2.2. Моделирование и исследование колебательного звена

2.2.1. Аналогично п.2.1.1 составить математическую модель электрической цепи, представленной на рис.5:

T²y(t) + 2Ty(t) + y(t) = x(t), (2)

где приняты обозначения

Т  постоянная времени звена, Т²=LC;

  относительный коэффициент затухания, 2Т = RC;

y(t)=U_вых(t); x(t)=U_вх(t).

6

Аналитическое решение этого уравнения для единичного ступенчатого воздействия x(t)=1(t) имеет вид

г рафически представленный на рис.6.

Характерной и отличительной чертой получаемого переходного процесса является наличие колебаний, амплитуда, период и время затухания которых полностью определяются параметрами T и  звена (см. рис.6).

2.2.2. Составить программу численного решения дифференциального уравнения (2). Для того, чтобы воспользоваться методом Эйлера (см.п.2.1.2), необходимо от имеющегося

7

одного уравнения (2) второго порядка перейти к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка, т.е. переписать (2) в нормальной форме Коши.

Осуществив в (2) замену z₁(t)=y(t); z₂(t)=y(t), получим систему

для которой уравнения Эйлера имеют вид

Фрагмент программы, соответствующий использованию этих уравнений, представлен на рис.7.

...

110 FOR w = 0 TO 6 * T / B STEP h

120 p1 = z2

130 p2 = (x - z1 - 2 * B * T * z2)/(T*T)

140 z1 = z1 + h * p1

150 z2 = z2 + h * p2

160 Pset (w, z1)

170 Next w

...

Рис.7. Фрагмент программы для численного

исследования колебательного звена

2.2.3. С помощью полученной в п.2.2.2 программы построить переходные процессы на выходе звена для единичного ступенчатого входного воздействия:

при номинальном значении относительного коэффициента затухания =_н и различных значениях постоянной времени Т=0,5Т_н; Т=Т_н; Т=2Т_н;

8

при номинальном значении постоянной времени Т= Т_н и различных значениях коэффициента =0,5_н; =_н; =2_н.

Провести сравнительный анализ полученных переходных процессов по времени регулирования t_p, перерегулированию , периоду колебаний Р и установившейся ошибке _уст.

Расчетные значения характеристик:

2.3. Моделирование и исследование

инерционно-форсирующего звена

2.3.1. Составить математическую модель электрической цепи, представленной на рис.8:

T ₁y(t)+y(t)=T₂x(t)+x(t), (3)

в которой T₁=(R₁+R₂)C; T₂=R₂C.

9

Аналитическое решение уравнения (3) для x(t)=1₀(t) имеет вид

и изображено на рис.9.

Как видно из рисунка, характерной особенностью переходного процесса является наличие в его начале скачка   форсирования, значение которого определяется отношением постоянных времени Т₂ и Т₁, и последующее растянутое во времени  инерционное воспроизведение входного сигнала х(t). Совокупность этих особенностей и определила собою название звена.

10

При использовании активных элементов в составе инерционно-форсирующих звеньев можно реализовать отношение >1, при котором форсирующие свойства звена становятся доминирующими.

2.3.2. Составить программу численного решения уравнения (3). Наличие производной х(t) в правой части этого дифференциального уравнения не позволяет непосредственно использовать для его численного решения метод Эйлера. Поэтому необходимо провести некоторые преобразования.

От дифференциального уравнения (3) перейдем к изображениям по Лапласу

Т₁y(p)p+y(p)=T₂x(p)p+x(p)

и получим выражение

п озволяющее наглядно представить рассматриваемое звено последовательным соединением типовых инерционного и форсирующего звеньев (рис.10).

Из рис.10 вытекают уравнения связи

при переходе от которых к оригиналам

11

или

придем к системе дифференциальных уравнений, эквивалентной уравнению (3), но, в отличие от него, более удобной для численного решения методом Эйлера:

Фрагмент программы, соответствующий использованию этих уравнений, представлен на рис.11.

...

110 FOR w = 0 TO 6 * T1 STEP h

120 p = (x – v) / T1

130 y = T2 * p + v

140 v = v + h * p