то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

В векторном виде это выражение, как это непосредственно видно из соотношения направлений различных величин на рис. 8, можно представить следующим образом:

где v′ – относительная скорость, в данном случае направленная вдоль радиуса.

В случае движения точки перпендикулярно радиусу, т. е. по окружно- сти, относительная скорость v′ = ω′r , а угловая скорость вращения точки в неподвижной системе координат равна ω + ω′ , где ω – угловая скорость вра- щающейся системы координат. Для абсолютного ускорения получаем сле- дующее выражение:

Первый член в правой части представляет переносное ускорение, второй член – относительное ускорение. Последний член 2ωω′r = 2ωv′ является кориолисовым ускорением. Все ускорения в (28) направлены вдоль радиуса к центру вращения. С учетом направления кориолисово ускорение в (28) может быть записано в виде:

где v′ – относительная скорость, в данном случае направленная перпендикулярно радиусу.

Произвольная скорость может быть выражена в виде суммы компонент, направленных по радиусу и перпендикулярно ему, и для обеих компонент справедлива одна и та же формула вида (29). Отсюда следует, что формула (29) справедлива для кориолисова ускорения при произвольном направлении относительной скорости.

Если скорость направлена параллельно оси вращения, то никакого кориолисова ускорения не возникает, так как при этом соседние точки траек- тории имеют одинаковую переносную скорость.

Можно получить выражение для кориолисова ускорения более формальным путем – прямым вычислением абсолютного ускорения. Записав радиус-вектор движущейся точки в виде:

– относительная скорость. Отсюда находим абсолютное ускорение:

причем угловая скорость вращения считается постоянной и учтено, что

122

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

(рис. 9). Таким образом, переносное ускорение является центро- стремительным (напомним, что угловая скорость вращения считается постоянной).

Силы инерции во вращающейся системе координат.

По общей формуле (10) можно найти силы инерции во вращающейся системе координат с учетом (35) для абсолютного ускорения. Имеем

связанная с переносным ускорением, называется центробежной силой инер- ции. Она направлена вдоль радиуса от оси вращения. Сила инерции

связанная с кориолисовым ускорением, называется силой Кориолиса. Она пер- пендикулярна плоскости, в которой лежат векторы угловой и относительной скоростей. Если эти векторы совпадают по направлению, то ускорение Кориолиса равно нулю.

Равновесие маятника на вращающемся диске.

В качестве примера рассмотрим равновесное положение маятника на вращающемся диске (рис. 10). В

неинерциальной системе координат на маятник действует центробежная сила инерции. Сила Кориолиса в положении равновесия отсутствует, и, следовательно,

Рис. 10

123

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

относительная скорость равна нулю (v′ = 0). Уравнение движения имеет вид:

каждый момент к оси вращения и равная mω 2 r . Эта сила обеспечивает дви- жение тела вокруг оси вращения.

кориолисовым. Это обычная сила, обусловленная деформацией стержня.

В неинерциальной системе координат, связанной с вращающимся стержнем, имеются четыре силы, которые взаимно уравновешиваются, в результате чего тело движется в этой системе равномерно, без ускорений (рис. 11б):

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

3) кориолисова сила инерции Fк , приложенная к телу. Следует

подчеркнуть, что эта сила приложена именно к телу, а не к стержню. Он изогнут за счет обычного взаимодействия деформированных тел, а не потому, что к нему приложена сила Кориолиса. Ситуация здесь совершенно аналогична той, когда тело лежит на столе: сила тяжести приложена к телу,

ана стол со стороны тела действует сила, обусловленная его деформацией,

аотнюдь не сила тяжести.

4)со стороны изогнутого стержня к телу приложена сила Fдеф , обуслов-

ленная деформацией штанги. Эта сила равна силе Кориолиса, но противопо- ложна ей по направлению.

Неинерциальная система координат, связанная с поверхностью Земли. Поскольку Земля вращается, система координат, связанная с ее

поверхностью, является неинерциальной вращающейся системой координат.

Угловую скорость вращения в любой точке поверхности удобно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие (рис. 12): ω = ωв + ωг . На широте ϕ эти составляющие равны соответственно ωг = ω cosϕ ,

ωв = ω sin ϕ .

Центробежная сила инерции, равная mω 2 R cosϕ , где R – радиус Земли, лежит в плоскости меридиана. В северном полушарии она отклонена от вер- тикали к югу на угол ϕ , в южном – к северу на тот же угол. Таким обра-

зом, вертикальная составляющая этой силы изменяет силу тяжести, а ее го-

ризонтальная составляющая направлена по касательной к поверхности Земли вдоль меридиана к экватору.

Сила Кориолиса зависит от относительной скорости тела. Эту скорость удобно разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие: v′ = vв′ + vг′. Тогда сила Кориолиса может быть представлена в виде

перпендикулярно плоскости меридиана. Если тело движется вверх, то сила направлена на запад, а если вниз – то на восток. Поэтому

свободно падающее с достаточно большой высоты тело отклоняется на восток от вертикали, направленной в центр Земли. Эта сила, отклоняющая тело от вертикали, очевидно, равна

2mω cosϕvв′ .

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

составляющей угловой скорости вращения Земли и направлена вертикально. Эта сила либо прижимает тело к Земле, либо, наоборот,

стремится удалить его от поверхности Земли в зависимости от направлений векторов ωг и vг′ , что необходимо принимать во внимание при движении

тел на достаточно большие расстояния, например при полете баллистических ракет.

Вторая составляющая силы Кориолиса, связанная с горизонтальной со- ставляющей скорости движения vг′ , равна − 2mωв × vг′ . Она является гори-

зонтальной силой, перпендикулярной скорости. Если смотреть вдоль скоро- сти, то в северном полушарии она всегда направлена вправо. Силой Ко- риолиса обусловлено, например, неодинаковое изнашивание рельсов двухко- лейной железной дороги, когда поезда по каждой колее движутся все время в одном направлении. В этом случае сила Кориолиса, приложенная к центру масс вагона, создает относительно правого рельса момент, который должен

быть уравновешен увеличением силы реакции со стороны правого рельса на колеса. Поэтому давление правых колес на рельсы больше, чем левых, и это

приводит к некоторому небольшому увеличению износа правых рельсов в сравнении с износом левых. Важным проявлением действия силы Кориолиса

является изменение положения плоскости колебаний маятника относительно поверхности Земли.

Маятник Фуко.

Рассмотрим колебание маятника с учетом действия на него горизонтальной составляющей силы Кориолиса. Проекция

материальной точки маятника на горизонтальную плоскость движется по кривым, показанным на рис. 13. Различие кривых объясняется следующим образом.

Рис. 13 Если маятник отклонен от положения

равновесия и отпущен с нулевой начальной скоростью относительно наблюдателя, движущегося вместе с Землей, то он начинает двигаться к центру равновесия. Однако сила Кориолиса отклоняет его вправо и он не проходит через центральную точку. В результате проекция материальной точки маятника движется по кривой, показанной на рис. 13 а.

Можно привести маятник в движение другим способом: сообщить ему скорость в точке равновесия. Характер его движения при этом изменится. При удалении от центра сила Кориолиса сообщает ему ускорение вправо. Бла- годаря этому к моменту отклонения маятника в крайнее положение, когда его скорость вдоль радиуса от центра качания обратится в нуль, он приоб- ретает максимальную скорость в направлении перпендикулярном радиусу. В результате этого траектория маятника касается окружности, радиус которой

126

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

равен максимальному смещению его от положения равновесия. При этом движение проекции материальной точки маятника происходит по траектории, изображенной на рис. 13б.

Отклонение направления качаний маятника за одно колебание очень невелико. Весь процесс представляется как вращение плоскости качаний маятника вокруг вертикали.

Колебания маятника Фуко можно рассмотреть также в инерциальной системе координат, связанной со сферой неподвижных звезд, относительно которых плоскость колебания маятника сохраняет свое положение неизменным. В

результате вращения Земли меняется положение плоскости качаний маятника относительно ее поверхности, которое и фиксируется маятником Фуко. На полюсе это изменение легко себе представить. Для произвольной точки земной поверхности это сделать несколько труднее, но дело происходит точно так же, как и на полюсе, только угловой скоростью вращения является

ωв .

Угловая скорость вращения плоскости качаний маятника равна ωв .

Поэтому на полюсе один оборот совершается за сутки, а на широте ϕ за sin1ϕ

суток. На экваторе плоскость качаний маятника Фуко не вращается.

Законы сохранения в неинерциальных системах.

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса в механике являются математическим следствием уравнений движения.

Энергия, импульс и момент импульса системы материальных точек сохраняют свое значение для замкнутых систем, т. е. в том случае, если нет внешних сил и момента внешних сил. Если имеются внешние силы, то энергия, импульс и момент импульса системы изменяются.

В неинерциальных системах отсчёта наряду с “обычными” силами действуют силы инерции. Эти силы всегда являются внешними по отношению к рассматриваемым телам. Следовательно, в этих системах не

существует замкнутых систем материальных тел и поэтому нет законов сохранения энергии, импульса и моментов импульса в обычном смысле.

Однако нет никаких препятствий включить силы инерции в число сил системы и считать после этого систему замкнутой. Силы инерции в соответст- вии с уравнением (2) должны учитываться точно так же, как обычные силы. В частности, при расчете изменения энергии необходимо учитывать работу сил инерции, принимать во внимание момент сил инерции в уравнении моментов и т. д.

Характер законов сохранения в неинерциальных системах зависит от свойств сил инерции. Во вращающейся с постоянной угловой скоростью неинерциальной системе координат силы инерции, связанные с переносным ускорением, являются центральными силами (точнее, осевыми, направленными по прямой от оси вращения). Как было уже показано ранее,

127

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

центральные силы всегда потенциальны. С другой стороны, сила инерции

Кориолиса перпендикулярна скорости частицы и поэтому не совершает работы. Следовательно, во вращающейся с постоянной скоростью неинерциальной системе отсчета справедлив закон сохранения энергии, если

только наряду с обычной потенциальной энергией принять во внимание потенциальную энергию, связанную с силами инерции. Нетрудно видеть, что

закон сохранения энергии может быть также сформулирован и в неинерциальной системе отсчета, движущейся поступательно, равномерно и прямолинейно, если только учесть работу сил инерции.

При рассмотрении изменения импульса и момента импульса необходи- мо включить в уравнения силы инерции и их момент. Для обеспечения сохранения этих величин надо, чтобы силы инерции удовлетворяли тем же требованиям, которым должны удовлетворять с точки зрения законов со- хранения в инерциальных системах обычные силы.

Рассмотрим количественно движение тела вблизи поверхности земли в неинерциальной системе координат, связанной с ее поверхностью. Ускорение свободного падения обозначим g, сопротивлением воздуха будем пренебрегать.

В формулах (30) – (36) предполагалось, что начало отсчета радиуса- вектора r покоится в инерциальной системе координат. В качестве такой точки возьмем точку на оси вращения. Пусть начало неинерциальной системы координат на поверхности земли характеризуется радиусом-вектором ro , а

радиус-вектор тела вблизи поверхности земли относительно этого начала обозначим r ′ . Имеем:

меньше предпоследнего, поскольку, по условию, r′ << rз . Поэтому последними

двумя членами справа в (44) можно пренебречь в сравнении с первым и за- писать уравнение, в виде

необходимости можно также учесть изменение вертикали в различных точках поверхности земли и изменение g с высотой и в результате других причин.

128

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Колебания. Гармонические и собственные колебания.

шивается: как будет двигаться шарик в вертикальном направлении, если его отклонить от положения равновесия и отпустить? В этом случае сила, дей- ствующая на шарик, выражается сложной функцией его отклонения от

положения равновесия в вертикальном направлении и при решении задачи встречаются те же трудности, которые упомянуты в первом примере.

Однако в большинстве практически важных случаев нас интересует поведение системы не при всевозможных отклонениях от положения равновесия, а лишь при малых отклонениях. При этом условии вопрос значительно упрощается. Каким бы сложным ни был закон действия f(x), эту функцию можно представить в виде ряда Тейлора:

такого разложения функции в ряд рассматриваются в математике. Нам достаточно заметить, что законы действия сил f(x), встречающихся в

(1). Все последующие члены ряда пропорциональны x2 , x3 и т. д. и при достаточно малом х сколь угодно малы в сравнении с первым членом.

Поэтому при анализе достаточно малых отклонений х силу можно считать равной xf ′(0). Поскольку точка x = 0 должна быть точкой устойчивого равновесия, сила xf ′(0) должна быть направлена всегда к точке x = 0 . Это

130

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com