4. Аналитическое решение заданного уравнения:
Уравнение
Есть
уравнение Бернулли. Проинтегрируем
его, для чего положим
,
где и
две неизвестные функции аргумента
.
Тогда исходное уравнение преобразуется
к следующему:
или
. (*)
Функцию
выберем из условия
,
причем возьмем частное решение этого
дифференциального уравнения
.
Подставим в уравнение (*), получаем
а это – уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его, находим
Так
как решение исходного уравнения есть
произведение функции 
и 
,
то получаем
Используя
начальное условие
получим
Таким образом, искомое частное решение есть
5. Сравнение точного решения и приближенных решений исходного дифференциального уравнения:
Таблица 4
Решение |
x=0,2 |
x=0,4 |
x=0,6 |
x=0,8 |
x=1,0 |
В точке x=1,0 |
|
Абсолют. погрешн. |
Относит. погрешн. |
||||||
Точное |
1,1832 |
1,3416 |
1,4832 |
1,6124 |
1,7320 |
|
|
Метод Эйлера |
1,2000 |
1,3733 |
1,5294 |
1,6786 |
1,8237 |
0,0917 |
5,3 % |
Модиф. метод Эйлера |
1,1836 |
1,3426 |
1,4850 |
1,6152 |
1,7362 |
0,0042 |
0,24 % |
Метод Рунге- Кутта |
1,1832 |
1,3417 |
1,4833 |
1,6125 |
1,7321 |
0,0001 |
0,006 % |
Заключение
В настоящем пособии приведены основные типы уравнений, для которыхрешения можно найти аналитическим путем, указаны способы их решения, подробно разобраны соответствующие примеры. Класс дифференциальных уравнений, решение которых можно найти аналитическим путем, достаточно узок. Поэтому часто при решении практических задач обычно не удается избежать численного моделирования. Кроме того, во многих случаях, когда аналитическое решение уравнения существует, но требует большого объема алгебраических выкладок, компьютерные методы также оказываются предпочтительнее традиционных. Все это определяет новые требования к подготовке современных специалистов в любой области народного хозяйства. Они должны владеть не только традиционными аналитическими методами высшей математики, но и современными компьютерными подходами, в частности, пакетами математических программ.
В заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении многих задач математики, физики и техники, так как часто не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.