d
Рис. 7.3
На рисунке изображены три диска одинакового диаметра и массы, но различной формы. Момент инерции тела склады-
вается из элементарных моментов инерции ∆mkρk2 отдельных точек, поэтому при одинаковой массе из трех колес момент инерции второго наибольший, а третьего – наименьший
J2>J1>J3. Иногда для упрощения расчетов используют понятие радиуса инерции тела iz = 
J z 
m , откуда iz2=Jz/m, и тогда момент инерции тела
Jz=miz2. (7.10)
7.4. Моменты инерции простейших однородных тел
Момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и расположенной у одного из его концов (рис. 7.4).
Рис. 7.4 42
Принимая во внимание однородность стержня и постоян-
ство поперечного сечения по всей длине, учтя, что γ=m/l – масса единицы длины стержня, получим
Jz=γ l3/3.
Подставив вместо γ ее значение m/l , получим Jz=ml2/3.
Момент инерции этого же стержня относительно оси zc, проходящей через середину стержня (рис. 7.5).
zc |
y |
dy |
dm
l/2 |
C |
l/2 |
|
Рис. 7.5
Ось zc проходит через центр тяжести тела, поэтому называется центральной. Момент инерции для этого случая определяется по формуле
Jzc=ml2/12.
Момент инерции тела относительно параллельных осей определяется в соответствии с зависимостью (теорема Гюйгенса)
Jz=Jzc+me2,
где Jz – момент инерции относительно данной оси; Jzc – момент инерции относительно центральной оси, параллельной данной; m – масса тела и e – расстояние между осями.
Момент инерции тонкой круглой однородной пластинки относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости пластинки (рис. 7.6).
Масса пластинки m, радиус пластинки r. Момент инерции пластинки определяется зависимостью Jzc=mr2/2.
Момент инерции сплошного однородного цилиндра массой m относительно его геометрической оси (рис. 7.7).
43
zc
dm
y dy
C
r
Рис. 7.6
z
0
r 
Рис. 7.7
Определяется по формуле Jzc=mr2/2, так как цилиндр можно представить состоящим из тонких однородных дисков одного и того же радиуса r.
Момент инерции полого цилиндра массой m относительно геометрической оси z выражается формулой
Jz=m(r2+r02)/2,
где r – наружный радиус; а r0 – внутренний радиус цилиндра
(рис. 7.8).
44