Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

.pdf

Скачиваний:

292

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

4.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

условии сила является гармонической и можно не принимать во внимание ее ограниченность во времени.

Периодическая сила также имеет начало и конец и в строгом смысле не является периодической. Однако аналогично случаю гармонической силы, ее можно рассматривать как периодическую, если время τ установления вынужденных колебаний много меньше времени действия силы. По истечении времени τ колебания приобретают свой стационарный характер и дело происходит так, как если бы они существовали бесконечно, т. е. можно считать, что сила является строго пе- риодической.

Под непериодической силой понимается такая, в пределах времени существования которой невозможно установить какое-то периодическое из- менение. Результат ее воздействия может быть выяснен с помощью только что изложенных соображений. Пусть продолжительность Т действия силы значительно больше времени τ установления колебаний в системе. Тогда по истечении τ в системе установится некоторый стационарный режим, в ко- тором не произойдет каких-либо существенных изменений в последующий промежуток времени T − τ . Поэтому естественно рассматривать процесс как периодический с периодом Т. Представим эту силу в виде (53). Очевидно, что составляющие силы, соответствующие членам n >> 1, за время Т успевают сделать много колебаний, причем стационарный режим для них устанавливается в течение времени нескольких первых колебаний. Поэтому

для этих составляющих полностью применимы все выводы о действии периодической силы. Если частоты попадают в резонансную область, то амплитуда соответствующих колебаний сильно возрастает. Ввиду того, что в

этом случае может быть ω << ωo	æ	ωo =	2π ö		, вблизи резонансного значения
	ç			÷
			T
	è			ø

nω = ωo могут находиться частоты многих членов (53). Соответствующие почти

резонансные колебания складываются друг с другом. С другой стороны, в этом случае первые члены суммы (53) с n=0, 1, 2,… имеют частоты, много меньшие резонансной. Для таких частот справедливо уравнение (42), когда отклонение как бы мгновенно следует за силой. Таким образом, если

непериодическая сила существует много дольше времени установления колебаний и периода резонансных колебаний, то процесс рассматривается совершенно аналогично случаю периодической силы. Строго говоря, при таком подходе будет допущена некоторая ошибка, потому что в начале и

конце действия силы состояние движения осциллятора не будет полностью одинаковым. Поэтому к периоду Т следовало бы добавить время затухания τ , чтобы второй “воображаемый период” начался так же, как и первый, когда колебания до начала действия силы отсутствуют. Но τ << T и это уточнение больших изменений не несет. С математической точки зрения для более строгого решения задачи следует перейти к непрерывному спектру, а именно считать, что период действия силы T → ∞ . Тогда вместо выражения силы в виде (53) как суммы по частотам ее можно представить в виде

161

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

интеграла по частотам, который известен как интеграл Фурье. В этом случае частоты принимают не дискретные, а всевозможные непрерывно изменяющиеся значения. Вынужденные колебания в своем составе также содержат всевозможные частоты, плотности амплитуд которых соответ- ствующим образом связаны с плотностью амплитуд силы тех же частот.

Компоненты силы с частотами, лежащими в области резонанса, вызывают сильное увеличение амплитуд смещения. Физическое содержание явлений при непрерывном спектре аналогично случаю дискретного спектра.

Если время действия Т внешней силы меньше, чем время установления вынужденных колебаний τ = γ1 , то представления, основанные

на картине установившихся вынужденных колебаний, применять нельзя. В этом случае необходимо исследовать колебания в переходном режиме.

Резонанс при нелинейных колебаниях.

Важнейшей особенностью вынужденных нелинейных колебаний яв- ляются резонансы на комбинационных частотах. Как было отмечено выше, в нелинейных колебаниях наряду с основной частотой ωo

присутствуют высшие гармоники с частотами nωo . Под действием внешней

гармонической силы с частотой со резонанс наступает не только на основной частоте, когда ω ≈ ωo , но и на частотах высших гармоник, когда

ω ≈ nωo . В спектре произвольной периодической силы наряду с основной

частотой со присутствуют высшие гармоники с частотами mω .

Поэтому резонанс может наступить при частотах, удовлетворяющих условию mω ≈ nωo , т. е. при различных комбинациях основных частот.

Конечно, роль того или иного резонанса зависит от его амплитуды, а последняя зависит от характеристик как нелинейной системы, так и силы. Если амплитуда мала, то резонанс нет необходимости принимать во внимание.

Вынужденные колебания в системах без трения.

Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колебания

называют вынужденными в отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе так называемых свободных колебаний. Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно слабо, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большое смещение х.

В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией kx22 система обладает еще потенциальной энергией Ue (x,t), связанной с

162

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

действием внешнего поля. Разлагая этот дополнительный член в ряд по степеням малой величины х, получим

U e (x, t)≈ U e (0, t)+ x∂U e

∂x x=0

Первый член является функцией только от времени и потому может быть опущен в лагранжевой функции (как полная производная по t от

некоторой другой функции времени). Во втором члене − ∂∂Uxe есть внешняя

“сила”, действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим ее как F(t). Таким образом, в потенциальной энергии появляется член − xF(t), так что функция Лагранжа системы будет:

& 2		&		2
L =	mx	−	kx		+ xF(t)

2		2

Соответствующее уравнение движения есть:

m&x& + kx = F(t),

или

&x& + ω 2 x = Fm(t),

(54)

(55)

где мы снова ввели частоту ω свободных колебаний.

Как известно, общее решение неоднородного линейного диф-

ференциального уравнения с постоянными коэффициентами получается в виде суммы двух выражений: x = x0 + x1 , где x0 – общее решение однородного

уравнения, а x1 – частный интеграл неоднородного уравнения. В данном случае x0 представляет собой рассмотренные в предыдущем параграфе

свободные колебания.

Рассмотрим имеющий особый интерес случай, когда вынуждающая

сила тоже является простой периодической функцией времени с некоторой частотой γ :

F(t)= f cos(γt + β )	(56)
Частный интеграл уравнения (55) ищем в виде x1 = b cos(γt + β ) с тем же
периодическим множителем. Подстановка в уравнение дает:	b =	m(ω 2f− γ 2 )	;

прибавляя решение однородного уравнения, получим общий интеграл в виде:

x = a cos(ωt + α )+ ( f )cos(γt + β ) (57) m ω 2 − γ 2

Произвольные постоянные a и α определяются из начальных условий. Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний — с собственной частотой системы ω и с частотой вынуждающей

силы γ .

Решение (57) неприменимо в случае так называемого резонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Для

163

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

нахождения общего решения уравнения движения в этом случае перепишем выражение (57) с соответствующим переобозначением постоянных в виде:

x = a cos(ωt + α )+ ( f )(cos(γt + β )- cos(ωt + β )) m ω 2 - γ 2

При γ → ω второй член дает неопределенность вида 0/0. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим:

x = a cos(ωt + α )+		f	t sin(ωt + β )	(58)
x = a cos(ωt + α )+	2mω		t sin(ωt + β )	(58)
	2mω
Таким образом,		в	случае резонанса амплитуда колебаний	растет

линейно со временем (до тех пор, пока колебания не перестанут быть малыми и вся излагаемая теория перестанет быть применимой).

Выясним еще, как выглядят малые колебания вблизи резонанса,

когда γ = ω + ε , где ε –	малая величина. Представим общее решение в
комплексном виде:
x = Aeiωt + Bei(ω +ε )t = (A + Beiεt )eiωt			(59)
Так как величина	A + Beiεt мало меняется в течение	периода		2π
Так как величина	A + Beiεt мало меняется в течение	периода		ω
				ω

множителя eiωt , то движение вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания, но с переменной амплитудой.

Обозначив последнюю через C , имеем:

C = A + Beiεt

Представив А и В соответственно в виде aeiα	и beiβ , получим:
С 2 = a2 + b2 + 2ab cos(εt + β - α )	(60)

Таким образом, амплитуда колеблется периодически с частотой ε , меняясь между двумя пределами:

a - b £ C £ a + b

Это явление носит название биений.

Уравнение движения (55) может быть проинтегрировано и в общем виде при произвольной вынуждающей силе F(t). Это легко сделать, переписав его предварительно в виде:

	d	&		&		F(t)
	dt					m
		(x + iωx)- iω(x + iωx)=
или
	dξ		- iωξ =	F(t)	,	(61)
	dt
				m
где введена комплексная величина
ξ = x + iωx						(62)
		&

Уравнение (61) уже не второго, а первого порядка. Без правой части его решением было бы ξ = Aeiωt с постоянной А. Следуя общему правилу, ищем решение неоднородного уравнения в виде ξ = A(t)eiωt и для функции

A(t) получаем уравнение:

A&(t)eiωt + A(t)×iωeiωt - iωA(t)eiωt = F(t) m

164

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

&	F(t)			−iωt
A(t) =			e
A(t) =	m		e
Интегрируя его, получим решение уравнения (61) в виде:
	ìt	1		ü
ξ = eiωt íò		1		F(t)e−iωt dt + ξo ý	,	(63)
ξ = eiωt íò		m		F(t)e−iωt dt + ξo ý	,	(63)
	î0	m		þ

где постоянная интегрирования ξo выбрана так, чтобы представлять собой значение ξ , в момент времени t = 0 . Это и есть искомое общее решение: функция x(t) дается мнимой частью выражения (63), деленной на

ω .

Энергия системы, совершающей вынужденные колебания, разумеется, не сохраняется: система приобретает энергию за счет источника внешней силы. Определим полную энергию, передаваемую системе за все время действия силы от − ∞ до + ∞ , предполагая начальную энергию равной нулю. Согласно формуле (63) (с нижним пределом интегрирования − ∞ вместо нуля и с ξ (- ¥)= 0) имеем при t → ∞ :

ξ (¥)

2 =

+∞

(t)e−iωt dt

ò F

−∞

С другой стороны, энергия системы как таковой дается выра-

жением:

& 2

+ ω

E = 2

2 =

)= 2

(64)

ξ (¥)

Подставив

сюда

2 ,

получим

искомую передачу энергии и

импульса в виде:

+∞

(t)e−iωt dt

E =

ò F

(65)

−∞

p =

+ò∞F(t)e−iωt dt

−∞

она определяется квадратом модуля компоненты Фурье силы F(t) с частотой, равной собственной частоте системы.

В частности, если внешняя сила действует лишь в течение короткого промежутка времени (малого по сравнению с ω1 ), то можно положить e−iωt »1. Тогда

	1	æ +∞		ö2	+∞
E =		ç	ò	÷	и p = ò F(t)dt .
E =		ç	ò	F(t)dt ÷	и p = ò F(t)dt .
	2m è		−∞	ø	−∞

Этот результат заранее очевиден: он выражает собой тот факт, что кратковременная сила сообщает системе импульс òFdt , не успев за это время

произвести заметного смещения.

165

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Задачи.

1) Определить вынужденные колебания системы под влиянием силы F(t), если в начальный момент t = 0 система покоится в положении

равновесия (x = 0, x = 0,ξo = 0), для случаев:

F = const = Fo

Решение:

Fo e−iωt dt = Fo

eiωt (e

−iωt )

= iF o eiωt (e−iωt -1)= iFo (1 - eiωt )Þ

ξ = eiωt ò

- iωm

mω

ξ =

iFo

(1- cosωt - isinωt)

sinωt + i

(1- cosωt)

mω

Отсюда, согласно ξ = x + iωx , находим x:

x =

(1 - cosωt)

mω

F = at

Решение:

iωt

−iωt

iωt

−iωt

iωt

−iωt

ξ = e

òtd(e

)

- òe

dt =

çte

dt ÷

mω

−iωt

i(e

−iωt

-1)

ia æ

iωt

iωt ç

çte

çt

(1 - e

)÷ =

mω

mω è

1 - cosωt - i sin ωt ö

æ at

a sin ωt ö

çit +

(1 - cosωt)+ iç

mω

mω 2

mω

è mω

2 ø

x = maω2 (ωt - sin ωt)ω1 = maω3 (ωt - sin ωt)

c)F = Fo e−αt

Решение:

(e−(iω+α )t

-1)=

ξ = eiωt ò

e−iωt × e−αt dt =

eiωt òe−(iω+α )t dt = -

eiωt

iω +α

Fo α - iω

iωt

- e

−αt

(α - iω)(cosωt + i sinωt - e

−αt

m(α 2 + ω 2 )

α 2

+ ω 2

(α cosωt + iα sinωt -αe

−αt

- iω cosωt + ω sin ωt + iωe

−αt

m(α 2

+ ω 2 )

= m(α 2

+ ω 2 )((α cosωt -αe

−αt

+ ω sinωt)+ i(α sinωt - ω cosωt + ωe

−αt

))Þ

x =

çe−αt - cosωt

sin ωt ÷

m(α 2

+ω2 )è

2) Определить конечную амплитуду колебаний системы после действия внешней постоянной силы Fo , действующей в течение ограниченного

времени T. До момента времени t = 0 система покоится в положении равновесии.

Решение:

166

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

ξ = mFωo sinωt + i mFωo (1- cosωt) (См. задачу 1а).

Найдём модуль комплексной									величины ξ :
		2	æ	F	ö2	æ	2F		ωt ö2

	ξ		= ç	o	÷	(2 - 2cosωt)= ç	o	sin	÷

			è mω ø			è mω			2 ø

Из формулы ξ 2 = a2ω 2 следует, что искомая амплитуда колебаний равна:

a= m2ωFo2 sin ω2t

3)То же в случае силы, меняющейся в течение времени от нуля до

T =

2π

по закону F = Fo sin ωt :

Решение:

(eiωt - e−iωt ):

Поскольку F = Fo sinωt =

−2iωt

-1)

ξ (t) = -

Foi

iωt

ò(e

iωt

−iωt

iFo

iωt

ò(1

−2iωt

)dt = -

iFo

iωt

- e

dt = -

- e

çt +

2iω

ξ (t)= -

iFo

iωt

−iωt

- e

iωt

- i ×t cosωt + t sinωt + i

sinωt

çte

÷ =

2iω

2m è

sinω

2π

F ç

2π

F π

ξ (T )=

ç- i ×

sinω

+ i

= -

mω

2m ç

Из формулы ξ 2 = a2ω 2 следует, что искомая амплитуда колебаний

равна:

a = Foπ mω 2

Автоколебания, параметрические колебания и колебания связанных систем.

Автоколебания.

Определение.

Из-за потери энергии на трение собственные колебания постепенно затухают. Если к осциллятору подводить энергию от источника внешней гармонической силы, то он начнет колебаться с частотой этой силы, которая вообще говоря, отличается от собственной частоты осциллятора.

Однако можно создать устройства, в которых осциллятор сам регулирует подвод энергии из внешнего источника таким образом, чтобы компенсировать потери энергии на трение. За период колебаний из внешнего источника энергия, приобретаемая осциллятором, равна энергии, затрачиваемой на преодоление сил трения. В результате осциллятор

167

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 1

совершает незатухающие колебания. Такие самоподдерживающиеся колебания называются автоколебаниями. Если трение невелико, то за

один период в систему поступает лишь небольшая доля полной энергии осциллятора. В этом случае автоколебания с очень большой точностью

являются гармоническими и их частота очень близка к частоте собственных колебаний. Если же силы трения велики, то за один период в систему

подводится значительная часть полной энергии осциллятора и поэтому колебания сильно отличаются от гармонических, хотя и являются периодическими. Период этих колебаний не совпадает с периодом собственных колебаний осциллятора.

Автоколебания маятника.

Рассмотрим колебания маятника, подвешенного на оси во вращающейся втулке (рис. 1), и превращение его энергии в различных случаях. Пусть маятник покоится.

Тогда вращающаяся втулка в результате скольжения относительно оси совершает работу на преодоление сил трения. Эта работа полностью превращается во внутреннюю энергию, и в результате ось и втулка нагреваются. Источником энергии, превращенной во внутреннюю, является машина, приводящая во вращение втулку.

Пусть теперь маятник колеблется. В тот полупериод колебаний маятника, когда направления вращения оси маятника и втулки совпадают, силы трения совпадают по направлению с движением точек поверхности оси. Поэтому эти силы вызывают усиление колебаний маятника. С другой стороны, энергия, превратившаяся во внутреннюю, за время полупериода

колебаний в сравнении со случаем покоящегося маятника уменьшается ввиду того, что относительное перемещение трущихся поверхностей (внешняя поверхность оси и внутренняя поверхность втулки) уменьшается. Поэтому лишь часть энергии от машины, вращающей втулку, превращается во внутреннюю, а другая часть идет на увеличение энергии колебаний маятника.

В другой полупериод колебаний маятника, когда направления вращения его оси и оси втулки противоположны, силы трения действуют против направ- ления движения маятника. Поэтому они тормозят его движение и энергия колебаний маятника превращается во внутреннюю. Энергия от машины, вра- щающей втулку, в этом случае также полностью превращается во внутрен- нюю. Полный результат превращений энергии в течение периода колебаний определяется характером зависимости сил трения от скорости.

Если силы трения не зависят от скорости, то энергия, приобретаемая маятником в полупериоде колебаний, когда направления вращения его оси и вала совпадают, равна энергии, теряемой им на работу против сил трения в другом полупериоде. В этом случае вращение втулки не вносит каких-либо

168

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

изменений в колебания маятника в сравнении со случаем невращающейся втулки.

Если сила трения увеличивается с возрастанием скорости, то энергия, приобретаемая маятником за полупериод колебаний, когда направления вращения его оси и вала совпадают, меньше энергии, теряемой им на работу против сил трения в другом полупериоде, поскольку во втором полупериоде относительные скорости больше, а, следовательно, и силы трения больше, чем в первом полупериоде. В этом случае вращение втулки увеличивает затухание колебаний маятника.

Если сила трения уменьшается с увеличением скорости, то энергия, при- обретаемая маятником в полупериоде колебаний, когда направления враще- ния его оси и вала совпадают, больше энергии, теряемой им на работу против сил трения в другом полупериоде, поскольку во втором полупериоде относи- тельные скорости больше, а следовательно силы трения меньше, чем в первом полупериоде. Таким образом, вращение втулки приводит к увеличению амплитуды колебаний маятника. Однако при этом возрастают потери энергии маятника на трение о воздух. Когда поступающая в маятник энергия за пе- риод становится равной энергии, теряемой на трение, наступает режим коле- баний с постоянными амплитудой и частотой, называемой автоколебатель- ным режимом. Если потери на трение за один период невелики в

сравнении с полной энергией колебаний маятника и амплитуда колебаний достаточно мала, то эти колебания являются гармоническими, а их частота равна собственной частоте колебаний маятника.

Автоколебания широко применяются в технике. Хорошо известным примером являются маятниковые часы. В них сообщение энергии

маятнику происходит толчками в результате приложения усилий к маятнику со стороны пружины или подвешенных гирь в моменты времени, определяемые колебаниями самого маятника. В электрическом звонке колебания молоточка включают и выключают электрический ток, который сообщает энергию системе звонка, благодаря чему поддерживаются автоколебания молоточка.

	Релаксационные колебания.
		Эти		колебания
		являются	частным случаем
		автоколебаний,		однако
		характер	изменения величин
		со временем очень свое-
		образен:	в	течение
		сравнительно		длительного
Рис. 2а	Рис. 2б	времени в системе медленно
		накапливаются		изменения,

169

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

затем очень резко, почти скачком, происходит изменение ее состояния, и она возвращается в первоначальное состояние; затем снова накапливаются медленные изменения и т. д.

Известный с древних времен пример таких колебаний показан на рис. 2а. В сосуд введена широкая трубка-сифон, по которой вода может вытекать из сосуда. Наливается в сосуд вода из крана тонкой струей. Вследствие этого уровень воды в сосуде медленно повышается. Когда

уровень достигает нижней стенки сифонной трубки в ее верхней части (высота H 2 ), вода начинает переливаться наружу, увлекает за собой воздух и заполняет все сечение сифона в верхней части. После этого она выливается из сифонной трубки по всему поперечному сечению, т. е. очень быстро, поскольку это сечение большое. Уровень воды в сосуде резко понижается до нижнего конца сифонной трубки внутри сосуда (высота H1 ). После этого начинается новый цикл заполнения водой. График изменения высоты уровня воды в сосуде изображен на рис. 2б. Видно, что эти колебания носят разрыв- ный характер: в верхней и нижней точках скорость изменения h скачком ме- няет свой знак на обратный – от положительного значения при росте h на отрицательное значение в верхней точке, когда начинается выливание жидко- сти через сифонную трубку.

Параметрические колебания.

Параметрическое возбуждение колебаний.

Свойства колеблющихся систем описываются величинами, называемыми параметрами. Например, математический маятник характеризуется одним параметром – его длиной. При изменении этого параметра изменяются колебательные свойства маятника, а именно частота собственных колебаний. Если этот параметр изменять в определенном такте с колебаниями, то можно сообщить маятнику энергию и тем самым

увеличить амплитуду его колебаний либо просто поддерживать колебания в незатухающем режиме. Такое возбуждение и поддержание колебаний называется параметрическим.

Хорошо известным примером параметрического возбуждения и поддерживания колебаний является качание на качелях. Когда качели находятся в верхней точке, качающийся на них приседает, а когда качели проходят нижнюю точку, он снова выпрямляется. В результате приседания в верхних точках совершается меньшая по модулю работа, чем работа при подъеме в нижней точке. Разность работ, по закону сохранения, равна разности энергий качаний, и качели раскачиваются. Если эта энергия затрачивается полностью на работу силы трения, то качания поддерживаются в незатухающем режиме.

170

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке то что давала филимонова

#
09.02.2015729.6 Кб32Законы сохранения.DOC
#
09.02.2015325.12 Кб21Законы сохраненияЛекция.doc
#
09.02.2015994.3 Кб10Источники ошибок и методы их учета.ppt
#
09.02.20152.25 Mб6Ищем релаксации время.bmp
#
09.02.20152 Mб25Лаб раб Вязкость возд Пуазейль ТРИ ИТОГ.doc
#
09.02.20154.53 Mб292Лекции Механика для студентов Физика.pdf
#
09.02.201510.52 Mб675Методичка по механике вся Печать новый вариант12г.doc
#
09.02.2015193.02 Кб54Механические колебания и волны.ppt
#
09.02.2015201.73 Кб17Описание движения в неИСО.ppt
#
09.02.2015181.25 Кб10ПрограмВопросМеханика.DOC
#
09.02.2015772.61 Кб24Слайды по погрешностям сокращенно по объему.ppt