, конец стержня, на который действует заданная сила, нужно считать аналогом свободного конца.

Учтя все сказанное, мы можем констатировать, что частоты нормальных колебаний стержня и частоты действующей на стержень внешней силы, при которых амплитуды стоячих волн в пучностях достигают максимума, при аналогичных краевых условиях совпадают: при одинаковых краевых

условиях на обоих концах стержня на длине стержня должно укладываться целое число полуволн, а при разных краевых условиях на обоих концах стержня – нечетное число четвертей волн.

Итак, мы убедились, что возникновение в стержне под действием

гармонической внешней силы стоячих волн значительной амплитуды представляет собой явление резонанса: внешняя сила поддерживает сильные вынужденные колебания, частота и распределение амплитуд которых очень

близки к частоте и распределению амплитуд одного из нормальных колебаний стержня. Роль внешней силы сводится при этом лишь к компенсации потерь энергии в стержне. Представим себе, что после установ- ления стоячей волны потери энергии в стержне начинают уменьшаться, но вместе с тем мы уменьшаем амплитуду внешней силы (или заданного движения) так, чтобы амплитуда стоячей волны оставалась неизменной. В пределе, когда потери энергии в системе совсем прекратятся и амплитуда внешней силы обратится в нуль, в стержне останется стоячая волна, совершенно идентичная с соответствующим нормальным колебанием стержня. Таким образом, свойственные сплошной системе без потерь нормальные колебания тождественны со стоячими волнами, которые могут возникать в этой системе.

Этот вывод позволяет обосновать то положение, которым мы

пользовались без доказательства при рассмотрении нормальных колебаний в сплошной системе. Ранее мы полагали, что распределение амплитуд нормальных колебаний должно быть либо синусоидальным, либо косинусоидальным; теперь мы можем это положение считать обоснованным, поскольку мы убедились, что распределение амплитуд стоячих волн

196

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

действительно является синусоидальным или косинусоидальным, а значит, таким же оно должно быть для нормальных колебаний.

Как мы убедились, под действием внешней силы в случае резонанса в системе возбуждаются стоячие волны, по характеру распределения амплитуд близкие к тому из нормальных колебаний системы, частота которого совпадает с частотой внешнего воздействия. В других случаях возбуждения

интенсивных колебаний в сплошной системе дело обстоит аналогичным образом. Так, в случае параметрического возбуждения колебаний интенсивные колебания возникают, когда частота колебаний ножки камертона вдвое больше одного из нормальных колебаний струны, и рас- пределение амплитуд колебаний будет такое же, как для соответствующего нормального колебания струны: на струне укладывается «половина синусоиды», «целая синусоида», «полторы синусоиды» и т. д.

Так же обстоит дело и в случае возбуждения автоколебаний в сплошной системе. Рассуждая упрощенно, можно считать, что механизм, обусловливающий возникновение автоколебаний в системе, компенсируя потери энергии в системе, поддерживает нормальные колебания этой системы. Например, в смычковых музыкальных инструментах (скрипка и др.) характеристика силы трения между смычком и струной такова, что часть работы, совершаемой этой силой, идет на пополнение потерь энергии, происходящих при колебаниях струны. При автоколебаниях в большинстве случаев возбуждается колебание, частота которого близка к основному тону системы; однако в некоторых специальных случаях возможно возникновение автоколебаний, близких к одному из обертонов системы.

Если затухание собственных колебаний в системе мало, то механизм, поддерживающий автоколебания, подводит к системе за период энергию, составляющую лишь малую долю всей энергии, которой обладает колеблющаяся система. Поэтому он очень мало изменяет характер поддерживаемых колебаний; автоколебания как по частоте, так и по

распределению амплитуд оказываются близкими к нормальным колебаниям системы. Например, при игре на скрипке обычно основной тон колебаний таков, что для него вдоль свободной части струны – от пальца, прижимающего ее к грифу, до подставки – укладывается половина длины волны. Частота колебаний скрипичной струны, возбуждаемой смычком, совпадает с частотой собственных колебаний, которые получаются, если эту струну оттянуть, а затем отпустить.

Во всех рассмотренных случаях энергия, необходимая для возбуждения и поддержания колебаний в сплошной системе, подводится к одному определенному участку системы; потери же энергии происходят во всей системе. Поэтому наряду со стоячими волнами в системе принципиально должны существовать и бегущие волны (хотя при малых потерях амплитуда этих последних мала по сравнению с амплитудой стоячих волн).

197

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Волны в сплошной среде.

Мы рассмотрели выше картину распространения бегущих волн в стержне и струне. В системах такого типа распространение волн могло происходить только по одному определенному направлению. Вообще же в упругой сплошной среде, например в упругом теле больших размеров, в воде или в воздухе, волны могут распространяться по всем направлениям. При этом картина распространения волн принципиально остается прежней, однако возникает ряд новых вопросов, на которых мы сейчас и остановимся.

Прежде всего, при распространении во всех направлениях волна, вообще говоря, захватывает все большие и большие области пространства. Поэтому энергия, которую несет с собой волна, занимает все большие и большие объемы, и при распространении волны плотность энергии убывает; а это связано с соответствующим уменьшением амплитуды распространяющейся волны. Таким образом, даже в отсутствие потерь в среде происходит уменьшение амплитуды волны при распространении. Только в специальном случае

распространения так называемой плоской волны в среде амплитуда волны остается постоянной.

Такую плоскую волну в среде мы получим, если поместим в упругую среду большую пластину, колеблющуюся в направлении нормали к пластине. Все точки среды, прилегающие к пластине, совершают колебания с одинаковыми амплитудой и фазой. Эти колебания будут распространяться в виде волн в направлении, нормальном к пластине. Все точки среды, лежащие на любой плоскости, параллельной пластине, совершают колебания в одной и той же фазе. Эти плоскости, параллельные пластине, представляют собой поверхности равной фазы, или волновые поверхности. Энергия волны, заключенная между двумя поверхностями равной фазы, распространяется вместе с волной, занимая все время один и тот же объем. Поэтому плотность энергии в плоской волне остается неизменной, а следовательно, остается неизменной и амплитуда волны. Уравнение плоской волны имеет

вид

где x – расстояние точки от пластины (источника волн), а v – скорость распространения волн. Плоскую волну, строго говоря, нельзя осуществить в неограниченной сплошной среде. Только на ограниченных расстояниях от источника можно получить в сплошной среде картину, близкую к распространению плоской волны, т. е. волны, амплитуда которой не изменяется с расстоянием.

Для того чтобы выяснить, как изменяется амплитуда волны при распространении, можно воспользоваться связью между амплитудой волны и плотностью энергии. Эта связь легко может быть установлена. Так как

плотность энергии упругой деформации пропорциональна квадрату деформации, а плотность кинетической энергии пропорциональна квадрату

198

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

скорости, то плотность энергии, которую несет с собой волна, пропорциональна квадрату амплитуды волны (амплитуды смещений и амплитуды скоростей волны пропорциональны друг другу). Поэтому, зная, как изменяется плотность энергии волны, мы сразу сможем сказать, как изменяется ее амплитуда.

Рассмотрим волну, распространяющуюся из одной точки по всем направлениям в однородном пространстве, т. е. с одинаковой скоростью. Фаза волны в точке, находящейся на некотором расстоянии от источника, будет связана с фазой волны у источника так же, как и в случае волны, распространяющейся по одному направлению. Если у источника волны

колебания среды происходят по закону

ξ = X o sin ω × t ,

то в точке, находящейся на расстоянии r от источника, колебания будут

происходить по закону

Во всех точках, находящихся на одинаковых расстояниях от источника, фаза волны в каждый момент будет одна и та же. Всякая шаровая поверхность, центр которой совпадает с источником волны является волновой поверхностью. Плоский участок волновой поверхности называется фронтом волны.

Выберем какие-либо две близкие поверхности равной фазы, отстоящие на определенном расстоянии друг от друга, и будем следить за энергией волны, заключенной между этими поверхностями. Эта энергия будет двигаться вместе с волной и, следовательно, будет все время занимать объем шарового слоя неизменной толщины, заключенного между поверхностями равной фазы. Этот объем при распространении волны растет как r 2 , и значит, плотность энергии

волны убывает как r12 . А так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды волны, то амплитуда волны будет убывать как 1r . Следовательно, если амплитуда волны на расстоянии от источника, равном единице, есть X1 ,

Это – уравнение шаровой волны. Шаровую волну возбуждал бы, например, однородный пульсирующий шар, помещенный в упругой среде.

Всем прилегающим частицам среды пульсирующий шар будет сообщать одинаковое колебательное движение в радиальных направлениях, которое и будет распространяться в среде в виде шаровой волны.

На практике редко приходится иметь дело с такими источниками волн, как пульсирующий шар. Однако и тела более сложной формы, колеблющиеся

199

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

более сложным образом, создают в окружающей среде волны, которые на

достаточно большом расстоянии от источника в некоторой ограниченной области пространства можно считать подобными шаровым в смысле закона убывания амплитуды с расстоянием от источника, т. е. колеблющееся тело можно рассматривать как точечный источник.

Если волны от точечного источника распространяются во все стороны только в тонком слое, ограниченном двумя параллельными плоскостями, то в этом слое поверхностями равной фазы будут служить цилиндры малой высоты, центры которых совпадают с источником. Вдали от источника можно считать, что энергия волны, заключенная между двумя поверхностями равной фазы (двумя коаксиальными цилиндрами), будет двигаться вместе с этими поверхностями. Объем, заключенный между ними,

будет расти как г; следовательно, плотность энергии будет убывать как 1r , а

где X1 – амплитуда волны на расстоянии от источника, равном единице.

Такая волна носит название круговой волны.

Если очень большое число источников волн, расположенных на одной прямой близко один от другого, создает волны одинаковой амплитуды и фазы, то во всех плоскостях, перпендикулярных к этой прямой, будут распространяться круговые волны также одинаковой амплитуды и фазы.

Поверхностями равной фазы будут служить бесконечные коаксиальные цилиндры, на осях которых лежат источники волны. Такая волна называется цилиндрической. Уравнение цилиндрической волны имеет такой же вид, как и уравнение круговой волны (13), и справедливо для любой плоскости, перпендикулярной к прямой, на которой лежат источники волн.

Волны на поверхности жидкости.

Все сказанное относительно различных типов волн относится в одинаковой мере как к продольным, так и к поперечным волнам в сплошной среде. Нужно лишь иметь в виду, что поперечные волны могут возникать только в упругих твердых телах. В жидкостях и

газах могут возникать только продольные упругие волны. Но на поверхности жидкости или границе двух жидкостей могут возникать волны, по своему характеру близкие к поперечным волнам в упругих телах.

Возникновение волн на поверхности жидкости обусловлено не упругими силами в жидкости, а силой тяжести. Если в какой-либо точке поверхность жидкости будет нарушена (например, в воду упадет капля), то

200

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com