то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

Амплитуда колебаний всех точек стержня в нашем случае одна и та же, но фаза колебаний различных точек различна. Для двух точек, находящихся на расстоянии x1 друг от друга, фазы колебаний, как видно из

(2), сдвинуты на 2π xλ1 . На расстоянии λ при фиксированном t аргумент

функции (2), т. е. фаза колебаний, изменяется на величину 2π .

Наблюдая все время какую-либо фиксированную точку стержня, мы обнаружим, что она совершает гармонические колебания. Если же мы будем двигаться вдоль стержня со скоростью v , то вообще не обнаружим никаких колебаний. Все сечения стержня, против которых мы будем находиться в каждый момент, будут в этот момент иметь одно и то же смещение.

Такое гармоническое движение отдельных сечений стержня, рас- пространяющееся вдоль стержня с некоторой определенной скоростью, называется гармонической бегущей волной. Смещение в гармонической бегущей

волне является гармонической функцией аргумента t - vx , т. е. как во времени

для фиксированной точки в пространстве, так и в пространстве для

фиксированного момента времени смещение изменяется по закону синуса или косинуса.

Рассмотрим теперь, как распределяются в такой бегущей по стержню упругой волне скорости и деформации. Прежде всего, если смещение какой-

либо точки стержня изменяется по закону

данной точки стержня достигает максимума, Рис. 2 когда смещение этой точки падает до нуля.

Представим себе для какого-то момента времени распределения смещений и скоростей волны в стержне. Если мы отметим сечения 1 и 1' которые имеют в данный момент наибольшее смещение (рис. 2а), то в этот же момент наибольшую скорость имеют

сечения 2 и 2', находящиеся на расстоянии λ4 от мест наибольшего

смещения (смещения указаны вертикальными штриховыми линиями, скорости – горизонтальными стрелками). Можно сказать, что волна

скоростей сдвинута относительно волны смещений по времени на T4 , а в

181

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

пространстве – на λ4 . Чтобы выяснить характер распределения деформаций

в бегущей волне, нужно принять во внимание, что величина деформации сжатия стержня, вызванной колебаниями, зависит не от абсолютных величин смещения соседних сечении стержня, а от того, как быстро изменяется смещение от сечения к сечению. Там, где смещение наи- большее (в сечениях 1, 1'), стержень вообще не деформирован. Наобо- рот, в сечениях 2 и 2', где смещение проходит через нуль, деформация оказывается наибольшей. Максимумы деформаций в бегущей волне совпадают с минимумами смещений, т. е. с максимумами скоростей.

Чтобы пояснить эту картину, представим себе, что мы нанесли

на боковой поверхности стержня линии на равном расстоянии друг от друга. Деформации стержня вызовут изменения расстояний между этими линиями. На рис. 2б таким способом изображено мгновенное распределение деформаций стержня, соответствующее тому же моменту времени, для которого на рис. 2а приведено распределение смещений (конечно, смещения и деформации на этих рисунках преувеличены).

Для того чтобы найти распределение деформаций в бегущей волне, выделим слой стержня толщиной dx . Пусть продольные смещения границ этого слоя соответственно равны ξ1 и ξ2 . Это значит, что толщина

слоя изменилась на Dξ = ξ2 - ξ1 . Относительное изменение толщины слоя, т. е. растяжение, равно ε = Dξx , или для бесконечно тонких слоев

другую сторону, чем волна скоростей. Следовательно, волна скоростей и волна деформаций сдвинуты на λ2 . Другими словами волна деформаций

противоположна по фазе волне скоростей. Слои стержня, которые в данный момент имеют положительную скорость (т. е. движутся в направлении + x ), в этот же момент имеют отрицательную деформацию, т. е. оказываются сжатыми. В тот момент когда изменяется знак скорости слоя, изменяется и знак деформации; она становится положительной. Слои, движущиеся в направлении + x , оказываются растянутыми (напомним, что мы рассматриваем волну, распространяющуюся в направлении + x ).

При распространении упругой волны распространяются волна скоростей, несущая с собой кинетическую энергию, и волна деформаций, несущая с собой потенциальную энергию. Происходит перенос энергии так же,

182

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

как при распространении отдельного импульса. Течение энергии в определенном направлении происходит так же, как и в случае одного импульса. Деформированные элементы стержня движутся и при этом передают

свою потенциальную и кинетическую энергию следующим элементам стержня. Энергия течет по стержню с той же скоростью, с какой распространяется волна. Но, как мы видели при движении сжатого упругого тела, энергия течет в направлении движения тела; наоборот, при движении растянутого тела энергия течет в направлении, противоположном движению тела. Поэтому, хотя направление движения слоев стержня дважды изменяется за период, но вместе с тем меняется и знак деформации, так что энергия все время течет в направлении + x , т. е. в направлении распростра- нения бегущей волны.

При распространении бегущей волны энергия постепенно рассеивается вследствие внутреннего трения в теле. Но если трение невелико, то

рассеянием энергии на расстоянии немногих длин волн можно пренебречь и на этом расстоянии рассматривать процесс как незатухающую бегущую волну. Вместе с тем, если на длине стержня укладывается очень большое число волн, то бегущая волна успеет полностью затухнуть, и другой конец стержня не будет играть роли. Таким образом, результаты, полученные нами для бесконечно длинного стержня, не обладающего затуханием, применимы к тем случаям, когда затухание бегущих волн на расстоянии одной длины волны очень мало, но на всей длине стержня укладывается очень большое число волн. Если же при малом затухании на всей длине стержня укладывается небольшое число длин волн, то бегущая волна достигает другого конца стержня, почти не затухая. Второй конец стержня в этом случае играет существенную роль и изменяет всю картину. Возникают новые явления, которые мы рассмотрим в следующем параграфе.

Рис. 3

Рис. 4

Все сказанное относительно бегущих волн в стержне можно перенести на случай распространения бегущих волн в струне. Представим себе очень длинную натянутую струну, ближний конец которой мы приводим в

гармоническое колебание по закону

ξo = Xo sinω ×t

внаправлении, перпендикулярном к струне. Смещения ξo начальной

точки струны будут передаваться следующим точкам, от них – к следующим и т. д. Вдоль струны побегут поперечные волны, причём скорость распространения этих волн будет такая же, как для одиночного импульса.

183

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Бегущие волны в струне.

Картину распространения бегущей волны по струне можно наглядно представить себе следующим образом. Вообразим трубку, изогнутую в виде синусоиды с амплитудой X o и расстоянием между максимумами λ = vT , где

v – скорость распространения импульса вдоль струны, а T – период тех колебаний, которые совершает конец струны. Продёрнем струну в эту трубку и затем будем двигать трубку вдоль по струне со скоростью v . Движение тех точек струны, которые находятся внутри трубки, будет точно таким же, как и при распространении по струне бегущей волны.

С помощью этой модели легко представить себе мгновенное рас- пределение смещений и скоростей в бегущей волне. Оно изображено на рис. 3 (скорости указаны стрелками). Волна скоростей сдвинута

относительно волны смещений на λ4 . Выражения (4) и (5), как и для

стержня, описывают бегущие вдоль струны волну смещений и волну скоростей.

Эти волны для струны имеют такой же характер, как и для стержня, разница лишь в направлении смещений и скоростей. Волна же деформаций имеет в струне иной характер, чем в стержне.

В струне при малых амплитудах колебаний можно считать, что

величина натяжения остается постоянной и никаких изменений в деформации материала струны при колебаниях не происходит. Происходят только изменения направления, в котором силы натяжения действуют на данный элемент струны со стороны соседних. Составляющая этих натяжений в направлении, перпендикулярном к струне, играет роль восстанавливающей силы для отдельного элемента струны. При распространении волн в струне

возникновение сил обусловлено изменением направления отдельных элементов струны, и эти изменения направлений играют такую же роль, какую играют деформации материала в случае волн в стержне. Поэтому волна деформации для струны характеризуется углом, который образует тот или иной элемент струны с направлением покоящейся струны. А этот угол, как

видно из рис. 4, определяется значением ∂∂ξx для рассматриваемого элемента

струны, и выражение (6), так же как и в случае стержня, изображает бегущие вдоль струны волны деформаций.

О расположении в струне волны деформаций по отношению к волне смещений и волне скоростей можно повторить все то, что было сказано для стержня. Действительно, деформация (угол с направлением x ) равна нулю в точках наибольшего смещения 1 и 1’, т. е. волна деформаций сдвинута на

λ4 по отношению к волне смещений. Таким образом, кинематическая картина для бегущих волн смещения, скорости и деформации в случае

184

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

стержня и струны получается одна и та же. Но с точки зрения течения энергии картина в струне оказывается более сложной, и мы не будем её рассматривать. Все, что сказано было выше, а также будет сказано дальше относительно течения энергии, относится к продольным волнам в стержне и к аналогичным случаям (например, волнам в воздухе), но не к струне.

Мы предполагали, что скорость распространения бегущей волны совпадает со скоростью распространения отдельного импульса. Основанием для этого предположения служило то обстоятельство, что в рассматриваемых

простейших случаях продольных колебаний стержня и колебаний струны скорость распространения импульса не зависит от формы и характера импульса и для импульсов любого типа оказывается одной и той же. Поэтому мы могли считать, что скорость распространения бегущей волны, которая представляет собой одну из разновидностей импульса, совпадает со скоростью импульса. Однако это справедливо не всегда. В некоторых случаях скорость распространения бегущей волны не совпадает со скоростью импульса. Поэтому, вообще говоря, следует различать скорость распространения импульса и скорость распространения гармонической волны. Эту последнюю называют фазовой скоростью; с этой скоростью движется фаза распространяющегося колебания.

Фазовая скорость не только может отличаться от скорости импульса, но может быть различной для колебаний различной частоты. Эти оба обстоятельства тесно связаны между собой. Скорость распространения импульса оказывается отличной от фазовой скорости именно потому, что сама фазовая скорость зависит от частоты колебаний. Зависимость фазовой скорости от частоты колебаний называется дисперсией. При наличии

дисперсии скорость отдельного импульса не совпадает с фазовой скоростью (различной для различных частот). Но в рассматриваемых нами простейших случаях дисперсия отсутствует, и поэтому фазовая скорость совпадает со скоростью импульса. В дальнейшем мы встретимся со случаем, когда имеет место дисперсия волн.

Стоячие волны.

Когда бегущая гармоническая волна достигает другого конца стержня (или струны), то там происходит отражение волны, так же как и в случае отдельного импульса. Отраженная гармоническая волна распространяется в обратном направлении, и движение каждого сечения стержня (или точки струны) можно рассматривать как результат сложения двух волн – падающей и отраженной. Если при распространении и отражении волны не происходит их затухания, то обе волны – падающая и отраженная – будут иметь одинаковые амплитуды. Но фазы обеих волн в какой-либо точке x будут, вообще говоря, различны. Сдвиг фаз обусловлен, с одной стороны, тем, что отраженная волна проходит путь от точки x до конца стержня и обратно, с другой стороны, тем, что при отражении волны от границы тела, вообще говоря, может происходить изменение фазы волны. В частности, в случае отражения от

185

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

закрепленного конца стержня волна смещений отражается с поворотом фазы на я (так же, как импульс смещений отражается от закрепленного конца стержня с изменением знака смещения); в случае же свободного конца стержня волна смещения отражается без изменения фазы. Падающая волна проходит от начала стержня до точки x путь x , и выражение для смещения в

падающей волне имеет вид

ленного конца). Результирующее смещение каждого сечения стержня

Амплитуда колебаний изменяется от точки к точке по закону синуса. В точках, для которых аргумент синуса обращается в нуль, амплитуда колебаний падает до нуля. Эти точки все время остаются в покое. Это – уже знакомые нам узлы смещений. Прежде всего, таким узлом смещений является закрепленный конец стержня (x = l). Следующие узлы смещений лежат на

расстоянии x1 друг от друга. Это расстояние определяется из условия ωvx1 = π ,

или

x1 = πωv = vT2 = λ2 ,

т. е. узлы смещений отстоят на расстоянии полуволны друг от друга. В середине между узлами смещений лежат точки, в которых амплитуда X достигает максимума, эти точки называются пучностями смещений. Между двумя узлами фаза смещений всех сечений стержня одна и та же: при переходе через узел фаза смещений сразу меняется на п. Амплитуда смещений между

двумя узлами изменяется от нуля до максимума и снова до нуля. Колебания с

таким распределением амплитуд и фаз называются стоячей волной.

Чтобы изобразить распределение амплитуд стоячей волны смещений вдоль стержня, будем откладывать амплитуды смещения, соответствующие каждому

186

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

сечению стержня, в перпендикулярном к стержню направлении (хотя сами смещения происходят в рассматриваемом случае вдоль стержня).

Построенная таким способом графическая картина распределения амплитуд смещений вдоль стержня для одного из возможных случаев изображена на рис. 5а. Нэпом ним, что синусоида на этом рисунке изображает распределение амплитуд смещений вдоль стержня. Точки 1 и 1’, в которых синусоида проходит через нуль, соответствуют узлам смещений, точки 2 и 2', в которых она проходит через максимум, – пучностям смещений. На закрепленном конце стержня, как мы убедились, должен получиться узел смещений.

Что касается левого конца стержня, то ему, по предположению сообщается гармоническое движение с заданной амплитудой, частотой и фазой. В стержне установится стоячая волна смещений с такой амплитудой в пучности, что амплитуда смещений на левом конце стержня будет равна амплитуде колебаний, заданных этому концу стержня. Отсюда следует, что,

чем ближе лежит узел образовавшейся стоячей волны к левому концу стержня, тем больше амплитуда стоячей волны в пучности при заданной амплитуде смещений левого конца стержня. Иначе говоря, для того чтобы амплитуда стоячей волны в пучности была велика, нужно, чтобы около левого конца стержня лежал узел смещений. Так как на втором закрепленном конце стержня обязательно должен получиться узел смещений, то условие получения стоячей волны с большой амплитудой сводится к тому, что на обоих концах стержня должны получиться узлы смещений. Для этого по длине стержня должно укладываться целое число полуволн.

Если это условие соблюдено точно, то, как следует из наших рас- суждений, амплитуда стоячей волны в пучности должна возрасти до бесконечности, так как только волна с бесконечно большой амплитудой в

пучности может дать конечную амплитуду на бесконечно малом расстоянии от узла. Однако к такому результату мы пришли только потому, что не учитывали затухания при распространении волн в стержне. Как мы увидим ниже, затухание приводит к тому, что и в точке, где образуется узел стоячей волны, амплитуда смещений все же не падает до нуля. Поэтому, если задать смещения с конечной амплитудой концу стержня, на котором должен установиться узел волны смещений, то амплитуда в пучности волны будет хотя и большой, но все же конечной; она будет тем больше, чем меньше зату- хание волн в стержне.

Чтобы амплитуда стоячих волн была наибольшей, нужно подобрать такие условия, при которых по длине стержня укладывается целое число полуволн. Для данного стержня это сводится к выбору частоты тех колебаний, которые задаются концу стержня. Эта частота должна быть такой,

чтобы соответствующая ей длина волны в стержне удовлетворяла указанному условию. Следовательно, стоячие волны с большой амплитудой

можно возбудить в стержне только при определенных частотах внешнего воздействия. Связь этого обстоятельства с явлением резонанса будет выяснена в следующем параграфе.

187

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Картины образования бегущих и стоячих волн совершенно различны. Однако если мы в обоих случаях будем наблюдать движение только какого- либо одного сечения стержня, то мы не отличим стоячей волны от бегущей.

В обоих случаях отдельное сечение стержня колеблется по гармоническому закону (кроме узловых точек в случае стоячей волны). Различие между бегущей и стоячей волнами мы обнаружим, только если в каждом случае сравним движение двух разных сечений стержня. В случае бегущей волны разные сечения стержня колеблются с одинаковой амплитудой, но в различных фазах. В случае же стоячей волны разные сечения стержня колеблются в одинаковой фазе, но с различными амплитудами.

Бегущая волна скоростей отражается от закрепленного конца стержня также с поворотом фазы на π (аналогично тому, как при отражении

отдельного импульса от закрепленного конца стержня скорость изменяет знак). Соотношение между фазами падающей и отраженной волн скоростей получается такое же, как и для волны смещений. Поэтому узлы скоростей в стоячей волне образуются в тех же точках, что и узлы смещений. Это и понятно: в узле смещений сечение стержня все время остается в покое, следовательно, и скорость в этом сечении все время равна нулю. Ясно также, что пучности скоростей лежат в тех же точках, что и пучности смещений.

Что касается бегущей волны деформаций, то при отражении от закрепленного конца стержня она не изменяет фазы (так же, как не изменяется знак деформации для отдельного импульса). Соотношение между фазами падающей и отраженной волн для деформаций будет не таким, как для смещений и скоростей, вследствие чего узлы деформаций получатся не в тех местах, где узлы смещений. Можно было бы, складывая падающую и отраженную волны деформаций, как это было сделано для волны смещений, найти места узлов и пучностей деформаций. Но и без этих расчетов можно сказать, что на закрепленном конце стержня должна получиться пучность деформации, так как в этом месте падающая и отраженная волны деформаций совпадают по фазе.

Таким образом, пучности деформаций совпадают с узлами скоростей и, очевидно, узлы деформаций – с пучностями скоростей. На рис. 5б изображено распределение амплитуд деформаций для того же случая, для которого на рис. 5а изображено распределение амплитуд смещений и амплитуд скоростей. Что касается сдвигов во времени между мгновенными значениями смещения, скорости и деформации (т. е. сдвигов фаз между колебаниями этих величин), то они останутся такими же, как и в бегущей

волне. Скорость будет во времени сдвинута относительно смещения на T4 , а

деформация будет сдвинута во времени на T4 относительно скорости.

Так как энергия течет только в том случае, когда происходит движение деформированного тела, то ни через узлы смещений, где сечения стержня неподвижны, ни через узлы деформаций, где сечения стержня никогда не деформированы, не происходит течения энергии. Энергия, которой обладает

188

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

участок стержня длиной в λ4 , заключенный между узлом смещений и узлом

деформаций, остается навсегда в этом участке. Происходит лишь

превращение заключенной в этом участке энергии из кинетической в потенциальную и обратно (скорость и деформация сдвинуты по фазе на π2 .

Полный переход энергии из кинетической в потенциальную и обратно происходит дважды за период. В стоячей волне, в отличие от бегущей волны, не происходит течения энергии. Этого, впрочем, и следовало ожидать: мы

получили стоячую волну как результат сложения двух бегущих волн равной амплитуды, распространяющихся в противоположные стороны. Обе бегущие волны несут с собой одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому результирующая стоячая волна не переносит энергии.

Совершенно так же, как и образование стоячих волн в стержне, происходит образование поперечных стоячих волн в струне. Если одному из

концов натянутой струны сообщать колебательное движение в поперечном направлении, например, прикрепив его к ножке камертона, то по струне будет распространяться поперечная бегущая волна. От другого закрепленного конца струны она будет отражаться так же, как отражается продольная волна от конца стержня: фаза волны смещения при отражении будет изменяться на π . Поэтому картина распределения узлов и пучностей по струне будет совершенно такая же, как и рассмотренная картина для стержня с закрепленными концами. Все сказанное выше справедливо и для струны, за исключением представлений о течении и распределении энергии; эту картину, как указывалось, со стержня на струну распространять нельзя.

Для стержня, один конец которого совершает заданное гармоническое движение, в отличие от натянутой струны, может встретиться и другой случай, когда второй конец стержня не закреплен. Условия отражения падающей волны будут иными – соответственно изменится распределение узлов и пучностей стоячих волн. При отражении от свободного конца волна смещений и волна скоростей отражаются без изменения фазы, а волна деформаций изменяет фазу на л. (Так же, как в случае отражения отдельного импульса от свободного конца, и по тем же причинам, не изменяется знак смещения и скорости и изменяется знак деформации.) Если в падающей

волне смещение меняется по закону

то в отраженной без изменения фазы оно описывается уравнением

и результирующее смещение будет

или

189

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Амплитуда распределяется по закону косинуса (а не синуса, как в случае закрепленного конца) и при x = l , т. е. на свободном конце, достигает максимума. Таким образом, на свободном конце стержня стоячие волны образуют пучность смещений и скоростей и узел дефор- маций (волна деформации отражается с изменением фазы на π ).

В остальном распределение узлов и пучностей получается такоеже, как

наибольшей амплитуды можно получить из тех же соображений, что и в случае стержня с закрепленным вторым концом. У левого конца стержня, движение которого задано, должен лежать узел смещений образующейся стоячей волны (рис. 6). Но на свободном конце стержня образуется пучность смещений. Оба эти условия будут соблюдены, если на длине стержня уложится нечетное число четвертей волн.

Распределение амплитуд смещений в одном из случаев, возможных для стержня со свободным концом, изображено на рис. 6а (по-прежнему 1, 1' – узлы, 2, 2' – пучности); распределение амплитуд деформаций для этого же случая приведено на рис. 6б (2, 2' – узлы, 1, 1' – пучности).

Отражение бегущих упругих волн происходит не только от вполне свободного или жестко закрепленного конца тела, но и от всякой границы, у которой изменяются свойства сплошного тела – его упругость или плотность. При этом происходит частичное отражение падающей волны, которое является причиной возникновения стоячих волн. Поэтому при наличии достаточно резких нарушений однородности

системы распространение бегущей волны в системе неизбежно связано с возникновением стоячих волн.

Колебания сплошных систем как наложение бегущих и стоячих волн.

Рассмотренные в предыдущем параграфе случаи возникновения в стержне стоячих волн значительной амплитуды при заданном гармоническом движении одного из концов стержня представляют собой не что иное, как явление резонанса в сплошной системе. Чтобы вызвать гармоническое движение конца стержня, на этот конец должна действовать гармоническая внешняя сила. Как мы убедились, если бы потери энергии в стержне отсутствовали, то при определенных значениях частоты этой внешней силы

амплитуда стоячих волн в стержне возрастала бы до бесконечности Вследствие потерь энергии при распространении волны в стержне (а иногда и при отражении от его концов) амплитуда стоячей волны будет иметь конечную величину, и тем меньшую, чем больше потери энергии в стержне.

190

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com