Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

.pdf

Скачиваний:

292

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

4.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 286 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

простейшем случае протон и ядро будут двигаться с другими, чем до столк- новения, скоростями и энергиями, появится несколько квантов электро- магнитного излучения и, вообще говоря, породятся некоторые другие частицы.

Приведенные примеры позволяют дать следующее определение:

столкновением называется взаимодействие двух или большего числа материальных тел, частиц и т. д., которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени,

так что вне этой области пространства и вне этого промежутка времени можно говорить о начальных состояниях тел, частиц и т. д. и об их конечных состояниях после взаимодействия как состояниях, в которых эти частицы, тела и т. д. не взаимодействуют.

Столкновение материальных тел часто называется ударом. Удар определяется как процесс, при котором изменяются импульсы соударяющихся тел без изменения их координат. Это частный случай столкновения. В подходящих случаях этот термин можно использовать вместо слова “столкновение”.

В механике тела и частицы, участвующие в столкновении, характери- зуются импульсами, моментами импульса и энергиями, а сам процесс сводится к изменению этих величин. Можно сказать, что частицы обмени- ваются энергией и импульсом. Если в результате взаимодействия образова- лись новые частицы и исчезли некоторые из частиц, существовавших до столкновения, то произошла замена носителей энергии и импульса.

Изображение процессов столкновений с помощью диаграмм.

Общепринято в настоящее время процессы столкновения представлять в виде диаграмм. Частицы или тела, участвующие в столкновении, изображаются векторами их импульсов. Векторы импульсов частиц до и

после столкновения направлены соответственно в символическое изображение области столкновения и из нее. Возможно, очевидно, громадное разнообразие процессов столкновений. На рис. 1 показаны наиболее характерные. Рис. 1 а соответствует случаю столкновения двух частиц а и б с импульсами ра и рб. После взаимодействия остались те же частицы, но их импульсы естественно изменились на р'а и р'б. Однако в

результате столкновения вместо частиц а и б могли образоваться две другие частицы в и г (рис. 1 б) либо, например, одна частица д (рис. 1 в). Может случиться, что под влиянием некоторых процессов внутри частицы она распадется на две другие частицы: б и в (рис. 1 г). Нет необходимости приводить все мыслимые диаграммы столкновений. Укажем

лишь на возможность принципиально отличного от всех предыдущих процесса, в котором возникает промежуточное состояние (рис. 1 д). В этом случае процесс столкновения состоит из двух стадий: сначала частицы а и б образуют частицу в, так называемую промежуточную, а затем она распадается на частицы г и д , которые в общем случае могут быть

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

идентичными частицам а и б, но могут быть и другими. Таким образом, окон- чательный результат этого процесса эквивалентен столкновениям, изобра- женным на диаграммах рис. 1 а, б. Однако наличие промежуточного со- стояния, вообще говоря, оказывает влияние на ход процесса.

Законы сохранения при столкновениях.

Процессы столкновения являются чрезвычайно сложными. Рассмот- рим, например, простейший случай столкновения двух бильярдных шаров (рис. 1 а). В момент соприкосновения шаров происходит деформация. В

результате часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации (мы говорим о переходе части кинетической энергии, потому что имеется в виду не обязательно лобовой удар шаров). Затем энергия упругой деформации снова превращается в кинетическую, однако не пол- ностью – часть энергии превращается, во внутреннюю, шары при этом нагре- ваются. Далее необходимо принять во внимание, что поверхности шаров не являются абсолютно гладкими и между ними возникают силы трения. Эти силы, с одной стороны, также приводят к превращению части энергии во внутреннюю, а с другой – вызывают определенное изменение во вращении шаров. Таким образом, даже в простейшем случае картина столкновения оказывается чрезвычайно сложной.

Однако главный интерес при рассмотрении столкновения заключается в знании не самого процесса, а результата. Ситуация до столкновения назы- вается начальным состоянием, а после – конечным. Между величинами, характеризующими начальное и конечное состояния, соблюдаются опреде- ленные соотношения, независимые от детального характера взаимодействия.

Наличие этих соотношений обусловливается тем, что совокупность ча- стиц, участвующих в столкновении, составляет изолированную систему, для которой справедливы законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Следовательно, соотношения между величинами, ха- рактеризующими начальное и конечное состояния частицы, выражаются зако- нами сохранения энергии, импульса и момента импульса при столкновении.

Законы сохранения сами по себе не дают возможности определить что произойдет при столкновении. Но если известно, что произойдет, они значи- тельно облегчают анализ того, как это произойдет.

Закон сохранения импульса.

Импульсы различных частиц до столкновения обозначим через рi , (i=1, 2, ..., п), а после — через рj ' (j = = 1, 2, ..., k). Поскольку импульс замкнутой системы сохраняется, можем написать:

n		k		(1)
å p		= å p¢		(1)
i=1	i	j=1	j
i=1		j=1
				52

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Ясно, что как число частиц, так и сорт частиц до и после столкновения могут быть различными. Этот закон справедлив в релятивистском и нерелятивистском случаях.

Закон сохранения энергии.

Применение этого закона более сложно, чем закона сохранения импульса. Дело в том, что закон сохранения энергии был сформулирован лишь применительно к формам энергии, рассматриваемым в механике.

Поэтому в нерелятивистском случае надо учесть лишь кинетическую и потенциальную энергию, а в релятивистском случае – также и энергию покоя. Однако имеются и другие формы энергии, которые надо принять во внимание. Например, при столкновении бильярдных шаров, строго говоря, происходит их небольшое нагревание. Поэтому сумма кинетических энергий шаров до и после столкновения не одна и та же, т. е. кинетическая энергия при столкновении не сохраняется. Часть ее превращается во внутреннюю, связанную с теплом и локализованную внутри шара. Имеются и другие виды внутренней энергии. Взаимная потенциальная энергия частиц, составляющих шар, их энергия покоя также относится к внутренней энергии. Поэтому, чтобы применить закон сохранения энергии, надо учесть внутреннюю энергию материальных тел или частиц, участвующих в столкновении. Однако потенциальную энергию взаимодействия между сталкивающимися частицами учитывать не надо, потому что и в начальном, и в конечном состоянии они считаются невзаимодействующими. Обозначив внутреннюю энергию частиц как Евн, а кинетическую энергию поступательного движения тела как Ек, закон сохранения энергии при столкновении можем записать в виде:

n æ		+E	ö	k		+E¢	).	(2)
åç E		+E	÷	= å(E¢		+E¢	).	(2)
i=1èç	вн,i		k,i ø÷	j=1	вн, j	k, j

Заметим, что кинетическую энергию вращательного движения удобнее относить к внутренней энергии.

Врелятивистском случае вид уравнений (2) значительно проще. Дело

втом, что релятивистская полная энергия тела включает в себя как кинетическую энергию, так и энергию покоя, в которую входят все формы внутренней энергии. Например, если при столкновении бильярдный шар нагреется, то это приведет к увеличению массы покоя и будет автоматически учтено соответствующим изменением его полной энергии. Поэтому в релятивистском случае уравнение (2) записывается так:

n		k		(3а)
å E		= å E¢
i=1	i	j =1	j

где

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

E	=	m c2
			oi		(3б)
					(3б)
i				v2
				v2
		1-		i
		1-		c2
				c2

– полная энергия i-й частицы, масса покоя которой moi. С учетом (36) равенство (3а) представим в виде:

å moi

′

(4)

= å moi

i=1 1-

vi2

j=1 1-

vi¢2

Закон сохранения момента импульса.

При применении закона сохранения момента импульса надо учитывать, что тела и частицы могут обладать внутренним моментом импульса. У тел он обусловлен вращением. Микрочастицы также имеют внутренний момент импульса, называемый спином. Например, спином обладают электрон, протон и многие другие элементарные частицы. Объяснить наличие спина вращением элементарных частиц нельзя, как это было уже рассмотрено раньше. При столкновениях он должен быть учтен как внутренний момент импульса частицы. Поэтому, если через Li, обозначить моменты импульса частиц, участвующих в столкновении, а через LBH, – их внутренние моменты, закон сохранения импульса при столк- новении можно представить следующим образом:

n		+L	k		+L¢	)
å(L		+L	)= å (L¢		+L¢	)	(5)
i=1	i	вн.i	j =1	j	вн. j
i=1			j =1

Упругие и неупругие столкновения.

Процессы столкновения делятся на упругие и неупругие в соответствии с характером изменения внутренней энергии частиц при их взаимодействии.

Если внутренняя энергия частиц при этом изменяется, то столкновение на- зывается неупругим, если не изменяется, то столкновение упругое. Напри-

мер, столкновение бильярдных шаров, в результате которого они несколько нагреваются, является неупругим, поскольку изменилась внутренняя энер- гия. Однако если бильярдный шар сделан из достаточно подходящего материала (например, слоновой кости), то его нагревание незначительно, а изменение вращательного движения пренебрежимо мало. В этом предполо- жении удар бильярдных шаров можно рассматривать как упругое столкнове- ние. Иногда говорят об абсолютно упругом столкновении, чтобы подчерк- нуть, что внутренняя энергия сталкивающихся частиц абсолютно точно неизменна. Говорят также об абсолютно неупругом столкновении, если в ко-

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

нечном состоянии вся энергия превратилась во внутреннюю. Например,

лобовой удар двух шаров из мягкого материала одинаковой массы, которые после удара сливаются в одно покоящееся тело, является абсолютно неуп- ругим столкновением.

Система центра масс.

Рассмотрение столкновений значительно упрощается, если его приводить в системе центра масс. В этой системе законы сохранения энергии и момента импульса имеют такой же вид, как (3) и (5), а закон сохранения импульса (1), поскольку, по определению, сумма импульсов частиц в системе центра масс равна нулю, записывается в более простом виде:

n		k		=0	(6)
å p		= å p¢
i=1	i	j =1	j

Упругие столкновения частиц.

Столкновение двух частиц называют упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния. Поэтому при

применении к такому столкновению закона сохранения энергии можно не учитывать внутренней энергии частиц.

Проще всего столкновение выглядит в системе отсчёта, в которой центр инерции обеих частиц покоится (ц-система); будем отличать индексом 0 значения величин в этой системе. Скорости частиц до столкновения в ц- системе связаны с их скоростями v1 и v2 в лабораторной системе соотношениями:

r	=				m2		r
v10							v
v10			m1		+ m2		v
			m1		+ m2
r	= −				m1			r
v20								v
v20								v
				m1 + m2
где v = v1						− v	2 .
		r			r	r

В силу закона сохранения импульса импульсы обеих частиц остаются после столкновения равными по величине и противоположными по направлению, а в силу закона сохранения энергии остаются неизменными и их абсолютные величины. Таким образом, результат столкновения сводится в ц-системе к повороту скоростей обеих частиц, остающихся взаимно противоположными и неизменными по величине. Если обозначить

через r единичный вектор в направлении скорости частицы после

no m1

столкновения, то скорости обеих частиц после столкновения (отличаем их штрихом) будут равны:

′

+ m2

(7)

′

= −

m1 + m2

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Чтобы возвратиться к лабораторной системе отсчета, надо добавить

этим

выражениям

скорость V

центра инерции. Учитывая, что

m1v1 + m2 v2

для

скоростей

частиц

в л-системе после столкновения

m1 + m2

получаем выражения:

m v + m

v′

1 1

+ m

m + m

(8)

1 r

m v

+ m

v′

= −

1 1

+ m2

Этим исчерпываются сведения, которые можно получить о столкновении, исходя из одних только законов сохранения импульса и

энергии. Что касается направления вектора r , то он зависит от закона

взаимодействия частиц и их взаимного расположения во время столкновения.

Полученные результаты молено интерпретировать геометрически. При этом удобнее перейти от скоростей к импульсам. Умножив равенства

(8) соответственно на m1 и m2 , получим:

p′

= mvn

+ p

)

+ m2

(9)

p′

= −mvn

)

m1 + m2

m1m2

( m =

– приведенная масса). Построим окружность с радиусом

m + m

mv и произведем следующее построение.

Рис. 1 Рис. 2

Если единичный вектор	r	направлен вдоль ОС, то векторы АС и СВ
	no
дают соответственно импульсы		r′	и	r′	. При заданных	r′	и	r′	радиус
		p1		p2		p1		p2

окружности и положение точек А и В неизменны, а точка С может иметь любое положение на окружности.

Рассмотрим подробнее случай, когда одна из частиц (пусть это

будет		частица m2 )			до столкновения покоилась.	В этом	случае длина
OB =		m2		p1 = mv	совпадает с радиусом, т.е.	точка	В лежит на
	m	+ m	2
1
							56

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

окружности. Вектор же АВ совпадает с импульсом p1 первой частицы до рассеяния. При этом точка А лежит внутри (если m1 < m2 ) или вне (если m1 > m2 ) окружности. Соответствующие диаграммы изображены на рис. 2 а и б. Указанные на них углы θ1 и θ2 представляют собой углы отклонения частиц после столкновения по отношению к направлению удара (на- правлению p1 ). Центральный же угол, обозначенный на рисунках через χ (дающий направление no ), представляет собой угол поворота первой частицы в системе центра инерции. Из рисунка очевидно, что углы θ1 и θ2 могут быть выражены через угол χ формулами:

tgθ1

m2 sin χ

m1 + m2 cos χ

(10)

π − χ

θ2

Выпишем также формулы, определяющие абсолютные величины

скоростей обеих частиц после столкновения через тот же угол χ :

v1′

m2 + m2 + 2m m

cos χ

m1 + m2

(11)

2m1v

v′

sin

m1 + m2

Сумма

θ1

+ θ2

есть

угол разлета

частиц

после

столкновения.

Очевидно, что θ1 + θ2

при m1

< m2

и θ1 + θ2 < π

при m1 > m2

Случаю, когда обе частицы после столкновения движутся по одной

прямой (“лобовой удар”),

соответствует χ = π ,т. е. положение точки С на

диаметре слева от точки А (при этом p1

и p2

взаимно противоположны)

r′

или между А и О (при этом p1 и p2 направлены в одну сторону).

r′

Скорости частиц после столкновения в этом случае равны:

v′

− m2

+ m2

(12)

v′

2m1

+ m2

Значение v2

при этом – наибольшее возможное;

′

максимальная энергия, которую может получить в

результате

столкновения

первоначально

покоившаяся частица, равна, следовательно:

E2′.max

m v′2

4m m

(13)

(m1 + m2 )2

2.max

где

E1 =

m v2

–

первоначальная энергия

Рис. 3

налетающей частицы.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

При m1 < m2 скорость первой частицы после столкновения может иметь любое направление. Если же m1 > m2 , угол отклонения летящей частицы не

может превышать некоторого максимального значения, соответствующего такому положению точки С, при котором прямая АС касается

окружности. Очевидно, что sinθ1. max = OCOA , или:

sinθ1. max = m2 (14) 1

Особенно просто выглядит столкновение частиц (из которых одна первоначально покоится) с одинаковыми массами. В этом случае не только точка В, но и точка А лежат на окружности (рис. 3). При этом


θ	1	=	χ	v′	= v cos		χ

		2		1	2			(15)

θ	2	= π − χ		v′	= v sin	χ

		2		2	2

Отметим, что частицы разлетаются после столкновения под прямым углом друг к другу.

	Рассеяние частиц.
		Как было уже указано в предыдущем
	параграфе, полное определение результата
	столкновения двух частиц			(определение		угла
	χ ) требует решения уравнений движения с
	учетом конкретного		закона взаимодействия
	частиц.
		В соответствии с общим правилом будем
	рассматривать сначала эквивалентную				задачу
	об отклонении одной частицы с массой m в
Рис. 4	поле	U(r) неподвижного		силового	центра
(расположенного в центре инерции частиц).
Траектория	частицы в	центральном	поле	симметрична		по

отношению к прямой, проведенной в ближайшую к центру точку орбиты (ОА на рис. 4). Поэтому обе асимптоты орбиты пересекают указанную прямую под одинаковыми углами.

Если обозначить эти углы через ϕo , то угол χ		отклонения частицы
при ее пролёте мимо центра есть, как видно из рисунка:
χ =	π − 2ϕo	(16)

Угол же определяется интегралом

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

∞		M	dr
∞			dr
ϕo = ò		r2				,	(17)

	2m[E -U (r)]-			M	2
rmin				M
				r2
				r2

взятым между ближайшим к центру и бесконечно удаленным положениями частицы. Заметим, что rmin является корнем вы-

ражения, стоящего под знаком радикала.

При инфинитном движении, с которым мы имеем здесь дело, удобно ввести вместо постоянных Е и М другие – скорость v∞ частицы

на бесконечности и так называемое прицельное расстояние ρ .

Последнее представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из центра на направление v∞ , т.е. расстояние, на котором частица

прошла бы мимо центра, если бы силовое поле отсутствовало (рис. 4). Энергия и момент выражаются через эти величины согласно:

E =

mv∞2

, M = mρ × v

∞

(18)

а формула (17) принимает вид

∞

(19)

ϕo = ò

rmin

mv∞2

Вместе с (16) формула (19) определяет зависимость χ

от ρ .

Вфизических применениях приходится обычно иметь дело не

синдивидуальным отклонением частицы, а, как говорят, с рассеянием целого пучка одинаковых частиц, падающих на рас- сеивающий центр с одинаковой скоростью v∞ . Различные частицы в

пучке обладают различными прицельными расстояниями и соответственно рассеиваются под различными углами χ . Обозначим

через dN число частиц, рассеиваемых в единицу времени на углы, лежащие в интервале между χ и χ + dχ . Само по себе это число

неудобно для характеристики процесса рассеяния, так как оно зависит от плотности падающего пучка (пропорционально ей).

Поэтому введем отношение

dσ =	dN	(20)
	n

где n – число частиц, проходящих в единицу времени через еди- ницу площади поперечного сечения пучка (мы предполагаем, естественно, что пучок однороден по всему своему сечению). Это

отношение имеет размерность площади и называется эффективным сечением рассеяния. Оно всецело определяется видом рассеивающего поля и является важнейшей характеристикой процесса рассеяния.

Будем считать, что связь между	χ и ρ – взаимно однозначна; это
так, если угол рассеяния является	монотонно убывающей функцией
	59

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

прицельного расстояния. В таком случае рассеиваются в заданный интервал углов между χ и χ + dχ лишь те частицы, которые летят с прицельным расстоянием в определенном интервале между ρ(χ ) и ρ(χ )+ dρ(χ ). Число таких частиц равно произведению п на площадь кольца между окружностями с радиусами ρ и ρ + dρ , т.е. dN = 2πρ × dρ × n . Отсюда

эффективное сечение

dσ = 2πρ × dρ				(21)
Чтобы найти зависимость эффективного сечения от угла рассеяния,
достаточно переписать это выражение в виде
	dρ(χ )
dσ = 2πρ(χ )	dρ(χ )	dχ		(22)
dσ = 2πρ(χ )	dχ	dχ		(22)
	dχ
Мы пишем здесь абсолютное значение производной			dρ(χ )	, имея в
Мы пишем здесь абсолютное значение производной			dχ	, имея в
			dχ

виду, что она может быть отрицательной (как это обычно бывает). Часто относят dσ не к элементу плоского угла dχ , a к элементу телесного

угла do. Телесный угол между конусами с углами раствора χ					и χ + dχ
есть do = 2π sin χ × dχ . Поэтому из (22) имеем
dσ =	ρ(χ )		dρ	do	(23)

	sin χ	dχ

Возвращаясь к фактической задаче о рассеянии пучка частиц не на неподвижном силовом центре, а на других первоначально покоившихся частицах, мы можем сказать, что формула (22) определяет эффективное сечение в зависимости от угла рассеяния в системе центра инерции. Для нахождения же эффективного сечения в зависимости от угла рассеяния θ в лабораторной системе надо выразить в этой формуле χ через θ согласно формулам (10). При этом получаются выражения как для сечения рассеяния падающего пучка частиц ( χ выражено через θ1 ), так и для частиц, первоначально покоившихся ( χ выражено через θ2 ).

Замедление нейтронов.

Особенности упругого удара имеют многие важные применения. Рассмотрим в качестве примера замедление нейтронов. При делении ядер

урана на две части выделяется большая энергия в виде кинетической энергии осколков деления. Одновременно при делении образуется от двух до трех нейтронов (в среднем 2,3 нейтрона). Само деление ядра урана происходит под действием нейтронов. При столкновении ядра урана с нейтроном в большинстве случаев происходит упругое столкновение, но иногда оно завершается захватом, в результате которого ядро урана делится. Вероятность этого захвата очень мала и увеличивается с уменьшением энергии нейтрона. Поэтому, чтобы обеспечить достаточно ин- тенсивную цепную реакцию, т. е. чтобы выделяющиеся при делении ядра урана нейтроны вызывали достаточно интенсивное деление других его ядер,

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 286 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке то что давала филимонова

#
09.02.2015729.6 Кб32Законы сохранения.DOC
#
09.02.2015325.12 Кб21Законы сохраненияЛекция.doc
#
09.02.2015994.3 Кб10Источники ошибок и методы их учета.ppt
#
09.02.20152.25 Mб6Ищем релаксации время.bmp
#
09.02.20152 Mб25Лаб раб Вязкость возд Пуазейль ТРИ ИТОГ.doc
#
09.02.20154.53 Mб292Лекции Механика для студентов Физика.pdf
#
09.02.201510.52 Mб675Методичка по механике вся Печать новый вариант12г.doc
#
09.02.2015193.02 Кб54Механические колебания и волны.ppt
#
09.02.2015201.73 Кб17Описание движения в неИСО.ppt
#
09.02.2015181.25 Кб10ПрограмВопросМеханика.DOC
#
09.02.2015772.61 Кб24Слайды по погрешностям сокращенно по объему.ppt