Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

.pdf

Скачиваний:

292

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

4.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2823 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

	æ	2		-x¢x¢			ö
I¢ =å mç x¢		δ	ik	-x¢x¢			÷,
ik	è l		ik		i	k	ø
определенный по отношению к другому началу О'. Если расстояние
OO' дается вектором a , то	r =r′+a ,	xl = xl′			+ ai .	Учитывая,		что å mr =0 , по
определению точки О, найдем:
	¢				æ		2	ö
	¢				ç			÷
	Iik	= Iik + μèa					δik -aiak ø .
						)		(14
						)

По этой формуле, зная Iik′ , легко вычислить искомый тензор Iik .

Отсюда, в частности, вытекает очень важное следствие, известное как теорема Штейнера: если момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции, равен Io , то момент инерции этого тела относительно

оси, параллельной первой и отстоящей от неё на расстояние a , равен

I = Io + ma 2 .

Это непосредственно видно из формулы (14): две компоненты вектора a равны нулю (относительно данной системы координат с началом в центре

инерции), а значит в формуле остаются лишь величины Iik и ma 2 .

Вычисление моментов инерции тел.

Молекулы.

Определим главные моменты инерции для молекул, рассматриваемых как системы частиц, находящихся на неизменных расстояниях друг от друга,

вследующих случаях:

1)Молекулы из атомов, расположенных на одной прямой.

Ответ:

I1 = I2 = μ1 å mamblab2 a¹b

где ma — массы атомов, lab — расстояние между атомами a и b, суммирование производится по всем парам атомов в молекуле (причем каждая пара значений а, b входит в сумму по одному разу).

Для двухатомной молекулы сумма сводится к одному члену, давая заранее очевидный результат — произведение приведенной массы обоих атомов на квадрат расстояния между ними:

I1 = I2 = m1m2 l2 m1+m2

221

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 2

Рис

2) Трехатомная молекула в виде равнобедренного треугольника (рис. 2). Ответ: Центр инерции лежит на высоте треугольника на расстоянии

m2h

от его основания. Моменты инерции:

2m1m2

h2 ,

I2 =

I3 = I1 + I2

3) Четырехатомная

молекула

атомами, расположенными

вершинах правильной треугольной пирамиды (рис. 3).

Ответ: Центр инерции лежит на высоте пирамиды на расстоянии

m2h

от ее основания. Моменты инерции:

I1 = I2 =

3m1m2

h2 +

a2 , I

= m a2 .

При m = m

, h = a

мы

получаем

тетраэдрическую молекулу

моментами инерции:

= I

= m a2

Сплошные однородные тела.

Определим главные моменты инерции сплошных однородных тел. 1) Тонкий стержень длиной l .

Решение:

		m			m
	2			2
	2			2

		l		l
А	2		О	2

222

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

IA – момент инерции стержня относительно оси А, IO

–

момент

инерции стержня относительно оси О.

IA = kml2 .

Io = 2 × k

æ l

kml 2

è 2

По теореме Гюйгенса-Штейнера:

IA = Io + m

kml 2 =

k + 1

ml 2

4k = k +1

3k =1Þ k =

Таким образом,

IA =

ml2

и I1 = I 2 =

ml 2 .

Стрежень очень тонкий, а

значит I3 = 0 .

Ответ: I1

= I2

ml 2 ,

= 0 (толщиной стержня пренебрегаем).

2) Шар радиуса R и массы m, а также тонкая сфера с теми же

параметрами.

Решение:

Из соображений симметрии I1 = I2 = I3 .

Вычислять следует сумму I1 + I2 + I3

= 2ρ ò r 2 dV ).

В сферической системе координат dV = dr × (r sinθ × dϕ)× rdθ :

Отсюда:

2π

I1 = I2 = I3

I =

2ρ R

× r

dr ×

sinθ × dθ ×

dϕ = -

2 3m R5

2 × 2π =

3 4πR3 5

−π

Рассмотрим теперь тонкую сферу. Пусть она имеет бесконечно малую толщину d. Тогда сферу можно представить как совокупность двух шаров: первый имеет радиус R и массу m, а второй – радиус R − d и массу - (m - Dm), причём d << R и m << m в силу того, что сфера тонкая:

Iсф = 25 (mR2 - (m - Dm)(R - d )2 )

Dm = 4πR2dρ = 4πR2d 3m = 3m d Þ

4πR3 R

d ö

3d öæ

d ö2

сф

çmR

- çm - 3m

÷(R - d )

÷ =

ç1

- ç1

÷ç1

= 2mRd

5 è

R ø

R øè

R ø

223

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Учитывая, что m есть масса сферы, получаем окончательный результат:

Iсф = 2 D3mRd Rd = 23 DmR2 = 23 mсф R2 Ответ: I1 = I2 = I3 = 52 mR2 , Iсф = 23 mсф R2 .

3) Круговой сплошной цилиндр радиуса R и высотой l (относительно оси, проходящей через центр цилиндра перпендикулярно ему). Рассмотреть также случай полого цилиндра.

Решение:

Направляя ось OZ вдоль оси цилиндра и вводя, таким образом,

цилиндрическую

систему

координат,

выделим

малый

элемент

объёма

dV = dz × rdϕ × dr . Его момент инерции относительно оси OZ равен:

dI1 = dm × r¢2

= ρ × dV × r¢2

= dm ×(z2 + r2 sin2 ϕ)=

rdr × dz × dϕ(z2+r2 sin2 ϕ)=

πR2l

(rdr × z2dz × dϕ + r3dr × dz ×sin2 ϕ × dϕ)Þ

πR2l

Интегрируя это выражение по всему объёму, получаем конечный

результат:

2π1- cos2ϕ

çæ r2

æ z3 ö

æ r4

×(ϕ)

2π

(z)

× ò

dϕ ÷ =

×ç

+ ç

πR

l ÷

2π +

π ÷

2 24

πR

Таким образом, I1 = I

2 =

mç R

÷ .

Найдём теперь I3 :

dI3 = dm × r 2 = ρ × dr × rdϕ × r 2 dz = r 3 dr × dϕ × ρ × dz Þ

4 ö

2π

2m R

= 2

ç r

(ϕ)

× (z)

2 ×

πR

l 4

Если цилиндр полый и имеет внутренний и внешний радиусы R1 и R2

соответственно, то его момент инерции равен:

4 ö

2π

(R2

-R1 )

l 1

I3 = 2π (R

-R2 )l

ç 4

×(ϕ)

×(z)

= 2π (R2

-R2 )l

2π ×

2 m(R2

+R1 )

Ответ: I1

, I3 =

. ( x3 – ось цилиндра).

= I

ç R

4) Прямоугольный параллелепипед с длинами ребер а, b, c. Решение:

Рассчитаем момент инерции относительно оси 1.

224

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Выделим малый элемент объёма dV = dx × dy × dz . Его момент инерции относительно данной оси равен:

dI1 = ρ × dV ×(x2 + y2 )Þ

òòò(x

dydx)dz =

×(y)

I =

dxdy + y

abc

m(b

ç b

÷ a

ç cb

+ c

mç

÷a

24 2

abc

abc è

					c			ö
æ	y	3	ö	2			b ÷			a
ç	y		÷			×(x)	2	÷(z)		2	=
ç			÷				2			2
+ ç	3		÷				0		0
è	3		ø	0				÷
								ø
+ c2 )

Аналогично вычисляются и моменты инерции относительно осей 2 и 3.

Ответ: I1 =

(b2

+ c2 ),

(c2

+ a2 ), I3 =

(a2 + b2 ).

(оси x1 , x2 ,

x3 параллельны ребрам a, b, c),

5) Круговой конус с высотой h и радиусом основания R.

Решение:

′

Вычисляем сначала тензор Iik по отношению к

осям с началом в вершине конуса (рис. 4).

Вычисление легко производится в цилиндрических

координатах и дает:

I1¢ = I2¢ =

mç

+ h2 ÷ ,

I3¢ =

mR2 .

Центр тяжести находится, как показывает

Рис. 4

простое вычисление, на оси конуса на расстоянии

a =

3 h от вершины. По формуле (14) находим окон-

чательно:

I1 = I2 = I1¢ - ma2 =

mç R2

÷,

= I3¢ =

mR2 .

Ответ: I1 = I2

= I1¢ - ma2

mç R2

÷,

= I3¢ =

mR2 .

6) Трехосный эллипсоид с полуосями а, Ь, с.

Решение. Центр инерции совпадает с центром эллипсоида, а главные оси инерции – с его осями. Интегрирование по объему эллипсоида может быть сведено к интегрированию по объему сферы путем преобразования ко-

ординат x = aξ , y = bη , z = cζ ,		превращающего уравнение поверхности
эллипсоида:
	x2		+	y2	+	z2	= 1
	a2			b2		c2

вуравнение поверхности единичной сферы:

ξ2 +η 2 + ζ 2 = 1

225

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Так, для момента инерции относительно оси x получаем:

I1 = ρòòò(y2 + z2 )dx × dy × dz =

=ρ × abcòòò(b2η 2 + c2ζ 2 )dξ × dη × dζ =

=abc 12 I ¢(b2 + c2 )

где I ′ – момент инерции шара единичного радиуса.

4πabc

Учитывая, что

объем

эллипсоида

равен

получим

окончательно моменты инерции:

I1 =

(b2 + c2 ),

I2 =

(a2

+ c2 ),

(a2 + b2 ).

Ответ: I1 =

(b2 + c2 ), I2 =

(a2 + c2 ),

(a2 + b2 ).

Момент импульса твердого тела.

Величина момента импульса системы зависит, как мы знаем, от выбора точки, относительно которой он определен. В механике твердого тела

наиболее рационален выбор в качестве этой точки начала подвижной системы координат, т. е. центра инерции тела. Ниже мы будем понимать под М момент, определенный именно таким образом.

При выборе начала координат в центре инерции тела его момент М совпадает с “собственным моментом”, связанным лишь с движением точек тела относительно центра инерции. Другими словами, в определении M = åm[r × v]надо заменить v на [Ωr]:

	r	r	r r
M = åm[r		×[W × r ]]= åm{r 2W - r (r × W)}
или в тензорных обозначениях:
Mi = å m{xi2Wi -xi xk Wk }=Wk å m{xi2δik -xi xk }
Наконец, учитывая	определение (4)		тензора инерции, получаем
окончательно:
Mi = IikΩk			(15)
Если оси x1 , x2 , x3	направлены вдоль главных осей инерции тела, то
эта формула дает:
M1 = I1Ω1, M2 = I2Ω2 , M3 = I3Ω3			(16)
В частности, для шарового волчка, когда все три главных момента
инерции совпадают, имеем просто:
M = IΩ			(17)

т. е. вектор момента пропорционален вектору угловой скорости и имеет одинаковое с ним направление.

226

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

В общем же случае произвольного тела вектор М, вообще говоря, не
совпадает по своему направлению с вектором Ω, и лишь при вращении тела
вокруг какой-либо из его главных осей инерции М и Ω имеют одинаковое
направление.
Рассмотрим свободное движение твердого тела, не подверженного
действию каких-либо внешних сил. Не представляющее интереса
равномерное поступательное движение будем предполагать исключенным,
так что речь идет о свободном вращении тела
Как и у всякой замкнутой системы, момент импульса свободно
вращающегося тела постоянен. Для шарового волчка условие М = const
приводит просто к Ω = const. Это значит, что общим случаем свободного
вращения шарового волчка является просто равномерное вращение вокруг
постоянной оси.
Столь же прост случай ротатора. Здесь тоже М = IΩ, причем вектор Ω
перпендикулярен к оси ротатора. Поэтому сво-
бодное вращение ротатора есть равномерное
вращение в одной плоскости вокруг направле-
ния, перпендикулярного к этой плоскости.
Закон сохранения момента достаточен и
для определения более сложного свободного
вращения симметрического волчка.
Воспользовавшись	произвольностью
выбора направлений главных осей инерции x1 ,		Р
x2 (перпендикулярных к оси симметрии волчка

x3 ), выберем ось х2 перпендикулярной к
плоскости, определяемой постоянным вектором М и мгновенным
положением оси x2 .Тогда М2 = 0, а из формул (16) видно, что и Ω2 = 0.

Это значит, что направления М, Ω и оси волчка в каждый момент времени лежат в одной плоскости (рис. 5). Но отсюда в свою очередь следует, что скорости v = [Ωr] всех точек на оси волчка в каждый момент времени перпендикулярны к указанной плоскости; другими словами, ось волчка равномерно (см. ниже) вращается вокруг направления М, описывая круговой конус (так называемая регулярная прецессия волчка). Одновременно с прецессией сам волчок равномерно вращается вокруг соб- ственной оси.

Угловые скорости обоих этих вращений легко выразить через заданную величину момента М и угол наклона θ оси волчка к направлению М. Угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси есть просто проекция Ω3 вектора Ω на эту ось:

Ω	3	= M3	= M cosθ (18)
		I3	I3

Для определения же скорости прецессии Ωпр надо разложить вектор Ω по правилу параллелограмма на составляющие вдоль x3 и вдоль М. Из них

227

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

первая не приводит ни к какому перемещению самой оси волчка, а потому вторая и дает искомую угловую скорость прецессии, Из построения на рис. 5

ясно, что Ω	пр	sinθ = Ω , а поскольку Ω			1	=	M1	=	M	sinθ , то получаем:
ясно, что Ω		sinθ = Ω , а поскольку Ω				=		=		sinθ , то получаем:
		1					I1		I1
							I1		I1
		W	пр	= M				(19)
			пр			I1
						I1

Уравнения движения твердого тела.

Поскольку твердое тело обладает в общем случае шестью степенями свободы, то общая система уравнений движения должна содержать шесть независимых уравнений. Их можно представить в, виде, определяющем производные по времени от двух векторов: импульса и момента тела.

Первое из этих уравнений получается просто путем суммирования уравнений p& = f для каждой из составляющих тело частиц, где р — импульс частицы, а f — действующая на нее сила. Вводя полный импульс тела

P = å p = μV

и полную действующую на него силу å f = F , получим:

dP = r

F (20)

Хотя мы определили F как сумму всех сил f, действующих на каждую из частиц, в том числе со стороны других частиц тела, фактически в F входят лишь силы, действующие со стороны внешних источников. Все силы взаимодействия между частицами самого тела взаимно сокращаются; действительно, при отсутствии внешних сил импульс тела, как и всякой зам- кнутой системы, должен сохраняться, т. е. должно быть F = 0.

Если U — потенциальная энергия твердого тела во внешнем поле, то сила F может быть определена путем дифференцирования ее по координатам центра инерции тела:

F = -

∂U

(21)

¶R

Действительно, при поступательном перемещении тела на δR

настолько же меняются и радиус-векторы

r каждой точки тела, а потому

изменение потенциальной энергии равно:

∂U

r r

δU =å

δr

=δRå

=-δRå f

=-FδR

¶r

Отметим в этой связи, что уравнение (20) может быть получено и как

уравнение Лагранжа по отношению к координатам центра инерции:

d ∂L

∂L

dt ¶V

¶R

228

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

с функцией Лагранжа (6), для которой:

∂L	r	r	∂L		∂U	r
r	= μV	= P,	r	= -	r	= F .
¶V			¶R		¶R

Перейдем к выводу второго уравнения движения, определяющего

производную по времени от момента импульса М. Для упрощения вывода удобно выбрать «неподвижную» (инерциальную) систему отсчета таким образом, чтобы в данный момент времени центр инерции тела покоился относительно нее.

Имеем:

r r

M =

å[r × p]=

å [r

× p]+ å [r × p].

В силу сделанного нами выбора системы отсчета (в которой V = 0)

данный момент

времени

значение r

совпадает со скоростью v = r .

Поскольку

же

векторы

v и

p = mv

имеют

одинаковое направление,

то[r

× p]= 0. Заменив также p на силу f , получим окончательно:

(22)

где

(23)

K =å[r × f ]

Поскольку момент М определен относительно центра инерции (см. момент импульса твёрдого тела), он не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Отсюда следует, что уравнение движения (22), полученное здесь при определенном выборе системы отсчета, тем самым, в силу галилеевского принципа относительности, справедливо в любой инерциальной системе.

r	× f ] называется моментом силы f , так что	K есть сумма
Вектор [r

моментов всех сил, действующих на тело. Как и в полной силе F , в сумме (23) фактически должны учитываться лишь внешние силы; в соответствии с законом сохранения момента импульса сумма моментов всех сил, действующих внутри замкнутой системы, должна обращаться в нуль.

Момент силы, как и момент импульса, зависит, вообще говоря, от выбора начала координат, относительно которого он определен. В (22), (23) моменты определяются относительно центра инерции тела.

При переносе начала координат на расстояние a новые радиус-векторы

r точек тела связаны со старыми r			посредством r = r ′ + a . Поэтому
K =å	[	r	]	[	r¢		]	[	r	× f	]
K =å	r		× f =å	r			× f +å	a		× f
или					r	×F]					(24)
					r
		K =K ¢+[a

229

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Отсюда видно, в частности, что величина момента сил не зависит от

выбора начала координат, если полная сила F = 0 (в таком случае говорят, что к телу приложена пара сил).

Уравнение (22) можно рассматривать как уравнение Лагранжа:

d ∂L = ∂L dt ¶W ¶ϕ

по отношению к “вращательным координатам”. Действительно, дифференцируя функцию Лагранжа (6) по компонентам вектора Ω, получим:

		∂L	= Iik Wk		= Mi
			= Iik Wk		= Mi
	¶Wi
Изменение же потенциальной энергии U при повороте тела на
бесконечно малый угол dϕ равно:						r
r			r			r	× f ]=-Kδϕ
δU =-å f ×δr		=-å f ×[δϕ×r			]=-δϕå [r		× f ]=-Kδϕ
откуда				∂U
			K = -	∂U
			K = -	¶ϕ
				¶ϕ
так что							(25)
так что
Предположим, что векторы F и K взаимно перпендикулярны. В этом
случае всегда можно найти такой вектор					a , чтобы		в формуле (25) K ′
обратилось в нуль, так что будет:
			r				(26)
			K =[a×F]				(26)

При этом выбор а неоднозначен, прибавление к нему любого вектора, параллельного F, не изменит равенства (26), так что условие K ′ = 0 даст не определенную точку в подвижной системе координат, а лишь определенную

прямую линию. Таким образом, при K ^ F действие всех приложенных к

нему сил может быть сведено к одной силе F , действующей вдоль опре- деленной прямой линии.

Таков, в частности, случай однородного силового поля, в котором действующая на материальную точку сила имеет вид f = eE , где E —

постоянный вектор, характеризующий поле, а величина е характеризует свойства частицы по отношению к данному полю4), В этом случае имеем:

å	r	×E]
F = Eåe, K =[	er	×E]

4 Так, в однородном электрическом поле E есть напряженность поля, а е — заряд частицы. В однородном поле тяжести E есть ускорение силы тяжести g , а е - масса частицы m.

230

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2823 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке то что давала филимонова

#
09.02.2015729.6 Кб32Законы сохранения.DOC
#
09.02.2015325.12 Кб21Законы сохраненияЛекция.doc
#
09.02.2015994.3 Кб10Источники ошибок и методы их учета.ppt
#
09.02.20152.25 Mб6Ищем релаксации время.bmp
#
09.02.20152 Mб25Лаб раб Вязкость возд Пуазейль ТРИ ИТОГ.doc
#
09.02.20154.53 Mб292Лекции Механика для студентов Физика.pdf
#
09.02.201510.52 Mб675Методичка по механике вся Печать новый вариант12г.doc
#
09.02.2015193.02 Кб54Механические колебания и волны.ppt
#
09.02.2015201.73 Кб17Описание движения в неИСО.ppt
#
09.02.2015181.25 Кб10ПрограмВопросМеханика.DOC
#
09.02.2015772.61 Кб24Слайды по погрешностям сокращенно по объему.ppt