то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

Четвёртая космическая скорость.

Вычислим теперь приближенно четвертую космическую скорость v4 . Так называется минимальная скорость, которую надо сообщить ракете, чтобы она могла упасть в заданную точку Солнца. Такая скорость зависит от положения этой точки на поверхности Солнца. На старте ракета движется вокруг Солнца вместе с Землей со скоростью VK. Чтобы ракета упала на Солнце, ее движение надо затормозить. Как и ранее, находим, что при выходе из зоны земного притяжения скорость ракеты будет V = Vk + v∞

(относительно Солнца). Наименьшая энергия, которую нужно затратить для замедления, получится тогда, когда скорости VK и v∞ направлены противоположно. В этом случае (все скорости положительны), а

энергия, приходящаяся на единицу массы ракеты, равна

ε = 12 (Vk - v∞ )2 - γ Mr = - 12 (Vk2 + 2Vk v∞ - v∞2 )

где R =CA – расстояние ракеты до центра Солнца при ее максимальном удалении (рис. 1). Если ε < 0 , то траекторией ракеты будет

эллипс с большой осью

Один из фокусов эллипса находится в центре Солнца. Обозначим через х=СР расстояние от центра Солнца до ближайшей вершины этого эллипса. Расстояние х однозначно определяет форму эллипса, а с ней и линию на поверхности Солнца, на которой будет лежать точка падения. Большая ось эллипса 2a = R + x . Подставив это значение в предыдущее уравнение, придем к квадратному уравнению для v∞ . Меньший корень

этого уравнения равен

Четвертая космическая скорость v4

ракеты определится из соотношения

определяющего место падения. При x=0 (прямолинейное движение по направлению к центру Солнца) скорость v4 максимальна и равна

v4max = Vk2 + 2v∞2 » 31,8 кмс .

101

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Ракета упадёт в передней точке Солнца. При x=r (r – радиус Солнца) ракета упадёт в задней точке Солнца, двигаясь по касательной к его поверхности. В этом случае скорость минимальна и равна

где α » 9,3 ×10−3 рад - средний угловой диаметр Солнца.

Рассмотрим теперь движение искусственных спутников Земли (ИСЗ).

Движение искусственных спутников Земли.

Отличие законов движения ИСЗ от законов Кеплера.

Движение искусственных спутников Земли не описывается законами Кеплера, что обусловливается двумя причинами:

1)Земля не является точно шаром с однородным распределением плотности по объему. Поэтому ее поле тяготения не эквивалентно полю тяготения точечной массы, расположенной в геометрическом центре Земли;

2)Земная атмосфера оказывает тормозящее действие на движение ис- кусственных спутников, вследствие чего их орбита меняет свою форму и размеры и в конечном результате спутники падают на Землю.

По отклонению движения спутников от кеплеровского можно вывести заключение о форме Земли, распределении плотности по ее объему, строении земной атмосферы. Поэтому именно изучение движения искусственных спутников позволило получить наиболее полные данные по этим вопросам. Кратко остановимся на них.

Трасса спутника.

Если бы Земля была однородным шаром и не существовало атмосферы, то спутник двигался бы по орбите, плоскость которой сохраняет неизменную ориентацию в пространстве относительно системы не- подвижных звезд. Элементы орбиты в этом случае определяются законами Кеплера. Так как Земля вращается, то при каждом последующем обороте

спутник движется над разными точками земной поверхности. Зная трассу спутника за один какой-либо оборот, нетрудно предсказать его положение во все последующие моменты времени. Для этого необходимо учесть, что Земля вращается с запада на восток с угловой скоростью примерно 15° в час. Поэтому на

последующем обороте спутник пересекает ту же широту западнее на столько градусов, на сколько Земля повернется на восток за период вращения спутника (рис. 2).

102

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Из-за сопротивления Земной атмосферы спутники не могут длительно двигаться на высотах ниже 160 км. Минимальный период обращения на такой высоте по круговой орбите равен примерно 88 мин, т. е. приблизительно 1,5 ч. За это время Земля поворачивается примерно на 22,5°. На широте 50° этому углу соответствует расстояние в 1400 км. Следовательно, можно сказать, что спутник, период обращения которого Т = 1,5 ч, на широте 50° будет наблюдаться при каждом последующем обороте примерно на 1400 км западнее, чем на предыдущем.

Однако такой расчет дает достаточную точность предсказаний лишь для нескольких оборотов спутника. Если речь идет о значительном промежутке времени, то надо принять во внимание отличие звездных суток от 24 ч. Поскольку один оборот вокруг Солнца совершается Землей за 365 суток, то за одни сутки Земля вокруг Солнца описывает угол примерно в 1° (точнее, 0,99°) в том же направлении, в каком вращается вокруг своей оси. Поэтому за 24 ч Земля поворачивается относительно неподвижных звезд не на 360°, а на 361° и, следовательно, совершает один оборот не за 24 ч, а за 23 ч 56 мин. Поэтому трасса спутника по широте смещается на запад не на 15° в час, а на (15 + 1/24)°. Эта поправка за несколько суток составляет несколько градусов.

Если бы Земля была однородным шаром и не имела атмосферы, то

описанный метод подсчёта давал бы возможность весьма точно предсказать положение спутника на длительное время вперёд. Однако отличие формы Земли от шарообразной и неоднородность её плотности, а также наличие атмосферы существенно изменяют характер движения спутников.

Форма Земли.

Уже давно стало ясно, что форма Земли отличается от шарообразной. Первую числовую оценку величины этого отклонения дал Ньютон, пользуясь законом всемирного тяготения. Идея расчета Ньютона была проста. Представим себе канал, идущий от полюса к центру Земли и оттуда по радиусу к одной из точек экватора. Ясно, что давление в каждом из каналов в центре Земли должно быть одинаковым. Вследствие вращения Земли вес некоторого элемента столба жидкости в канале, идущем к экватору, будет меньше веса соответствующего элемента столба жидкости на таком же расстоянии от центра Земли в канале, идущем к полюсу. Поэтому для равенства давлений в центре Земли необходимо допустить, что канал, идущий к экватору, должен быть длиннее. Это означает, что Земля не является шаром, а сплющена со стороны полюсов. Сжатие f

определяется формулой

где D3 – экваториальный, Dп – полярный диаметр Земли.

103

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Проделав вычисления с учетом только что изложенных соображений, Ньютон получил значение f = 2981 . Результаты его расчета были опубли-

кованы в 1687 г. В течение всего последующего времени вплоть до настоящих дней сплющенность Земли изучалась экспериментально различными ме- тодами. Результаты находились вблизи значения, данного Ньютоном, хотя и несколько отличались. Наиболее широко принятой оценкой сжатия Земли к моменту запуска первых спутников было значение 1/297,1. Наблюдения за

движением спутников позволили получить значение этой величины с гораздо большей точностью и надежностью в сравнении с изложенными методами и существенно изменили только что указанную оценку.

Если форма Земли отличается от шарообразной, то ее поле тяготения не сводится к полю тяготения материальной точки, помещенной в центре Земли. Если полагать форму Земли известной, то можно рассчитать поле тяготения и траекторию спутника. Эти вычисления в настоящее время проводятся только с помощью ЭВМ. Нам достаточно описать лишь результат. Если учесть сплющенность Земли, то плоскость орбиты уже не сохраняет неизменного положения относительно неподвижных звезд. Она поворачивается вокруг земной оси в направлении, противоположном вращению спутника. Например, если спутник движется вокруг земной оси в восточном направлении (рис. 2), то плоскость орбиты вращается в западном направлении. Если, не изменяя плоскости орбиты спутника, изменить направление его вращения на обратное, то и вращение плоскости орбиты изменится на обратное. Угол i между плоскостями орбиты и экватора (рис. 2) остается постоянным. Если плоскость орбиты спутника проходит через ось вращения Земли, т. е. орбита является строго полярной, то она сох- раняет свое положение относительно неподвижных звезд. Скорость враще- ния плоскости орбиты зависит от степени сжатия Земли и элементов орби- ты. Поэтому, измерив элементы орбиты и скорость вращения ее плоскости, можно вычислить сжатие Земли.

Кроме вращения плоскости орбиты сжатие Земли приводит также к другому эффекту: перигелий орбиты вращается в ее плоскости и вследствие этого перемещается из северного полушария в южное и наоборот. Скорость вращения перигелия зависит от сжатия Земли и угла наклона орбиты.

Измерение скорости вращения перигелия также позволило найти числовую оценку сжатия Земли, которая согласуется с оценкой сжатия по вращению плоскости орбиты.

Измерения скоростей поворота плоскостей орбит первых спутников привели к выводу, что сжатие Земли заключено между 1/298,2 и 1/298,3. Это означает, что экваториальный радиус Земли больше полярного на 42,77 км, а не на 42,94 км, как это получалось по существовавшей до этого оценке.

Однако сжатие Земли не является ее единственным отклонением от шарообразной формы. Полное отклонение от шарообразности может быть

математически представлено в виде суммы различных регулярных отклонений, называемых гармониками. Сжатие относится ко второй

104

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

гармонике. Третьей гармоникой является грушевидность, четвертой – квадратообразность и т. д. Можно подсчитать, какие изменения в орбиту спутника вносит каждая из гармоник, и по результатам наблюдений судить о роли каждой из них в образовании формы Земли.

Третья гармоника, характеризующая грушевидность Земли,

обусловливает изменение расстояния от перигелия до центра Земли в зависимости от того, в каком полушарии находится перигелий. При

перемещении перигелия из одного полушария в другое его расстояние от центра Земли изменяется. Изучение орбит спутников показало, что грушевидность Земли составляет примерно 40 м с вытянутостью в сторону северного полюса. Это означает, что поверхность воды океана на северном полюсе на 40 м дальше от плоскости экватора, чем уровень моря в Антарктиде, находящегося под трехкилометровым слоем льда.

Дают свой вклад в изменение элементов орбиты спутника также и сле- дующие гармоники. Их учет позволил с большой точностью определить форму Земли. Ее наиболее существенные особенности сводятся к сжатию и грушевидной асимметрии между северным и южным полушариями.

Следующим важным результатом наблюдений за движением спутников явилось установление формы экватора. Уже до запуска спутников имелись указания на то, что линия экватора не является точной окружностью. Они основывались на том факте, что сила тяготения немного меняется с долго- той. Но это не приводит к существенным изменениям орбит спутников, по-

тому что вследствие вращения Земли спутник проходит над всеми долготами и изменения силы тяготения по долготе усредняются. Однако это усреднение

происходит посредством небольших ежедневных колебаний положения спутников вдоль их траектории с амплитудой в несколько сотен метров. По этим колебаниям „можно сделать заключение об изменении силы тяготения по долготе и о форме экватора. В первом приближении экватор похож на эллипс, большая полуось которого направлена от 20° западной долготы к 160° восточной, а малая полуось – от 110° западной долготы к 70° восточ- ной. Разница между размерами этих осей равна примерно 140 м. Однако эта картина лишь приближенная. Дальнейшие уточнения формы экватора были произведены также по наблюдениям за движением спутников.

Атмосферное торможение.

Вторым фактором, обусловливающим отклонение движения спутников от законов Кеплера, является трение спутников о земную атмосферу.

Плотность воздуха с высотой уменьшается почти по экспоненциальному закону, т. е. очень быстро. Тем не менее до высот примерно 160 км плотность воздуха такова, что не дает возможности спутникам существовать сколько- нибудь продолжительное время, поскольку на такой высоте они быстро теряют энергию на торможение и падают на Землю. Чем больше высота спутника, тем более продолжительное время он существует.

105

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Общий характер изменения орбиты вследствие торможения состоит в следующем. Наибольшая потеря энергии спутника на торможение происходит в перигелии. Высоты перигелия и афелия уменьшаются, но высота афелия изменяется более значительно, чем перигелия, и поэтому вытянутость орбиты уменьшается. Скорость движения спутника по орбите увеличивается, а период обращения уменьшается. Орбита спутника в некоторых своих частях может оказаться ниже 160 км, тогда потери энергии на торможение стано- вятся весьма значительными и он по быстро приближающейся к Земле тра- ектории падает на Землю. Однако благодаря наличию защитных покрытий

спутник не сгорает и можно с помощью парашюта произвести его мягкую посадку на земную поверхность.

Траекторию спутника с учётом изменения плотности атмосферы по высоте можно рассчитать. Поэтому знание траектории позволяет найти распределение плотности атмосферы. Наряду с этим аппаратура, помещённая на спутнике, даёт возможность изучить также другие характеристики околоземного пространства.

О плотности атмосферы судят главным образом по изменению периода обращения спутника. Как уже было сказано, вследствие торможения зем- ной атмосферой период обращения спутника (в соответствии с законами Кеплера) уменьшается, а его скорость увеличивается. Это обстоятельство, конечно, не противоречит закону сохранения энергии. Дело в том, что полная

энергия спутника слагается из положительной кинетической энергии и отрицательной потенциальной, причем полная энергия является отрицатель- ной. Вследствие торможения высота движения спутника уменьшается, при этом его потенциальная энергия, согласно закону сохранения энергии, расходуется на совершение работы против сил трения и увеличение кине- тической энергии спутника. По скорости уменьшения периода обращения спутника можно сделать заключение о плотности атмосферы. В настоящее

время имеются очень подробные данные о плотности атмосферы в широком интервале высот и зависимости плотности от различных факторов, полу- ченные с помощью спутников.

Геостационарная орбита.

Круговая орбита спутника в экваториальной плоскости, двигаясь по которой он находится все время над одной и той же точкой экватора, называется геостационарной. Для определения элементов орбиты имеем два

уравнения с двумя неизвестными

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Неинерциальные системы отсчёта.

Силы инерции

Определение неинерциальных систем.

Неинерциальной системой отсчета называется система, движущаяся ускоренно относительно инерциальной. Система отсчета связана с телом отсчета, которое, по определению, принимается за абсолютно твердое. Уско- ренное движение твердого тела включает в себя ускорение как поступа- тельного движения, так и вращения. Поэтому простейшими неинерциальными системами отсчета являются системы, движущиеся ускоренно прямолинейно, и вращающиеся системы.

Время и пространство в неинерциальных системах отсчета.

Чтобы описать движение в некоторой системе отсчета, необходимо разъяснить содержание высказывания о том, что такие-то события произошли в таких-то точках в такие-то моменты времени. Для этого, прежде всего надо, чтобы в системе отсчета существовало единое время. В неинерциальных системах отсчета единого времени не существует. Поэтому не ясно, как можно измерять длительность процессов, начинающихся в одной точке и заканчивающихся в другой. Понятие длительности таких процессов теряет смысл, поскольку скорость хода часов в различных точках различна. Усложняется также проблема измерения и сравнения длин. Например, трудно определить понятие длины движущегося тела, если не ясно, что такое одновременность в различных точках.

Эти трудности можно частично обойти, если принять во внимание, что интервал собственного времени не зависит от ускорения. Поэтому для анализа пространственно-временных соотношений в некоторой бесконечно малой пространственно-временной области неинерциальной системы отсчёта

можно воспользоваться пространственно временными соотношениями инерциальной системы отсчёта, которая движется с той же скоростью, но без ускорения, как и соответствующая бесконечно малая область неинерциальной системы. Такая инерциальная система отсчёта называется сопровождающей.

Этим путем удается установить зависимость между физическими величинами, если они определяются пространственно-временными соотношениями в бесконечно малой области, а затем распространить их на конечные области. Однако этот путь сложен и здесь не будет использован.

Мы ограничимся рассмотрением движения с малыми скоростями, когда все эти трудности не возникают и можно использовать преобразования Гали- лея, считая, что пространственно-временные соотношения в неинерциальной системе таковы же, как если бы она была инерциальной.

109

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Силы инерции.

Винерциальных системах координат единственной причиной ускоренного движения тела являются силы, действующие на него со стороны других тел. Сила всегда есть результат взаимодействия материальных тел.

Внеинерциальных системах можно ускорить тело простым изменением состояния движения системы отсчета. Рассмотрим, например, неинерциальную систему отсчета, связанную с автомобилем. При

изменении скорости его относительно поверхности земли в этой системе отсчета все небесные тела испытывают соответствующие ускорения. Ясно, что эти ускорения не являются результатом действия на небесные тела каких- либо сил со стороны других тел. Таким образом, в неинерциальных системах отсчета существуют ускорения, которые не связаны с силами такого же характера, какие известны в инерциальных системах отсчета. Благодаря этому первый закон Ньютона в них не имеет смысла. Третий закон Ньютона в отношении взаимодействия материальных тел, вообще говоря, выполняется. Однако, поскольку в неинерциальных системах отсчета ускорения тел вызываются не только “обычными” силами взаимодействия между материальными телами, проявления третьего закона Ньютона настолько искажаются, что он также утрачивает ясное физическое содержание.

При построении теории движения в неинерциальных системах в принципе можно было бы идти по пути коренного изменения представлений, выработанных в инерциальных системах, а именно можно было бы принять, что ускорения тел вызываются не только силами, но и некоторыми другими факторами, которые ничего общего с силами не имеют. Однако исторически был выбран иной путь – эти другие факторы были признаны силами, которые находятся с ускорениями в таких же соотношениях, как и обычные силы. При этом предполагается, что в неинерциальных системах, так же как и инерциальных, ускорения вызываются только силами, но наряду с “обычными” силами взаимодействия существу- ют еще силы особой природы, называемые силами инерции. Второй закон Ньютона формулируется без изменения, но наряду с силами взаимодействия необходимо учесть силы инерции.

Существование сил инерции обусловливается ускорением движения неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной. Силы инерции берутся такими, чтобы обеспечить в неинерциальной системе отсчета те ускорения, которые фактически имеются, но обычными силами взаимодействия объясняются лишь частично. Поэтому второй закон Ньютона

внеинерциальных системах имеет вид

где a′ – ускорение в неинерциальной системе отсчета, F – “обычные” силы как результат взаимодействия, Fин – силы инерции.

110

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com