то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

пропорционально времени, а не по экспоненциальному закону.

Затухание при произвольных силах трения.

Для того чтобы найти закон уменьшения амплитуды колебаний, необходимо решить уравнения движения, что не всегда достаточно просто. Однако, пользуясь энергетическими соображениями, можно прямым

вычислением потерь энергии на трение и их сравнением с полной энергией сделать заключение о характере и скорости затухания колебаний, аналогично тому, как это было сделано при выводе (24).

Применим этот “энергетический” метод для анализа затухания при сухом трении. Для расчета удобнее пользоваться не амплитудой скорости, как при выводе (24), а амплитудой отклонения А. За один период колебаний сила Fo направлена против скорости, а пройденный при этом путь равен 4А.

A = − 4DFo , что согласуется с результатом точного решения уравнения (25).

Оценим этим методом характер затухания для других зависимостей силы трения от скорости. Если сила трения не зависит от скорости, то, как это только что было показано, потеря энергии за период пропорциональна амплитуде, т. е. E ~ A. Если Fтр ~ v , то, как это следует из (20), E ~ A2 . Аналогично вычисляя работу сил трения за период, убеждаемся, что если

151

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

момент начала действия внешней силы, после некоторого промежутка

времени осциллятор будет совершать одни и те же установившиеся гармонические колебания. Процесс установления колебаний называется переходным режимом.

При рассмотрении переходного режима самым важным является вопрос о его продолжительности. Оно определяется временем затухания колебаний, которые имелись в момент начала действия внешней силы. Это

время нам известно – оно равно τ = γ1 . Это есть тот промежуток времени,

после которого можно забыть о первоначально существовавших колебаниях и рассматривать только установившиеся под действием внешней силы колебания. С другой стороны, если начальных колебаний не было, то

вынужденные колебания не мгновенно достигнут своего стационарного режима. Можно показать, что время установления стационарного режима

вынужденных колебаний после начала действия силы также равно τ = γ1 .

Установившиеся вынужденные колебания.

В этом случае надо считать, что сила F = Fo cosωt начала действовать

очень давно, т. е. в бесконечно далекий прошедший момент времени. Таким образом, принимаем, что уравнение (33) справедливо для всех моментов времени. Для его решения опять удобно воспользоваться комплексной фор- мой гармонических колебаний, записав в этой форме выражения для силы в правой части (33). Уравнение (33) принимает следующий вид:

Это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, т. е. время t должно исключаться из него. Из этого условия следует, что α = ω . Найдя из (36) величину А и умножив ее числитель и знаменатель на ωo2 − ω 2 − 2iγω , можем записать

Комплексное число (37) удобнее представить в экспоненциальной форме:

153

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Таким образом, под влиянием внешней гармонической силы

осциллятор совершает вынужденные гармонические колебания с частотой этой силы. Фаза и амплитуда этих колебаний определяются как свойствами силы, так и характеристиками осциллятора. Рассмотрим изменение фазы и амплитуды вынужденных колебаний.

Амплитудно-частотная характеристика.

Кривая, описывающая зависимость амплитуды

вынужденных установившихся колебаний от частоты внешней силы, называется амплитудно-частотной характеристикой. Ее аналитическое выражение дается формулой (38б), а графическое изображение приведено на рис. 3.

Максимального значения амплитуда достигает Рис. 3 при частоте внешней силы, близкой к частоте собственных колебаний осциллятора (ω ≈ ωo ). Колебания

с максимальной амплитудой называются резонансными, а само явление “раскачки” колебаний до максимальной амплитуды при ω ≈ ωo называется

резонансом. Частота ωo в этом случае называется резонансной. При

отклонении частоты внешней силы от резонансной амплитуда резко умень- шается.

Рассмотрим физическую картину явления в различных областях частот. Наибольший интерес представляют колебания при малом трении. Поэтому будем предполагать, что γ << ωo

С л у ч а й 1: ω << ωo

Из формулы (38б) получаем для амплитуды выражение:

Физический смысл этого результата состоит в следующем. При очень

малой частоте внешней силы она действует на систему как постоянная статическая сила. Поэтому максимальное смещение (амплитуда) равно

154

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

D = mωo2 – жесткость, характеризующая возвращающую силу. Из условия ω << ωo

следует, что в уравнении движения (33) член &x&, обусловленный ускорением, и член 2γx& , означающий скорость, много меньше члена ωo2 x , связанного с

Это означает, что в каждый момент смещение является таким, каким оно должно быть, если бы сила не изменялась со временем и была равна ее мгновенному значению. Силы трения роли не играют.

С л у ч а й 2:

Из формулы (38б) получаем для амплитуды выражение

Физический смысл этого результата состоит в следующем. При очень большой частоте внешней силы член, обусловленный ускорением &x&, много больше каждого из членов, связанных со скоростью и упругой силой, потому

Таким образом, силы упругости и силы трения в сравнении с внешней силой не играют никакой роли в колебаниях. Внешняя сила действует на осциллятор так, как если бы никаких сил упругости и сил трения не было.

С л у ч а й 3: ω ≈ ωo .

Это есть случай резонанса. При резонансе амплитуда имеет максимальное значение, для которого из формулы (38б) при условии γ << ωo

Физический смысл этого результата заключается в следующем. Член, связанный с ускорением, равен члену, обусловленному упругой силой, т. е. &x& = −ω 2 x = −ωo2 x . Это означает, что ускорение создается силой упругости, а

внешняя сила и сила трения – взаимно компенсируются. Уравнение (33)

имеет вид

155

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

и его решение записывается следующим образом:

найдено по общему правилу путем приравнивания нулю производной от Ao по ω в (38б). Однако при не очень большом трении, когда γ << ωo , смещение максимума от ω = ωo весьма незначительно и не имеет смысла принимать его во внимание.

Добротность.

Важной характеристикой свойств осциллятора является рост амплитуды его колебаний в резонансе в сравнении со статическим ее значе- нием, т. е. со смещением под действием постоянной силы. Из формул (41) и (45) следует

где θ – логарифмический декремент затухания. Величина Q называется добротностью системы. Добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы.

Из формулы (47) видно, что чем меньше затухание осциллятора, тем более энергично он раскачивается в резонансе, поскольку

Ao, рез = Ao,статQ = Ao,стат πθ , как видно из (47).

Важной характеристикой резонансных свойств является не только увеличение амплитуды в резонансе, но и интенсивность этого увеличения. Другими словами, важно не только значение резонансной амплитуды, но и насколько энергично уменьшается эта амплитуда при отклонении от резо- нансной частоты. Это свойство характеризуется понятием ширины резонансной кривой. Однако эта

величина определяется не относительно амплитуды колебаний, а относительно квадрата амплитуды. Это связано с тем, что такая важнейшая характеристика линейного осциллятора, как энергия, дается не амплитудой смещения, а ее квадратом. Вид резонансной

Рис. 4 кривой квадрата амплитуды аналогичен рис. 3. Эта кривая изображена на рис. 4 вместе с указанием полуширины резонансной кривой: полушириной резонансной кривой

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

частоты, где квадрат амплитуды убывает в два раза. Нетрудно вычислить эту полуширину. Вблизи резонанса ω = ωo можно считать

т. е. ширина равна удвоенному декременту затухания: чем меньше затухание, тем меньше ширина и острее резонансная кривая.

Более удобно формулу (50) выразить через логарифмический декремент затухания и добротность. Разделим обе части (50) на ωo и учтем (47):

Таким образом, ширина ω резонансной кривой равна частоте резо- нанса, деленной на добротность.

При увеличении добротности возрастает резонансная амплитуда и уменьшается ширина резонансного максимума. Однако, как это следует из (47) и сказанного выше о переходном режиме, с увеличением добротности возрастает время установления вынужденных колебаний.

происходит

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

При очень малых частотах ω << ωo фаза ϕ мала и отрицательна. Это

означает, что смещение отстает по фазе от силы на очень небольшую величину: с возрастанием частоты отставание смещения по фазе от силы

увеличивается. При резонансе смещение отстает от силы по фазе на π2 . Это

означает, что в тот момент, когда сила достигает максимального значения, смещение равно нулю, а когда сила равна нулю, смещение максимально. При

дальнейшем возрастании частоты отставание смещения от силы продолжает увеличиваться и при очень больших частотах ω >> ωo приближается к π .

сила достигает максимального положительного значения, смещение имеет максимальное отрицательное значение. Затем сила и смещение изменяются в противоположных направлениях, проходя нулевое значение почти одновременно.

Эти фазовые соотношения между смещением и силой позволяют более глубоко понять сущность явления резонанса. Как было подмечено выше,

скорость опережает смещение на π2 . С другой стороны, при резонансе сила опережает смещение также на π2 . Следовательно, скорость и сила колеб-

лются в одной фазе, т. е. сила все время совпадает по направлению со ско- ростью. Поэтому работа внешней силы достигает максимального значения. Если резонанса нет, то часть времени сила совпадает по направлению со скоростью и, следовательно, энергия осциллятора увеличивается, а часть вре- мени действует против скорости и, следовательно, его энергия уменьшается. Поэтому резонанс характеризуется наличием максимально возможных бла-

гоприятных условий для передачи энергии от источника внешней силы к осциллятору. Самые неблагоприятные условия передачи энергии от источника внешней силы к осциллятору имеют место при ω << ωo и ω >> ωo ,

когда фазы силы и скорости отличаются почти на π2 . Это означает, что сила

примерно половину времени направлена противоположно скорости и половину времени совпадает с ней. Таким образом, в среднем осциллятору

от источника внешней силы передается незначительная энергия за период колебаний и поэтому амплитуда колебаний в этих случаях очень мала.

Периодическая, но не гармоническая сила.

Если действующая на осциллятор внешняя сила Fo f (t) является

периодической с периодом Т, то по известным из математического анализа формулам ее можно представить в виде ряда Фурье, каждый член которого является гармонической функцией:

158

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

n=0

где ω = 2Tπ . Эта сила действует на осциллятор вместо силы (31) и вхо-

дит в правую часть уравнения (33).

Для нахождения результата ее действия никаких новых расчетов делать не требуется. Достаточно учесть, что уравнение (33) является линейным и, следовательно, его решение может быть представлено как сумма решений уравнений, в правой части которых стоит один из членов суммы (53). Другими словами, каждое из слагаемых гармонических сил в (53) действует на линейный осциллятор независимо. Это действие уже изучено. Полное колебание слагается из суммы колебаний, вызываемых отдельными гармоническими силами в (53).

Наиболее сильное влияние на осциллятор оказывают те члены суммы (53), частоты которых лежат вблизи резонансной частоты, т. е у которых nω ≈ ωo . Если таких частот нет, то периодическая сила Fo f (t) не вызывает

сильного роста амплитуды колебаний осциллятора. Если же такие частоты есть, то наблюдается явление резонанса. Резонансная амплитуда, ширина

резонансной линии и сдвиг фаз находятся по рассмотренным выше формулам. Абсолютное значение резонансной амплитуды зависит от коэффи- циента an и bn в соответствующих членах суммы (53). Если эти члены очень

малы, то рост резонансной амплитуды даже в сотни раз не приведет к существенному увеличению суммарной амплитуды колебаний. В этом случае резонансные члены в (53) не имеют значения.

Если же коэффициенты an и bn в резонансных членах не очень малы, то

соответствующие резонансные амплитуды играют определяющую роль в характере действия силы Fo f (t) на осциллятор.

Как уже было отмечено, большинство физических систем при малом отклонении от положения равновесия ведут себя как линейные осцилляторы. Например, вершины строительных конструкций (башен, домов), мосты раз- ных конструкций и т. д. колеблются как линейные осцилляторы. Вра- щающиеся валы машины испытывают крутильные колебания, которые также являются колебаниями линейного осциллятора (угловое ускорение а при отклонении от положения равновесия пропорционально углу отклонения, т. е. α&& ~ α ). Кроме того, эти системы часто подвергаются воздействию периодических сил. Например, вал машины испытывает периодические усилия со стороны поршней в результате сгорания топлива в цилиндрах, на

различные части моста воздействует почти периодическое изменение давления от последовательности автомашин, идущих друг за другом более или менее регулярно, периодические шаги пешеходов и т. д. Чтобы проанализировать результат этих периодических воздействий, необходимо произвести спектральный анализ сил, т. е. представить силы в виде (53) и посмотреть, с какими коэффициентами an и bn в этом разложении

присутствуют различные гармонические составляющие силы

159

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Затем надо проанализировать, с какими собственными частотами ωoi

может колебаться система. Вообще говоря, реальная система обладает не одной собственной частотой, а несколькими или даже бесконечным

числом и ее при малых отклонениях не всегда можно представить в виде одного линейного осциллятора. Может случиться, что при малых

отклонениях система ведет себя как совокупность линейных осцилляторов с различными собственными частотами. Каждый из них под действием

соответствующих гармонических составляющих силы может начать резонансные колебания. Например, мост может совершать вертикальные колебания, горизонтальные смещения поперек своей длины, колебания вдоль своей длины и т. д. Собственные частоты колебаний различны и у каждого вида колебаний имеется не одна собственная частота. Все собственные частоты надо принять во внимание при анализе действия внешней перио- дической силы. Конструкторская работа частично состоит в том, чтобы избе- жать резонансного действия внешних сил на систему. Не менее важной

задачей в других случаях является обеспечение резонансного воздействия внешних сил на систему. Например, в радиотехнике при приеме радио- сигналов необходимо добиться их резонансного воздействия на колебатель- ные контуры радиоприемника. В обоих случаях задача сводится к исследова- нию вынужденных колебаний линейного осциллятора под действием внеш- ней периодической силы.

Следует также принять во внимание возможную связь различных ли- нейных осцилляторов друг с другом. Это будет сделано при рассмотрении колебаний связанных систем.

Непериодическая сила.

Периодическая сила, действие которой на линейный осциллятор было только что рассмотрено, является идеализированным представлением, которое в реальных условиях никогда не осуществляется. Чтобы быть периодической в строгом смысле этого слова, сила должна действовать периодически в течение бесконечного времени. Если же действие силы имеет начало и конец, то, строго говоря, она не является периодической. Тем не менее, реальные силы, имеющие периодический характер и действующие в течение конечного промежутка времени, с успехом можно рассматривать как периодические. Для этого сила должна действовать “достаточно продолжительно”. Чтобы получить критерий “достаточной продолжи- тельности”, проанализируем гармонические силы.

После начала действия гармонической силы (31) для установления вынужденных стационарных колебаний требуется время τ = γ1 . Если воздей-

ствие силы продолжается значительно дольше этого времени и система совер- шает достаточно много колебаний, то результат является таким же, как если бы оно продолжалось бесконечно долгое время. Следовательно, при этом

160

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com