то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

Таким образом, при движении твердого тела в однородном поле влияние поля сводится к действию одной силы F, “приложенной” в точке с радиус-вектором (27). Положение этой точки всецело определяется свойствами самого тела; в поле тяжести, например, она совпадает с центром

инерции тела

некоторой прямой (ON на рис. 6), которую называют линией узлов. Эта линия, очевидно, перпендикулярна как к оси Z, так и к оси x3 ; её положительное

направление выберем так, чтобы оно соответствовало направлению векторного произведения [zx3 ] (где z, х3 — орты в направлении осей Z и х3).

В качестве величин, определяющих положение осей x1 , x2 , x3

относительно осей X, Y, Z, примем следующие углы: угол θ между осями Z и x3 , угол φ между осями X и N, угол ψ между осями N и x1 . Углы φ и ψ

отсчитываются в направлениях, определяемых правилом винта, соответственно вокруг осей Z и x3 .

231

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Угол θ пробегает значения от нуля до π, а углы φ и ψ – от нуля до 2π 5)

.

Выразим теперь компоненты вектора угловой скорости Ω по подвижным осям x1 , x2 , x3 через эйлеровы углы и их производные. Для этого

надо спроектировать на эти оси угловые скорости θ& , ϕ& , ψ& . Угловая скорость θ& направлена по линии узлов ON и ее составляющие по осям x1 , x2 , x3 равны:

Если оси x1 , x2 , x3 выбраны по главным осям инерции твердого тела,

то вращательную кинетическую энергию, выраженную через эйлеровы углы, мы получим подстановкой (29) в (10).

Для симметрического волчка, у которого I1 =I2 ¹I3 , найдем после простого приведения:

пользовавшись произвольностью выбора направлений главных осей инерции

Вкачестве простого примера применения эйлеровых углов определим

сих помощью известное уже нам свободное движение симметрического волчка.

5 Углы θ и ϕ − π2 представляют собой соответственно полярный угол и азимут

направления x3 по отношению к осям X, Y, Z. В то же время θ и π2 −ψ являются соответственно полярным углом и азимутом направления Z по отношению к осям x1 , x2 , x3 .

232

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Выберем ось Z неподвижной системы координат в направлении постоянного момента волчка М. Ось х3 подвижной системы направлена по оси волчка, а ось x1 пусть совпадает в данный момент времени с осью узлов. Тогда для компонент вектора М находим с помощью формул (31):

С другой стороны, поскольку ось x1 (линия узлов) перпендикулярна к

Рассмотрим теперь движение тяжелого симметрического волчка с неподвижной нижней точкой (рис. 7).

Решение. Совместное начало подвижной и

неподвижной систем координат выбираем в неподвижной точке волчка О, а ось Z направляем по вертикали (рис. 7). Функция Лагранжа волчка в поле тяжести равна:

представляют собой составляющие вращательного момента, определенного относительно точки О, соответственно по осям x3 и Z). Кроме того,

сохраняется энергия:

233

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Из уравнений (1) и (2) находим:

определяют предельные углы θ1 и θ2 наклона оси волчка к вертикали.

При изменении угла θ от θ1 до θ2 знак производной ϕ& остается

неизменным или меняется, в зависимости от того, остается ли неизменным или меняется в этом интервале знак разности M z - M 3 cosθ .

В первом случае ось волчка прецессирует вокруг вертикали монотонно,

одновременно совершая

234

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

колебания (так называемую нутацию) вверх и вниз (рис. 8, а; линия изображает след, который ось волчка чертила бы на поверхности сферы с центром в неподвижной точке волчка). Во втором случае направление прецессии противоположно на двух граничных окружностях, так что ось волчка перемещается вокруг вертикали, описывая петли (рис. 8, б). Наконец,

обращаются в нуль, так что ось волчка описывает траекторию, изображенную на рис. 8, в.

Найдём теперь условие, при котором вращение волчка вокруг

В заключение, определим движение волчка в случае, когда кинетическая

энергия его собственного вращения велика по сравнению с энергией в поле тяжести (так называемый “быстрый” волчок).

В первом приближения, если пренебречь полем тяжести, происходит свободная прецессия

оси волчка вокруг направления момента M , от- вечающая в данном случае нутации волчка, которая происходит согласно (19) с угловой

скоростью

медленная прецессия момента M вокруг на-

правления вертикали (рис. 9). Для определения скорости этой прецессии усредним точное уравнение движения по периоду нутации (22):

235

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

n3 – единичный вектор в направлении оси волчка. Из соображений

– угол между M и осью волчка). Таким образом, получим уравнение:

(малой по сравнению с Ωнут ).

В рассматриваемом приближении входящие в формулы (41) и (42) величины M и cosα постоянны (хотя и не являются, строго говоря, интегралами движения). Они связаны, с той же точностью, со строго сохраняющимися величинами E и M 3 соотношениями:

Уравнения Эйлера.

Уравнения движения, написанные в главе “уравнения движения твёрдого тела” относятся к неподвижной системе координат: производные

ddtP и dMdt в уравнениях (20) и (22) представляют собой изменения векторов

P и M по отношению к этой системе. Между тем, наиболее простая связь

между компонентами вращательного момента M твердого тела и

компонентами угловой скорости имеет место в подвижной системе координат с осями, направленными по главным осям инерции. Для того чтобы воспользоваться этой связью, необходимо предварительно преобразовать уравнения движения к подвижным координатам x1 , x2 , x3 .

Пусть ddtA – скорость изменения какого-либо вектора A по отношению

к неподвижной системе координат. Если по отношению к вращающейся

системе вектор A не изменяется, то его изменение относительно неподвижной системы обусловлено только вращением, и тогда

236

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Это выражение легко получить, рассмотрев линейное перемещение конца радиуса-вектора A при повороте последнего на малый угол dϕr = W× dt . Это перемещение равно dA = Asinθ × dϕ , где θ - угол между векторами A и

W. Отсюда, собственно, следует, что dA = [W × A]× dt .

Вобщем случае к правой части этого равенства надо добавить скорость

изменения вектора A по отношению к подвижной системе; обозначив эту

Поскольку дифференцирование по времени производится здесь в подвижной системе координат, то мы можем непосредственно спроецировать уравнения на оси этой системы, написав:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Уравнения (47) называют уравнениями Эйлера. При свободном

плоскость, перпендикулярную к оси волчка, вращается в этой плоскости с угловой скоростью ω , оставаясь постоянной по величине (Ω12 + Ω22 = A). Поскольку проекция Ω3 на ось волчка тоже постоянна, то мы заключаем, что и весь вектор Ω равномерно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси

движение (по отношению к оси волчка) совершает, очевидно, и вектор

момента M .

Полученная картина представляет собой, разумеется, лишь другой аспект того же движения волчка, которое уже было ранее рассмотрено по отношению к неподвижной системе координат. В частности, угловая

скорость вращения вектора M (ось Z на рис. 7) вокруг направления x3

238

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Применение гироскопов.

Итак, аксиально-симметричное тело, приведённое в очень быстрое вращение вокруг своей оси симметрии, называется гироскопом. Примерами его могут служить волчок, диск, быстро вращающийся вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно поверхности.

Удивительные свойства гироскопов нашли себе разнообразные практические применения. Одно из первых применений свойства гироскопов нашли в нарезном оружии. Винтовые нарезы в стволе орудия сообщают

вылетающему снаряду быстрое вращение вокруг оси и превращают его в гироскоп с большим собственным моментом импульса. После вылета из ствола центр тяжести снаряда движется по параболе, и касательная к траектории постепенно опускается вниз (рис. 10). Действующее на снаряд сопротивление воздуха создает момент, который должен был бы опрокинуть снаряд. Поэтому, если бы снаряд не вращался вокруг своей оси, то направление этой оси могло бы меняться самым произвольным образом.

Вслучае же быстрого вращения вокруг оси снаряд превращается в гироскоп, и внешний момент вызывает лишь прецессию оси снаряда вокруг направления касательной к траектории. Направление прецессии при этом совпадает с направлением собственного вращения снаряда. В этом отношении снаряд подобен волчку, и так же, как в случае волчка, чтобы прецессия была устойчива, собственный момент импульса снаряда должен превосходить некоторую критическую величину. Для этого винтовые нарезы

встволе орудия должны быть достаточно крутыми.

Вслучае очень настильных траекторий, когда касательная к траектории мало изменяет свое направление в пространстве, момент импульса снаряда может быть достаточно велик. В случае же навесных траекторий требования осложняются, так как ось снаряда должна быть близка к направлению касательной и вместе с ней изменять свое направление в пространстве. Это возможно только в случае, если момент импульса снаряда не очень велик. Таким образом, для того чтобы ось снаряда во всех случаях оставалась близкой к направлению касательной к траектории, величина собственного

момента импульса снаряда должна быть заключена между некоторыми определенными, довольно узкими пределами.

239

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Другим важным применением гироскопов являются различные гироскопические навигационные приборы:

гирогоризонт, гирокомпас и т. д. Создание

искусственного горизонта является одной из важнейших задач как морской, так и аэронавигации. Для астрономических

измерений географической широты нужно знать положение горизонтальной плоскости или вертикали в данной точке. Если линия

горизонта не видна, то для определения вертикали можно пользоваться неподвижным отвесом. Однако на экипаже, движущемся с ускорением, отвес не будет направлен по вертикали. Поэтому на корабле или самолете обычный

отвес для определения вертикали непригоден вследствие неизбежных ускорений при наборе скорости, поворотах и качке. В этих случаях задачу можно решить при помощи специального гироскопического маятника, так называемого гирогоризонта.

Для выяснения принципа действия гирогоризонта мы рассмотрим поведение гироскопического маятника в экипаже, обладающем ускорением. Пока экипаж не обладает ускорением, гироскопический маятник, ось которого расположена вертикально, сохраняет неизменным свое положение. Если возникло ускорение экипажа, то в системе отсчета, связанной с экипажем, появляются силы инерции. Их действие можно учесть как некоторое эквивалентное изменение направления силы тяжести. Направление

оси гироскопического маятника уже не будет совпадать с направлением силы тяжести, и гироскоп начнет прецессировать. Но «приведенную длину» гироскопического маятника можно сделать очень большой (порядка сотни километров!), так что период прецессии будет составлять десятки минут. Если ускорение длится короткое время, то ось гироскопа вследствие медленности движения не успеет уйти далеко от направления вертикали, которое она занимала прежде. Поэтому кратковременные ускорения вообще заметно не отклоняют оси гирогоризонта от вертикали.

Экипажи обычно не могут иметь длительное время большое ускорение одного направления. Наиболее неблагоприятный в этом отношении случай – это набор скорости, который может длиться значительное время и вызвать хотя и не очень большие, но все же заметные отклонения оси гироскопа. Ускорения при поворотах длятся короткое время, а при качке они меняют направление, и отклонения оси гироскопа под влиянием этих переменных ускорений в результате усреднения оказываются незначительными. Таким образом, гироскопический маятник с большим периодом прецессии может служить искусственным горизонтом. Такие гирогоризонты сейчас широко применяются на морских судах для астрономических наблюдений, на самолетах при слепом полете и для различных специальных целей.

240

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com