то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

Движение в быстро осциллирующем поле.

Рассмотрим движение частицы, находящейся одновременно под действием постоянного поля U и силы:

удовлетворяющую условию ω >> T1 , где T – порядок величины периода

движения, которое частица совершала бы в одном поле U. По своей величине сила f не предполагается слабой по сравнению с силами, действующими в поле U.

Мы будем, однако, предполагать малым вызываемое этой силой колебательное смещение частицы (обозначенное ниже через ξ ,). Для упрощения вычислений рассмотрим сначала одномерное движение в поле, зависящем лишь от одной пространственной координаты х. Тогда уравнение движения частицы:

Из характера действующего на частицу поля заранее ясно, что ее

движение будет представлять собой перемещение вдоль некоторой плавной траектории с одновременными малыми осцилляциями (с частотой ω ) вокруг нее. Соответственно этому представим функцию x(t) в виде суммы

нуль, функция же X (t) за это время меняется очень мало. Обозначая такое усреднение чертой над буквой, имеем: x = X (t), т.е. функция

описывает усредненное по быстрым осцилляциям “плавное” движение частицы. Выведем уравнение, определяющее эту функцию.

Подставляя (3) в (2) и разлагая по степеням ξ , с точностью до членов первого порядка, получим

В этом уравнении фигурируют члены различного характера – осциллирующие и “плавные”; они должны, очевидно, взаимно сокращаться в каждой из этих двух групп в отдельности. Для осциллирующих членов достаточно написать:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

где “эффективная потенциальная энергия” определяется сле- дующим образом:

Сравнивая это выражение с (6), легко видеть, что дополнительный (по отношению к полю U) член представляет собой не что иное, как среднюю кинетическую энергию осцилляционного движения:

Таким образом, усредненное по осцилляциям движение частицы происходит так, как если бы, помимо постоянного поля U, действовало еще и дополнительное постоянное поле, квадратично зависящее от амплитуды переменного поля.

Устойчивость маятников с колеблющейся точкой подвеса.

Определим положение устойчивого равновесия маятника, точка подвеса

которого совершает вертикальные колебания с

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Подставляя выражения для x и y в формулу энергии системы и исключая полные производные по времени, получаем:

mlaγ 2 cos(ϕ + γt) как полная производная по времени от некоторой функции) и потому в данном случае переменная сила равна:

f = maγ 2 cosϕ cosγt Þ

Если 2gl > a2γ 2 , то устойчиво положение ϕ = 0 . Если же 2gl < a2γ 2 , то, как легко проверить, устойчивому положению отвечает лишь значение

Колебания связанных систем

Системы со многими степенями свободы.

Если система обладает несколькими степенями свободы, то при малых

отклонениях от положения равновесия возможны одновременно колебания по всем степеням свободы. Например, в упомянутом раньше случае колебания

моста одной из степеней свободы является его колебание в вертикальной плоскости, а другой – в горизонтальном направлении. Есть, конечно, и дру- гие степени свободы. Обычный маятник может колебаться в двух взаимно перпендикулярных вертикальных плоскостях, проходящих через точку подвеса. Поэтому он имеет две степени свободы. Если колебания, соответствующие каждой из степеней свободы, независимы друг от друга, т. е. не могут обмениваться друг с другом энергией, то рассмотрение движения

системы с несколькими степенями свободы является чисто кинематической

174

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

задачей: зная движение по каждой степени свободы, надо произвести кинематическое сложение движений. Хотя суммарное движение и может быть при этом весьма сложным, оно не содержит в себе с динамической точки зрения никаких новых физических закономерностей. Лишь наличие связи

различных степеней свободы между собой придает колебанию системы со многими степенями свободы новые физические закономерности.

Связанные системы.

Связанной системой называется система со многими степенями свободы, между которыми имеются связи,

обеспечивающие возможность обмена энергией между различными степенями свободы. В качестве примера рассмотрим два маятника, соединенных между собой пружиной, осуществляющей эту связь (рис. 5). Эта система может колебаться в вертикальной плоскости, в которой в

Рис. 5 состоянии равновесия находятся маятники и пружина, а также в перпендикулярных этой плоскости направлениях. Всего имеется четыре степени свободы, связанные между собой. Если один из маятников вывести из положения равновесия, отклонив его одновременно и в плоскости маятников, и в перпендикулярном этой плоскости направлении, то после

начала колебания начнет раскачиваться второй маятник по своим степеням свободы. Колебания маятников изменяются по амплитудам. В целом наблю-

дается довольно сложная картина движения маятников и передачи энергии от одного маятника к другому.

Нормальные колебания связанных систем.

Несмотря на сложность движения двух связанных маятников, оно

всегда может быть представлено как суперпозиция четырех гармонических колебаний, частоты которых называются нормальными частотами связанной системы. Число нормальных частот равно числу степеней свободы. В данном случае имеем четыре нормальные частоты. Рассмотрим, чем они определя- ются и как могут быть найдены.

Прежде всего, опишем колебания маятников в вертикальной плоскости, перпендикулярной линии, соединяющей их точки подвеса. Каждый из маятников в этой плоскости может занимать некоторое положение. Состояние системы характеризуется положением обоих маятников. Рассмотрим простейшие состояния системы:

1)оба маятника отклонены от положения равновесия в одну и ту же сторону на один и тот же угол.

2)маятники отклонены в разные стороны на один и тот же угол.

Эти простейшие отклонения называются нормальными. Любое

возможное отклонение маятников может быть представлено в виде суммы их одинаковых отклонений в одну сторону и разные стороны, или, иначе, любое

175

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

состояние системы в указанном выше смысле является суперпозицией состояний (1) и (2). Доказательство этого утверждения легко выполнить с помощью графика на рис. 6. Пунктиром указана средняя линия равновесия. Величины а и b означают отклонения маятников от положения равновесия (b > a). После знака равенства изображены те комбинации отклонений 1 и 2,

которые в сумме дают исходные отклонения маятников.

Если маятники отклонить одинаково в одну сторону и отпустить, то они колеблются с некоторой частотой ω1 , которая называется нормальной.

Частота колебаний маятников, отклоненных оди- наково в противоположных направлениях, является другой нормальной частотой ω2 . Произвольное

колебание двух маятников в указанных направлениях в соответствии с разложением, изображенным на рис. 6, может быть

представлено в виде суммы двух гармонических колебаний с нормальными частотами.

Аналогичным образом рассматриваются колебания маятников в вертикальной плоскости, проходящей через линию, соединяющую их точки подвеса. Нормальными колебаниями в этой плоскости являются колебания маятников, отклоняющихся на один угол в одну сторону и в разные стороны. Все рас- суждения здесь аналогичны предшест- вующему случаю. Следовательно, колебания

двух связанных маятников в этом направлении также могут быть представлены в виде суммы двух колебаний с нормальными частотами, равными частотам соответствующих нормальных колебаний.

Полное движение двух маятников с четырьмя степенями свободы являются суперпозицией четырех нормальных колебаний с соответствующими нормальными частотами. В данном случае не все из этих нормальных частот различны, но это ни в какой степени не изменяет существа дела.

Таким образом, задача исследования связанных систем сводится к на- хождению их нормальных колебаний и нормальных частот. Иногда простые соображения позволяют указать нормальные колебания, как это было в только что рассмотренном случае. Две из нормальных частот являются просто частотой собственных колебаний маятника (с учетом или без учета массы пружины и высоты ее подвеса), а две другие – частотами колебаний

маятников при наличии дополнительной силы упругости со стороны пружины при симметричных отклонениях маятников от положения равновесия в противоположных направлениях.

176

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

В большинстве же случаев задача оказывается значительно сложнее. Существуют общие методы нахождения нормальных частот, на изложении которых мы здесь не имеем возможности остановиться.

Теперь выполним подробно математическое описание колебаний связанных систем на примере связанных маятников, ограничиваясь случаем двух степеней свободы. Будем считать, что маятники колеблются в одной и той же плоскости, совпадающей с вертикальной плоскостью, проходящей

через точки подвеса и положение равновесия материальных точек математических маятников (рис. 7). При малых колебаниях можно

пренебречь вертикальными смещениями точек и рассматривать их движение вдоль одной прямой. Положение колеблющихся точек характеризуется их смещениями x1 и x2 от своих положений равновесия, обозначенных буквами

O1 и O2 . Когда точки находятся одновременно в положениях равновесия,

соединяющая их пружина не деформирована и не действует на точки с какими-либо силами.

Обозначим частоту нормального колебания маятников, когда они колеблются синхронно (в одной и той же фазе), через ω1 , а когда в противофазе – через ω2 . Ясно, что ω2 > ω1 . Общее колебание системы является

суперпозицией двух нормальных колебаний. В соответствии со

сказанным выше о способе разложения произвольного движения связанных маятников можем написать:

Найдя из уравнений (2) величины A, В, ϕ1 и ϕ2 , мы полностью опишем движение с помощью формул (1).

Теперь решим ту же задачу, применяя непосредственно динамические законы движения. Запишем уравнения движения заданных математических маятников, считая их длину l одинаковой:

вертикалей. Отклонения от положения равновесия связаны с углами α1 и α2 очевидными соотношениями (рис. 7): x1 = α1l , x2 = α 2l . Поэтому уравнения движения материальных точек без учета их связи пружиной имеют вид: