то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

Связь между линейными и угловыми кинетическими параметрами.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ И КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА. ИНВАРИАНТНЫЙ ХАРАКТЕР ВЕКТОРА.

Рассмотрим геометрические преобразования координат. Используя векторные преобразования найдем формулы преобразования координат.

Формулы преобразования координат – формулы, связывающие координаты точки в одной системе с её координатами в другой.

Рассмотрим две трехмерные декартовы системы координат начала которых определяет a , а оси повернуты относительно друг друга на некоторый угол.

11

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

A(x′, y′, z′) - в штрихованной системе координат A(x, y, z) - в нештрихованной системе координат r = r′ + a

Умножим обе части уравнения скалярно на i

Пусть:

Тогда:

Обратные преобразования координат:

Если в одной системе координат известны проекции вектора, то их можно определить и в другой, оси которой произвольным образом ориентированы относительно осей первой системы. Необходимо знать расположение начала координат и углы между осями.

Рассмотрим инвариантный характер вектора:

12

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Компоненты вектора в разных системах отсчета разные, а его модуль неизменен.

Величины, численные значения которых не изменяются при преобразованиях координат называются инвариантами, а те, которые изменяются – вариантами.

Вектор – упорядоченная совокупность трех чисел, представляющих собой величины, зависящие от системы координат и преобразующиеся при повороте этих систем так же, как преобразуются компоненты вектора.

Рассмотрим инерциальные системы отсчета и принципы относительности Галилея.

Физические преобразования координат:

Системы отсчета

Инерциальные Неинерциальные

Система отсчета – совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношению к которым рассматривается движение, и отсчитывающих время часов.

ИСО – такие системы отсчета, которые движутся поступательно, равномерно и прямолинейно относительно друг друга.

Неинерциальные СО – такие системы отсчета, которые движутся прямолинейно, поступательно и ускоренно относительно друг друга, или вращающиеся системы отсчета.

ИСО:

1)Пространство имеет три измерения и подчиняется Евклидовой геометрии.

2)Независимо от трехмерного пространства существует время, но вместе с этим время всегда связано с пространством законами движения.

3)Признается справедливость закона инерции Галилея-Ньютона и существование инерциальных систем, где выполняются законы Ньютона.

4)Признается, что во всех инерциальных системах механические явления

протекают одинаково в соответствии с принципом относительности

13

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Галилея. Во всех ИСО законы классической механики имеют одинаковую форму.

5)Все ИСО всегда эквивалентны друг другу и ни одна система не отличается от другой.

6)Соблюдается принцип дальнодействия. Т. е. взаимодействие осуществляется мгновенно.

7)Время в ИСО абсолютно и неизменно.

8)Движение в этих системах должно рассматриваться только относительно одной системы отсчета.

МЕХАНИКА

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ

Нерелятивистская механика, как и релятивистская рассматривает движение тел, но их скорости различны:

Нерелятивистская: скорости тел много меньше С. Релятивистская: скорости тел соизмеримы с С.

Преобразования Галилея – преобразования в нерелятивистской механике.

Пусть К – неподвижная система отсчета, K ′ - движется со скоростью V вдоль оси ОХ.

Время абсолютно и неизменно для всех ИСО. Это интуитивное предположение принимается без доказательств в классической механике.

Векторные прямые преобразования Галилея для ИСО:

ìt = t′

ír¢ = r - r ×

îr r v t

Скалярные преобразования Галилея для ИСО:

ìx′ = x - v ×t ïïy¢ = y

íïz¢ = z ïît¢ = t

14

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Инварианты: a,l,t, уравнение движения

Варианты: x, y, z,v, p

Первым, что вызвало критику стал закон сложения скоростей. В экспериментах по определению скорости света выяснилось, что закон не работает, когда скорости тел соизмеримы с С.

Эксперименты доказали, что С не зависит от движения источника и наблюдателя.

Свойства С:

1)С=const, т. е. не зависит от движения источника и приемника.

2)С одинакова по любому направлению

3)С не зависит от системы отсчета

4)Никоим образом нельзя передать сигнал со скоростью большей С

5)С – скорость распространения электромагнитного излучения в

свободном от вещества пространстве и не зависит от частоты излучения; скорость света в вакууме равна константе (является одной из физических констант).

В1905 году Эйнштейн высказал мысль о постоянстве С.

Постулаты Эйнштейна.

Преобразования Лоренца-Эйнштейна:

1)Принцип относительности Галилея.

2)Принцип постоянства С в вакууме.

3)Свойство однородности и изотропности пространства.

4)Свойство однородности времени.

Однородность пространства состоит в том, что каждая точка пространства ничем не отличается от любой другой.

Изотропность пространства состоит в том, что его физические свойства по всем направлениям одинаковы.

Однородность времени – одинаковость изменения данной физической ситуации не зависит от того, когда она сложилась.

16

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Пусть в момент времени, равный нулю в начале координат произошла вспышка света.

Свет достиг в К-системе точек r сферы за время t, в K ′-системе точек r′ сферы за время t′. Т. к. С - неизменнаÞ r = c ×t,r′ = c ×t′ Þ

Т. к. пространство и время однородны, можно предположить, что между координатами и временем существует следующая связь: x′ = γ (x - v *t) (3) Если тело движется со скоростью много меньшей С, то γ = 1.

t′ = a ×t + b × x (4)

Для v << c b=0, a=1.

γ 2 (x - v ×t)2 + y2 + z2 = C2 × (a ×t + b × x)2

γ 2 × x2 + γ 2 × v2 ×t2 - 2 ×γ 2 × x × v ×t + y2 + z2 - C2 × a2 ×t2 - C2 ×b2 × x2 - 2 ×C2 × a ×t ×b × x = 0 x2 × (γ 2 - C2 ×b2 ) + y2 + z2 + x ×t × (-2 ×γ 2 × v - 2 ×C2 × a ×b) = t2 × (C2 × a2 - γ 2 × v2 ) (5)

Сравним (1) и (5):

ì1 = γ 2 - C2 ×b2

ï

í2 × x ×t × (γ 2 × v + C2 × a ×b) = 0 ïîC2 = C2 × a2 - γ 2 × v2

Решая систему уравнений убедимся, что:

Прямые преобразования Лоренца-Эйнштейна:

17

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ОДНОВРЕМЕННОСТИ И ПРИНЦИП ПРИЧИННОСТИ.

СОКРАЩЕНИЕ ДЛИНЫ И ИЗМЕНЕНИЕ ФОРМЫ ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ.

Одновременность событий в различных системах отсчета. Относительность одновременности, принцип причинности.

Пусть в системе K в точках с координатами x1, x2 в моменты времени t1, t2 происходят два события. В системе K′ им соответствуют координаты x1′, x2′ и моменты времени t1′, t2′ .

2.Если события в системе K пространственно разобщены, x1 ¹ x2 , но одновременны, t1 = t2 , то

x1¢ ¹ x2¢; t1¢ ¹ t2¢;

в системе K′ эти события неодновременны и пространственно разобщены.

Таким образом, если события одновременны и пространственно разобщены в К, то в K ′ они и не одновременны и пространственно разобщены. События,

происходящие одновременно в одной системе являются неодновременными в

19

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

другой. Т. е. понятии одновременности не имеет абсолютного значения при движении тел на больших скоростях, t – относительная величина.

системы к другой последовательность событий может быть нарушена. Чтобы последовательность событий не была нарушена нужно, чтобы vK ′ < C

3) Аналогично рассмотрим и случай, когда t1 ¹ t2 , x1 ¹ x2

Введем скорость передачи влияния:

x2 - x1 = vвл (t2 - t1 ) Þ vвл = x2 - x1 t2 -t1

Таким образом время в различных системах отсчета – вариантная величина и относительно при рассмотрении в разных системах отсчета по Лоренцу.

Сокращение длины и изменение формы движущихся тел.

Пространственно-временные преобразования являются связанными преобразованиями, т. е. в пространственные преобразования входит время, а во временные – координаты. Следовательно пространственно-временные преобразования неразрывно связаны между собой.

Пусть тело покоится в системе отсчета К, а в системе отсчета K ′, движется со скоростью vK ′ вдоль оси ОХ. Рассмотрим преобразования Лоренца:

20

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com