то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика
.pdf
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
r |
n |
r |
|
n |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) Pi |
= mivi |
Pсис = åPi = å(mi × vi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
= |
|
r |
r |
] |
r |
n |
|
r |
|
n |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) Ni |
[ri , Pi |
Nсис = åNi = å[ri , Pi ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
= |
|
r |
r |
] |
r |
n |
|
r |
|
n |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3)Mi |
|
[ri , Fi |
Mсис |
= åMi |
= å[ri |
, Fi ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
r |
|
|
r |
|
|
|
r |
|
n |
|
r |
r |
|
|
n |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
å[ri |
, Fвнутi |
+ Fвнешi ] = å[ri , Fвнешi |
] + |
å[ri , Fвнутi ] Þ из 3 закона Ньютона Þ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
v |
|
n |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å[ri |
, Fвнутi |
] = 0 Þ M = å[ri |
, Fвнешi ] - уравнение моментов для системы материальных тел |
||||||||||||||||||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
n |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
= å[ri , Pi ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
r |
|
i=1 |
|
|
|
r |
r |
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
r |
r |
r |
r |
r |
r |
|
||||
|
dN |
|
|
|
d |
|
n |
|
|
dr |
|
|
|
dP |
dN |
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
(å[ri |
, Pi ]) |
= å |
|
i |
´ Pi |
+ åri |
´ |
i |
= å[ri |
, Fвнеш i |
] = M внеш ÞM внеш = |
|
- |
||||||
|
dt |
|
|
|
dt |
|
dt |
dt |
dt |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
уравнение моментов для системы материальных точек
Момент внешних сил, приложенных к
системе равен производной от момента импульса системы материальных тел по времени.
Центром масс или центром инерции системы материальных тел называется точка радиус вектор которой выражается через радиус векторы всех остальных точек системы следующим образом:
|
|
|
|
n |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
åmiri |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
r |
= |
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
c |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
rc |
= |
|
|
|
òridmi = |
|
|
òri |
ρdvi |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m |
m |
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||||||||||
r |
|
|
|
r |
d |
|
1 n |
|
r |
1 |
|
d |
|
1 |
r |
||||||||
|
|
|
dr |
|
|
|
m r |
|
|||||||||||||||
vc = |
|
|
|
c |
= |
|
|
( |
|
|
åmiri ) = |
|
|
|
å i i |
= |
|
åmivi Þ |
|||||
|
|
|
|
dt |
|
|
m |
|
|
dt |
m |
||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
m i=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
r |
|
|
1 |
|
r |
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
vc = |
|
Pсис |
|
Þ Pсис |
= mvсис |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Зная импульс системы материальных тел можно записать основное уравнение (второй закон Ньютона) для системы материальных тел, который и является теоремой о центре масс.
|
n |
r |
|
r |
|
dPсист |
|
dmvo |
|||
= åFвнеш |
= |
||||
dt |
dt |
||||
i=1 |
|
|
|||
ТЕОРЕМА
31
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Центр масс системы движется как материальная точка, в которой
сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.
Центр тяжести – точка приложения результирующей всех сил, действующих на материальные точки системы в однородном поле силы тяжести.
Центр масс системы материальных точек совпадает с её центром тяжести.
Если |
сумма |
внешних |
сил |
равна |
нулю, |
то |
||||
|
d(mv ) |
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
c |
= 0 Þ mv |
= const Þ т.к. m = const Þ v |
c |
= const |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
dt |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В отсутствии внешних сил, действующих на систему скорость системы неизменна. Т.к. в релятивистском случае масса непостоянна, то и центр масс не является инвариантом.
С.О., жестко связанная с центром масс системы материальных частиц и перемещающаяся равномерно, поступательно и прямолинейно относительно ИСО называется системой центра масс.
Закон сохранения импульса для системы материальных тел.
Пусть в системе материальных точек n материальных точек:
m ,m ,m |
,.., m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
r 1 |
r |
2r |
3 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v1 ,v2 |
,v3 |
,..,vn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
r |
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F1 , F2 , F3 ,.., Fn |
|
- внешние силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
r ¢ |
|
r ¢ |
|
r |
¢ |
|
r |
¢ |
- внутренние силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
F |
, F |
, F |
|
,.., F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
r |
3 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r¢ |
|
|
d |
|
|
r |
|
|
|
r |
r¢ |
|
|
|
|||
|
|
dm v |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||
Þ |
|
|
1 |
1 |
= F1 + F1 |
,... Þ |
|
|
(åmivi ) |
= |
å(Fi |
+ Fi |
) |
|
|
||||||||||||
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
r¢ |
|
|
|
d |
n |
r |
|
n |
r |
||
по 3 закону Ньютона : å(Fi |
) |
= 0 Þ |
|
|
(åmivi ) |
= å(Fi ) |
|||||||||||||||||||||
dt |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
||||
Если внешние силы не действуют, то:
d |
n |
r |
n |
r |
|
|
(åmivi ) = 0 |
Þ åmivi = const - ЗСИ системы |
|||
dt |
|||||
i=1 |
|
i=1 |
|
||
Полный импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.
Импульс замкнутой изолированной системы не изменяется при любых процессах, происходящих внутри системы.
Второй закон Ньютона для материальной точки отличается от второго закона Ньютона для системы материальных точек тем, что физические носители импульса распределены по всему пространству системы материальных точек.
Закон изменения импульса для системы материальных точек:
32
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
dPсис |
n r |
|
= åFвнеш |
||
dt |
||
i=1 |
||
r |
n r |
|
dPсис |
= dt * åFвнеш |
i=1
ЗСИ справедлив не только в классической механике, он работает и для замкнутых систем микрочастиц. Таким образом ЗСИ является фундаментальным законом природы.
å = = å +å +å = å r +å r +å r
P const Px Py Pz mvx mvy mvz
Проекции импульсов являются независимыми уравнениями. Поэтому ЗСИ используется и для частично изолированных систем. Может оказаться так, что система материальных точек не изолирована, но внешние силы действуют лишь в одном направлении. Соответствующим выбором системы координат можно добиться того, что одна или две проекции внешних сил обратятся в ноль.
ЗС момента импульса:
dNc |
r |
|
= M внеш |
||
dt |
||
|
Если сумма внешних сил равна нулю, то и момент внешних сил равен нулю. Рассмотрим замкнутую изолированную систему:
dNc |
r |
- Закон Сохранения Момента Импульса. |
|
= 0 Þ Nc = const |
|||
dt |
|||
|
|
В замкнутых изолированных системах полный момент импульса остается неизменным с течением времени.
ЗСМИ работает и для частично замкнутых систем. В незамкнутых системах на тело действуют и тогда не все проекции момента сил равны нулю, а значит и не все проекции момента импульса равны константам.
РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ, ГРАДИЕНТ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ.
Энергия – единая универсальная мера различных форм движения материи. С понятием энергии связана работа.
Работа это:
1)изменение энергии данного материального тела
2)процесс передачи энергии от одного тела к другому
3)скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения
33
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
dA = (F, dl ) (F = const)
A = ò(F |
, dl ) |
(F ¹ const) Работа – сумма элементарных работ по таким |
l2 r |
r |
r |
l1
участкам, где вектор силы неизменен.
Мощность – скорость выполнения работы.
Nср |
= |
DA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Dt |
|
dA |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
N = |
¢ |
= |
|
Þ dA |
= Ndt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
At |
|
|
dt |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dlr |
|
||
|
|
d |
r |
|
r |
r |
|
r r |
||||||
N = |
|
(F,dl ) = (F, |
|
) = (F,v) |
||||||||||
dt |
dt |
|||||||||||||
Рассмотрим потенциальную энергию:
Потенциальная энергия – часть полной механической энергии, определяющаяся взаимным расположением тел и характером сил, взаимодействующих между ними. Обычно взаимодействие тел рассматривают посредствам силовых полей (поле силы тяжести, силы трения, …)
Силовое поле – пространство, в каждой точке которого на помещенную в неё частицу действует сила, способная меняться со временем, при переходе от одной точке пространства к другой или зависящая от траектории движения.
Поля в которых действующие на частицы силы не зависят от времени называют стационарными. Работа, совершаемая силами в стационарных полях зависит от начальной и конечной точки траектории, а также от траектории движения.
Если работа, совершаемая силами в стационарных полях зависит лишь от начальной и конечной точек траектории, то такие поля называются потенциальными.
Если действующие в стационарных полях силы зависят от траектории, то такие системы называется диссипативными.
Диссипативные системы – такие системы, в которых механическая энергия
обязательно уменьшается с течением времени за счет преобразования её в другие формы. Силы, действующие в таких системах называют диссипативными.
Потенциальные поля – поля, в которых действуют консервативные силы. Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от траектории движения и его скорости. А зависит лишь от начальной и конечной точек траектории. Таким образом работа в таких полях по замкнутой траектории равна нулю.
34
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
l2 |
r |
r |
l1 |
r |
r |
r |
r |
Этот вывод является основным при |
ò(F,dl ) + ò(F,dl ) = 0 |
Û ò(F, dl ) = 0 |
|||||||
l1 |
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
определении потенциальных полей.
Потенциальное поле – любое поле, в
котором работа по замкнутой траектории равна нулю.
Потенциальной энергией называют запас работы, обусловленный конфигурацией системы. Работа при изменении
потенциальной энергии зависит только от начальных и конечных координат точки (тела).
Взаимосвязь изменения потенциальной энергии и работы, которую совершает в
потенциальных полях сила тяжести.
FT |
r |
|
|
|
= mg |
|
|
|
|
dA |
r |
|
r |
|
r |
= FT |
= -kmg |
|
|
dl |
r |
r |
|
|
|
× mg |
|
||
dA = -k |
× dl |
|
||
|
|
|
z2 |
|
dA = -dl × mg cosα = -mg × dz Þ AT = ò |
- mgdz = mg(z1 - z2 ) = U1 -U2 |
|||
|
|
|
z1 |
|
U1 -U2 = -DU
Работа в поле тяжести не зависит от скорости, формы траектории, а определяется начальным и конечным положением материальной точки.
Центральная сила – сила, которая всегда направлена к одной и той же точке и зависящая лишь от расстояния до неё.
r |
= -γ |
m1m2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
||
|
r r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
m1m2 |
|
r |
|
|
|
m1m2 |
|
|||||
dA = (F,dl ) |
= |
(dl ,-γ |
|
) = -γ |
dr |
||||||||||||||
r2 |
|
|
r2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||||
|
|
|
æ |
-1 |
|
r2 |
ö |
|
|
|
|
r |
- r |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A = -γm m |
ç |
|
r |
|
|
|
÷ |
= γm m |
|
2 |
1 |
= -DU |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 2 |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
1 2 |
|
|
r r |
|
|
|
||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
r1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A = -DU
Работа центральной силы в потенциальных полях совершается за счет убыли потенциальной энергии.
Работа силы упругости.
35
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
dA = Fупрdx
Fу = -kx
A = -k òxdx = - k2 (x22 - x12 )
Таким образом, какова бы ни была форма и длина пути и с какой бы скоростью не двигалось тело, работа силы тяжести, центральной силы, силы трения будет одинакова т.к. прирост энергии зависит только от начальной и конечной координат точек.
Градиент потенциальной энергии:
Найдем работу, которую совершает тело, вызывая смещение:
Fxdx + Fydy + Fz dz = −dU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
F |
= - |
¶U |
, F = - |
¶U |
, F |
= - |
¶U |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
¶x |
y |
|
|
¶y |
|
|
z |
|
|
|
¶z |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dU = ¶Udx |
+ |
¶Udy |
+ |
¶Udz |
- полный дифференциал потенциальной энергии |
|||||||||||||||||
|
|
¶x |
|
¶y |
|
|
|
¶z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F + F + F = -( |
¶U |
+ |
¶U |
+ |
¶U |
) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
y |
|
z |
|
|
¶x |
|
|
¶y |
|
|
¶z |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
r |
r |
r |
= -( |
¶U r |
+ |
¶U r |
+ |
¶U r |
r |
|||||||||||||
F |
+ F |
+ F |
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
|
k ) = F |
|||||||||
x |
y |
|
z |
|
|
¶x |
|
|
|
|
¶y |
|
|
|
|
|
¶z |
|
|
|||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= -grad(U ) = -ÑU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Сила поля равна градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке поля со знаком минус.
Набла (Ñ ) – дифференциальный оператор (векторная величина).
r ∂ |
r ∂ |
r ∂ |
|
||||
ÑU = U * (i |
|
+ j |
|
+ k |
|
) = grad(U ) |
|
¶x |
¶y |
¶z |
|||||
|
|
|
|
||||
Операция градиента – есть операция дифференцирования скалярной функции U по координатам, или умножение вектора набла на скалярную функцию U.
Физический смысл grad скалярной функции:
Рассмотрим две эквипотенциальные поверхности (поверхности равного
потенциала или одинаковой потенциальной энергии):
Если приращение энергии больше нуля, то
U2 > U1 .
Рассмотрим переход от U1 к U2 .
Рассматривая возрастание скалярной функции по самому короткому переходу (по нормали) убедимся, что:
36
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
F = U 2 -U1 = - DU
Dn Dn
F = - dUdn = -grad(U )
Градиент скалярной величины или градиент потенциальной энергии есть вектор, направленный по нормали к поверхности энергетического уровня в сторону наибольшего возрастания скалярной функции.
Модуль этого вектора = dUdn .
Градиент скалярной функции – вектор, показывающий в каком направлении функция возрастает наиболее быстро.
Кроме операции градиента определяются еще и операции ротора и дивергенции:
divA = (Ñ, A) r r rotA = [Ñ, A]
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ, ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ (нерелятивистский случай)
ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Кинетическая энергия – часть общей механической энергии, которая отражает механическое движение данной системы.
Рассмотрим движение:
Пусть сила, действующая на тело, начальная скорость которого равна нулю, вызывает его движение и совершает работу. Энергия движения возрастает на величину совершенной работы.
dA = dEk |
|
|
||||
dA = -dU |
r |
|
||||
|
|
r |
|
|||
dA = (F,dl ) |
r r |
|||||
r |
|
r |
|
|||
|
dv |
|
|
(dv,dl ) |
||
F |
= m |
|
Þ dA = m |
|||
dt |
dt |
|||||
|
|
|
||||
dA = m × v × dv
= r r m(v,dv)
Кинетическая энергия зависит от массы тела и его скорости. Значит кинетическая энергия – функция состояния движения тела или системы. Кинетическая энергия различна в разных ИСО.
Ek = mv2 m = P2
2 m 2m
ЗСЭ в нерелятивистском случае для системы материальных тел: Пусть в системе n материальных тел:
37
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
На каждую точку действует результирующая всех внешних ( Fi ) , внутренних
|
|
|
|
|
r |
′ |
) и внешних диссипативных ( fi ) сил. |
|||
консервативных ( Fi |
|
|||||||||
|
dvi |
|
|
r r |
r |
|
|
|
|
|
mi |
|
|
= |
Fi + Fi¢+ fi Þ |
|
|
|
|
||
dt |
|
|
|
|
r |
|||||
n |
dvi |
|
r |
|
|
r |
||||
åmi |
dr = ådr(Fi |
+ Fi¢+ fi ) |
||||||||
|
||||||||||
i=1 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
r |
|
|
|
r r |
||
ådr fi = å(mi × v × dvi |
- dr(Fi - Fi¢)) |
|||||||||
dAдисс = dEk - dU dAдисс = d(Ek +U )
Если работа равна нулю:
Ek +U = const
mv2 2 +U = const - ЗСЭ механической энергии
Если система диссипативная, то энергия системы изменяется за счет преобразования её в другие виды.
Если система консервативная, то полная энергия неизменна.
Если есть изменение, то происходят превращение энергии из одного вида в другой в эквивалентных количествах.
Ek +U = Eполн Þ
1)если Ek = 0 Þ Eп = Eполн
2)Ek ¹ 0 Þ Eп < Eполн
Кинетическая энергия по своему смыслу не может быть отрицательной. Таким образом потенциальная энергия меньше или равна полной энергии.
Этим соотношением определяется область изменения всех координат системы, где частица может находиться.
Рассмотрим одномерное движение:
Потенциальной кривой называется график зависимости потенциальной энергии от аргумента (высоты например).
Анализ потенциальной кривой позволяет определить характер движения материальных тел в системах. (Рассматриваются только консервативные системы.)
1) U = mgh
38
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
2) Частица не может находиться в той области, где её энергия больше её полной энергии.
На данном графике представлена потенциальная яма. Т.е. частица не может выйти за пределы области ограниченные её энергией.
Движение частицы внутри потенциальной ямы называют финитным. 3) Общий случай.
Тело может находиться во второй и четвертой областях т.к. её потенциальная энергия должна быть меньше или равна её полной.
Движение в четвертой области называется инфинитным (частица может уйти в бесконечность)
= − mv2
U Eполн 2
39
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Впервой и третьей областях частица не может находиться т.к. её энергия мала для этого.
В– точка устойчивого равновесия
D – точка неустойчивого равновесия
Законы Кеплера
В результате длительной обработки многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге (1546-1601) немецкий ученый Кеплер эмпирически установил три закона движений планет. Эти законы формулируются следующие образом:
1)каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце;
2)радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади;
3)квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.
Первые два закона были опубликованы Кеплером в 1609 г., последний - в 1619 г. Законы Кеплера естественным путем привели Ньютона к открытию закона всемирного тяготения.
Первый закон Кеплера:
Чтобы доказать этот закон нужно найти уравнение орбиты вращающейся планеты. Для этого удобно использовать полярную систему координат, плоскость которой совпадает с плоскостью траектории планеты.
Пусть dr = (dr )ϕ + (dr )r , где (dr )ϕ перпендикулярно радиус вектору, а (dr)r -
параллельно. Таким образом первое перемещение обусловлено изменением угла поворота, а второе изменением длины радиус вектора. Тогда eϕ ,er
единичные векторы для (dr )ϕ и (dr )r |
соответственно. |
|||||||||
|
|
dr = eϕ |
(dr)ϕ + er (dr)r |
|
|
|
|
|||
|
|
r |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
Тогда: |
dr |
= e rdϕ + e dr |
|
|
|
|
|
|||
r |
ϕ |
r |
r |
r |
r |
r |
r |
Þ |
||
|
|
dr / dt = eϕ rdϕ / dt + er dr / dt = v |
= eϕvϕ + ervr |
|||||||
|
|
v2 = vϕ2 + vr2 = r2ϕ¢2 + r¢2 |
|
r r |
|
|||||
|
|
r |
r |
|
r |
r |
r |
|
|
|
Т.к. |
L = r |
´ mv |
= er r ´ m(eϕvϕ |
+ ervr ) = mr2ϕ¢(er ´ eϕ ) |
|
|||||
L = mr2ϕ¢ = const |
|
(1) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Запишем закон сохранения энергии:
40
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com