ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

Кафедра электропривода, автоматики и управления

в технических системах

МОДЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторных работ

по дисциплине “Математические основы теории систем”

для студентов направления подготовки бакалавров

220400 “Управление в технических системах”

очной формы обучения

Воронеж 2012

Составитель канд. техн. наук Е.М. Васильев

УДК 62-50

Модели линейных динамических систем: методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине ”Математические основы теории систем” для студентов направления подготовки бакалавров 220400 “Управление в технических системах” очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Е.М. Васильев. Воронеж, 2012. 38 с.

В методических указаниях рассматриваются способы составления различных форм математического описания линейных динамических звеньев и систем автоматического регулирования; раскрываются практические приемы использования полученных моделей для численного исследования характеристик рассматриваемых систем.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле МУ-1,2 МОТС-2012.doc.

Табл. 1. Ил. 23. Библиогр.: 4 назв.

Рецензент канд. техн. наук, доц. Ю.С. Слепокуров

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.Л. Бурковский

Издаётся по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

© ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ТИПОВЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ

1. Цель работы

Целью лабораторной работы является приобретение практических навыков математического и алгоритмического моделирования типовых динамических звеньев, наиболее часто входящих в состав различных систем автоматического регулирования.

Предусмотренные заданием исследования позволяют закрепить теоретические знания о влиянии параметров того или иного звена на его характеристики в переходном и установившемся режимах, а также получить наглядное представление об изменении этих характеристик при последовательном соединении звеньев и их замыкании отрицательной обратной связью.

2. Содержание работы

2.1. Моделирование и исследование инерционного звена

2 .1.1. Составить математическую модель, устанавливающую временную взаимосвязь входного U_вх(t) и выходного U_вых(t) напряжений в электрической цепи, представленной на рис.1 и содержащей резистор с чисто активным сопротивлением R[Ом] и конденсатор емкостью С[Ф].

Для решения этой задачи установим сначала взаимосвязь между входным и выходным напряжениями в комплексной форме записи U_вх(j) и U_вых(j), предполагая при этом, что:

а) внутреннее сопротивление источника входного сигнала значительно меньше R и амплитуда U_вх не зависит от тока I в цепи;

б) сопротивление нагрузки, на которую подается напряжение U_вых, значительно больше комплексного сопротивления Z_c конденсатора и можно считать, что ток, притекающий через R и С, одинаков.

С учетом указанных допущений получим

Произведение RC, обозначающееся обычно буквой Т, имеет размерность времени и называется постоянной времени звена.

Переходя к операторной форме записи получим

или

Последнее выражение представляет собою операторную форму записи дифференциального уравнения

которое является искомой математической моделью рассматриваемой цепи.

Введя обозначения U_вых(t)=y(t) и U_вх(t)=х(t) окончательно получим дифференциальное уравнение первого порядка

(1)

2

решение которого позволяет по известному входному сигналу x(t) определить выходной сигнал y(t) в любой интересующий нас момент времени.

Аналитическое решение этого уравнения для единичного ступенчатого воздействия x(t)=1₀(t) имеет вид

графически представленный на рис.2.

Из рис.2. видно, что выходной сигнал y(t) при воспроизводит значение x(t)=1₀(t), однако процесс перехода y(t) из начального значения y(0)=0 в новое установившееся состояние y(t)=1 растянут во времени, т.е. носит “инерционный” характер. По этой причине устройства и процессы любой физической природы, описывающиеся дифференциальным уравнением первого порядка в теории управления принято называть инерционными динамическими звеньями. Монотонный характер этих процессов дал также основание называть такие звенья апериодическими (неколебательными).

3

2.1.2. Составить программу численного решения дифференциального уравнения (1) методом Эйлера.

Указанный метод основан на разложении функции y(t) в окрестности точки y(t_m) в ряд Тейлора

Ограничившись приращениями t первого порядка малости и обозначив t=h, y(t_m) = y_m, y(t_m+t)=y_m+1 придем к так называемому уравнению Эйлера

y_m+1 = y_m + hy_m,

и з которого следует, что для приближенного вычисления значения функции y_m+1 в момент времени t_m+t= t_m+h= t_m+1 достаточно знать значение этой функции y(t_m) и её производную y(t_m) в текущий момент времени t_m (рис.3).

Ошибка  вычисления функции y_m+1, как следует из рис.3, может быть достаточно малой лишь при малых значениях шага h.

В соответствии с уравнением Эйлера для решения уравнения (1) зададимся начальным значением функции, например для t_m=0 примем y(t_m)=y(0)=0, и из (1) определим выражение для её производной

4

Тогда уравнение Эйлера для рассматриваемой задачи примет вид

Это уравнение является стержнем программы численного решения (1). Пример программы на языке QBASIC представлен на рис.4.

10 x = 1

20 T = .7

30 h = .001

40 SCREEN 9

50 VIEW (50, 0)-(550, 299)

60 WINDOW (0, 2)-(6 * T, -.1)

70 LINE (0, 0)-(0, 2)

80 LINE (0, 0)-(6 * T, 0)

90 LINE (0, 1)-(6 * T, 1)

100 LINE (0, .95)-(6 * T, .95)

110 FOR w = 0 TO 6 * T STEP h

120 y = y + h * (x - y) / T

130 PSET (w, y)

140 NEXT w

150 END

Р ис.4. Пример программы для численного исследования

инерционного звена

Цикл 110…140 обеспечивает вычисление искомой функции y(t) для заданных x(t) и постоянной времени Т (строки 10 и 20), и вывод на экран графика этой функции с шагом h, определенным в строке 30. Строки 50…100 определяют графический режим экрана и обеспечивают нанесение на него осей

5

координат y, t и линий х=1 и y=0,95, позволяющих наглядно определить время регулирования t_р (см.рис.1).

2.1.3. С помощью полученной в п.2.1.2 программы исследовать влияние постоянной времени Т на характер переходного процесса y(t) на выходе инерционного звена, принимая её равной Т=Т_н и Т=2Т_н, где Т_н  заданное для конкретного варианта номинальное значение постоянной времени:

для входных сигналов х(t)=1₀(t) и x(t)=21₀(t);

для входных сигналов x(t)=t и x(t)=2t.

В качестве характеристик переходного процесса использовать время регулирования t_р и установившуюся ошибку

,

и сравнить полученные результаты с расчетными значениями t_p=3T;