то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

всех точках одни и те же), можно рассмотрение «куска волны» заменить рассмотрением одного луча.

Казалось бы, что, выбирая «куски волн» достаточно малыми, мы всегда сможем достичь этого. Однако в действительности это не так. В самом деле, если размеры «куска волны» сравнимы с длиной волны, то даже если бы его можно было считать куском плоской волны, он не будет распространяться весь в одном направлении. В этом мы убедились, рассматривая прохождение плоской волны через узкую щель.

Щель вырезает «кусок плоской волны», но если ее ширина сравнима с длиной волны, то после щели этот «кусок плоской волны» распространяется во все стороны, а вовсе не в одном направлении (рис. 17). Поэтому представление о лучах применимо только в тех случаях, когда всякий кусок волны, размеры которого велики по сравнению с длиной волны, можно считав «куском плоской волны». Если на волновой поверхности есть такие места, в

которых амплитуда или фаза волны на расстоянии порядка длины волны сколько-нибудь заметно изменяются, представление о лучах оказывается неприменимым. Так именно обстояло дело в рассмотренных выше явлениях дифракции. Например, вблизи края экрана, где амплитуда волны резко изменяется, картину распространения волны нельзя описать при помощи лучей.

В однородной среде лучи представляют собой прямые, и следовательно, если представление о лучах применимо, мы должны получить картину прямолинейного распространения волн, образования геометрической тени и т. д. В рассмотренных же явлениях этой картины не получалось именно потому, что создавались условия, при которых на отдельных участках волновой

поверхности амплитуда волны заметно изменяется на расстоянии длины волны и представление о луче оказывается неприменимым. Отклонения от прямолинейного распространения волн, обусловленные этими причинами, и называются явлением дифракции.

Дифракционные явления свойственны всяким волновым процессам; в частности, они наблюдаются и при распространении световых волн. Однако, так как длина световых волн очень мала (порядка 10−4 см), то препятствия даже малых, в обычном смысле, размеров все еще велики по сравнению с длиной световой волны. Поэтому-то в оптике так широко можно применять представление о луче и пользоваться законами геометрической оптики.

Гармонические и негармонические волны.

В заключение остановимся на вопросе о форме волн и о том особом месте, которое среди всевозможных по форме волн занимают гармонические волны. Прежде всего, при рассмотрении картины распространения бегущей волны в стержне мы пришли к выводу, что если на конец стержня действует гармоническая внешняя сила, заставляющая конец стержня совершать гармоническое движение, то и волна, бегущая по стержню, является гармонической. Этот вывод являлся непосредственным следствием того, что

211

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

всякие упругие импульсы, независимо от их формы, распространяются по стержню с одинаковой скоростью и не изменяя своей формы. Правда, это

последнее утверждение справедливо только при известных условиях но эти условия часто соблюдаются как в стержнях, так и во многих других упругих телах и средах, как твердых, так и жидких или газообразных. Тогда, если источник, возбуждающий волны, совершает гармонические колебания, то в

большинстве случаев возникающие волны также оказываются гармоническими.

Уже по одному этому гармонические волны должны занимать среди всех других форм волн особое место в соответствии с тем особым местом, которое среди всех других форм колебаний занимают гармонические колебания. Особое положение гармонических колебаний, как указывалось, обусловлено тем, что они обладают такой «устойчивостью формы», которой не обладают никакие другие колебания. Но гармонические волны независимо от «устойчивости формы» гармонических колебаний обладают некоторой «собственной устойчивостью формы», которой не обладают негармонические волны.

Эта «собственная устойчивость формы» гармонических волн сказывается в ряде рассмотренных нами явлений: в явлениях дисперсии, интерференции, дифракции всякие волны, отличающиеся по форме от гармонических, испытывают те или иные искажения формы, и только гармонические волны сохраняют свою форму неизменной. Искажения формы негармонических волн во всех этих явлениях возникают, а в случае гармонических волн искажение формы волны не происходит, потому что количественные характеристики явления существенно зависят от длины волны.

Так, например, явление дисперсии, как уже упоминалось, состоит в том, что скорость распространения гармонических волн зависит от длины волны (но при распространении гармоническая волна не изменяет своей формы). Если источник возбуждает негармоническую волну, то ее можно разложить в спектр гармонических волн. Наглядно представить себе этот спектр можно следующим образом. Разложим в спектр негармоническое колебание источника, создающего рассматриваемую негармоническую волну, т. е. представим это негармоническое колебание как сумму гармонических колебаний с определенными частотами, амплитудами и фазами. Каждое из этих

гармонических колебаний возбуждает в окружающем пространстве гармоническую волну. Все гармонические волны, возбуждаемые отдельными гармоническими колебаниями, и представляют собой спектр гармонических волн, составляющих исходную негармоническую волну. Как и в случае спектра колебаний, частоты гармонических волн определяются частотой исходной негармонической волны, а амплитуды и фазы гармонических волн определяются формой исходной негармонической волны.

Если бы все эти гармонические волны распространялись с одинаковой скоростью независимо от длины волны, т. е. отсутствовала дисперсия (положим, что отсутствует и поглощение), то соотношения между

амплитудами и фазами различных гармонических волн спектра не изменялись бы при распространении волн. А это значит, что исходная негармоническая

212

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

волна не изменяла бы своей формы. Но при наличии дисперсии скорость составляющих гармонических волн разной длины оказывается различной, и

вследствие этого соотношения между фазами разных гармонических составляющих изменяются по мере распространения волн, а вместе с тем все время изменяется форма исходной, негармонической волны. Таким образом, любая отличная от гармонической форма волны оказывается «неустойчивой» при наличии дисперсии.

«Неустойчивой» оказывается негармоническая форма волны и при наличии поглощения, если это поглощение зависит от длины волны. В таком случае составляющие гармонические волны разной длины по-разному поглощаются при распространении, и соотношения между амплитудами различных составляющих изменяются, т. е. изменяется форма исходной негармонической волны. Если поглощение растет с укорочением длины волны (как это обычно бывает в случае упругих волн), то по мере

распространения составляющие спектра негармонической волны затухают тем раньше, чем короче волна, и волна по форме все больше и больше приближается к гармонической волне, являющейся первой гармоникой исходной негармонической волны.

Несколько иначе проявляется «неустойчивость» формы негармонической волны при интерференции волн. При интерференции гармонических волн в пространстве появляются чередующиеся максимумы и минимумы (положение которых зависит от длины волны), но форма волны во всем пространстве остается гармонической (мы в этом убедились непосредственно при рассмотрении простейшего случая интерференции — образования стоячих волн). При интерференции негармонических волн (конечно, форма обеих интерферирующих волн в каждой точке должна быть одна и та же, иначе не будет соблюдено условие когерентности) максимумы и минимумы для

составляющих гармонических волн разной длины расположатся в разных местах; вследствие этого соотношения между амплитудами составляющих

гармонических волн в результирующей волне окажутся различными для разных точек пространства и, вообще говоря, существенно иными, чем в исходной негармонической волне, а значит, исказится форма исходной негармонической волны.

Примерно так же происходят искажения формы негармонических волн при дифракции. Распределение амплитуд в дифрагированной волне существенно зависит от длины волны (например, при дифракции волны, проходящей через малое отверстие, распределение амплитуд

дифрагированной волны зависит от отношения диаметра отверстия к длине волны). Вследствие этого соотношение между амплитудами гармонических составляющих в дифрагированной волне оказывается не таким, как в падающей волне; форма всякой негармонической волны искажается при дифракции.

В приведенных примерах «устойчивость формы» гармонических волн выступает еще более резко, чем «устойчивость формы» гармонических колебаний. Еще в большей степени, чем гармонические колебания при

213

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

рассмотрении колебательных явлений, гармонические волны при рассмотрении волновых явлений играют исключительно важную роль.

Движение твёрдого тела. Гироскопы.

Угловая скорость.

Здесь и далее твердым телом мы будем называть систему ма- териальных точек, расстояния между которыми неизменны. Реально существующие в природе системы могут, конечно, удовлетворять этому условию лишь приближенно. Однако большинство твердых тел в обычных условиях так мало изменяет свою форму и размеры, что при изучении законов движения твердого тела, рассматриваемого как нечто целое, мы мо- жем пренебречь этими изменений.

В дальнейшем изложении мы будем часто рассматривать твердое тело как дискретную совокупность материальных точек, чем достигается некоторое упрощение выводов. Это, однако, ни в какой степени не противоречит тому обстоятельству, что в

действительности твердые тела можно обычно рассматривать в механике как сплошные,

совершенно не интересуясь их внутренней структурой. Переход от формул, содержащих суммирование по дискретным точкам, к

формулам для сплошного тела осуществляется просто заменой масс частиц на массу ρ × dV , заключенную в элементе объема dV ( ρ -

координат x1 = х, х2 = у, х3 = z, которая предполагается жестко связанной с твердым телом и участвующей во всех его движениях. Начало движущейся системы координат удобно совместить с центром инерции тела.

Положение твердого тела относительно неподвижной системы координат вполне определяется заданием положения движущейся системы. Пусть радиус-вектор R указывает положение начала О движущейся системы (рис. 1). Ориентация же осей этой системы относительно неподвижной определяется тремя независимыми углами, так что вместе с тремя компонен- тами вектора R мы имеем всего шесть координат. Таким образом, всякое

твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы.

Рассмотрим произвольное бесконечно малое перемещение твердого тела. Его можно представить в виде суммы двух частей. Одна из них есть

214

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Второе из этих равенств весьма существенно. Мы видим, что угловая скорость, с которой вращается в каждый данный момент времени жестко связанная с телом система координат, оказывается совершенно не зависящей от этой системы. Все такие системы вращаются в заданный момент времени

вокруг параллельных друг другу осей с одинаковой по абсолютной величине скоростью Ω . Это обстоятельство и дает нам право называть Ω угловой скоростью вращения твердого тела как такового. Скорость же поступательного движения такого “абсолютного” характера отнюдь не имеет.

Из первой формулы (3) видно, что если V и Ω (в данный момент времени) взаимно перпендикулярны при каком-либо выборе начала координат О, то они (т. е. V ′ и Ω ') взаимно перпендикулярны и при определении по отношению к любому другому началу О'. Из формулы (2) видно, что в этом случае скорости v всех точек тела лежат в одной и той же плоскости — плоскости, перпендикулярной к Ω . При этом всегда можно выбрать такое начало O′ *), скорость V ′ которого равна нулю, что движение твердого тела (в данный момент) будет представлено как чистое вращение вокруг оси, проходящей через О'. Эту ось называют мгновенной осью вращения тела**).

В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что начало движущейся системы координат выбрано в центре инерции тела, так что и ось вращения тела проходит через этот центр. При движении тела меняются, вообще говоря, как абсолютная величинаΩ , так и направление оси вращения.

*Оно может, конечно, оказаться лежащим и вне объема тела.

**В общем же случае не взаимно перпендикулярных направлений V и Ω начало координат можно выбрать таким образом, чтобы V и Ω стали параллельными, т. е. движение (в данный момент времени) будет совокупностью вращения вокруг некоторой оси и поступательного перемещения вдоль этой же оси.

216

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Тензор инерции.

Для вычисления кинетической энергии твердого тела будем рас- сматривать его как дискретную систему материальных точек. Тогда можно написать:

T = å mv2 2

где суммирование производится по всем малым элементам, составляющим тело. Здесь и ниже мы опускаем индексы, нумерующие эти элементы, с целью упрощения записи формул, Подставив сюда (2), получим:

Скорости V и Ω одинаковы для всех точек твердого тела. Поэтому в первом члене V2/2 выносится за знак суммы, а сумма å m есть масса тела, которую мы будем обозначать посредством m. Во втором члене пишем:

Отсюда видно, что если начало движущейся системы координат выбрано, как условленно, в центре инерции, то этот член обращается в нуль, так как тогда å mr =0 . Наконец, в третьем члене раскрываем квадрат векторного произведения и в результате находим:

(3

)

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела может быть представлена в виде суммы двух частей. Первый член в (3) есть кинетическая энергия поступательного движения – она имеет такой вид, как если бы вся масса тела была сосредоточена в его центре инерции. Второй член есть кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью Ω во- круг оси, проходящей через центр инерции. Подчеркнем, что возможность

такого разделения кинетической энергии на две части обусловлена выбором начала связанной с телом системы координат именно в его центре инерции.

Перепишем кинетическую энергию вращения в тензорных

3Здесь буквами i, j, k обозначаются тензорные индексы, пробегающие значения 1, 2,

3.При этом везде применяется известное правило суммирования, согласно которому знаки сумм опускаются, а по всем дважды повторяющимся (так называемым «немым») индексам

217

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Имеем:

Tвр = 12 å m{Ωi2xi2-ΩixiΩk xk}=12å m{ΩiΩkδik xl2-ΩiΩk xixk}= 12 ΩiΩk å m(xl2δik -xixk ).

Здесь использовано тождество Wi =δikWk , где δik – единичный тензор,

известный как символ Кронекера (компоненты которого равны единице при i = k и нулю при i ¹ k ). Введя тензор

Iik = åm(xl2δik -xi xk ),

(4

)

получим окончательное выражение для кинетической энергии твердого тела в виде

T = μV2 2 + 12 IikWiWk .

(5

)

Функция Лагранжа твердого тела получается из (5) вычитанием

потенциальной энергии

частицы в этом поле, а mv2 2 - кинетическая энергия этой частицы.

Потенциальная энергия является в общем случае функцией шести переменных, определяющих положение твердого тела, например, трех координат X, Y, Z центра инерции и трех углов, определяющих ориентацию движущихся осей координат относительно неподвижных.

Тензор Iik называется тензором моментов инерции или просто

тензором инерции тела. Из определения (4) следует, что он симметричен, т. е.

подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3; так, AiBi = AB, Al2 = Al Al = A2и т. д.

Обозначение немых индексов можно, очевидно, менять произвольным образом (лишь бы оно

не совпало с обозначением других фигурирующих в данном выражении тензорных индексов).

218

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Выпишем для наглядности его компоненты в явном виде в следующей таблице:

относительно соответствующих осей.

Тензор инерции, очевидно, аддитивен – моменты инерции тела равны суммам моментов инерции его частей,

Если твердое тело можно рассматривать как сплошное, то в определении (4) сумма заменяется интегралом по объему тела (поскольку число точек тела бесконечно):

Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции

может быть приведен к диагональному виду путем соответствующего выбора направлений осей x1 , x2 , x3 . Эти направления называют главными осями

инерции, а соответствующие значения компонент тензора — главными моментами инерции. Обозначим их как I1, I2, I3. При таком выборе осей x1 , x2 , x3 кинетическая энергия вращательного движения тела выражается очень просто:

Отметим, что каждый из трех главных моментов инерции не может быть больше суммы двух других. Так,

Тело, у которого все три главных момента инерции I1, I2, I3 различны,

называют асимметрическим волчком.

Если два главных момента инерции равны друг другу, т.е. I1 =I2 ¹I3 ,

то твердое тело называют симметрическим волчком. В этом случае выбор направления главных осей в плоскости x1 x2 произволен.

Если же все три главных момента инерции совпадают, то тело называют шаровым волчком. В этом случае произволен выбор всех трех главных осей инерции; в качестве их можно взять любые три взаимно перпендикулярные оси.

219

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Нахождение главных осей инерции очень упрощается, если твердое тело обладает той или иной симметрией; ясно, что положение центра

инерции и направления главных осей инерции должны обладать той же симметрией.

Так, если тело обладает плоскостью симметрии, то центр инерции должен лежать в этой плоскости. В ней же лежат две главные оси инерции, и третья — перпендикулярна к ней. Очевидным случаем такого рода является система частиц, расположенных в одной плоскости. В этом случае

существует простое соотношение между тремя главными моментами инерции. Если плоскость системы выбрана в качестве плоскости x1 x2 , то поскольку для всех частиц x3 = 0 , имеем:

инерции лежит на этой оси. С ней же совпадает одна из главных осей инерции, а две другие — перпендикулярны к ней. При этом если порядок оси симметрии выше второго, то тело является симметрическим волчком. Действительно, каждую главную ось (перпендикулярную к оси симметрии) можно повернуть тогда на угол, отличный от 180°, и тогда выбор этих осей становится неоднозначным, а это возможно лишь в случае симметрического волчка.

Особым случаем является система частиц, расположенных вдоль одной прямой линии. Если выбрать эту прямую в качестве оси x3, то для всех

Такую систему называют ротатором. Характерной особенностью ротатора в отличие от общего случая произвольного тела является то, что он имеет всего две (а не три) вращательные степени свободы, соответствующие вращениям вокруг осей x1 и x2 , говорить же о вращении прямой вокруг самой себя, очевидно, не имеет смысла.

Теорема Штейнера.

Наконец, сделаем еще одно замечание по поводу вычисления тензора инерции. Хотя мы определили этот тензор по отношению к системе координат с началом в центре инерции (только при таком определении справедлива основная формула (5)), но для его вычисления может иногда

оказаться удобным вычислить предварительно аналогичный тензор

220

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com