4.4.1. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Структура
4.4.1.1. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия
Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
где aij(x) и bi (x) − известные, а yj (x) − неизвестные функции, (i = 1,2, … ,n, j = 1,2, … , n) называется линейной системой дифференциальных уравнений.
При описании линейных систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной (матричной) формой записи. Обозначим
Тогда линейная система дифференциальных уравнений в векторной (матричной) форме записывается в виде Y' = A(x)Y + b(x) или, что тоже самое, в виде
Матрица A называется матрицей системы, а вектор-функция b(x) − неоднородностью системы.
Система Y' = A(x)Y + b(x) называется неоднородной линейной системой дифференциальных уравнений, а система Y' = A(x)Y − однородной линейной системой.
Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений.
Если A(x) и b(x) непрерывны на отрезке [a;b] , то какова бы ни была начальная точка (x0, Y0) из Rn+1, задача Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x0) = Y0, имеет единственное на [a;b] решение Y = Y(x) .
Важно отметить, что для линейной системы дифференциальных уравнений разрешимость задачи Коши глобальная: решение существует всюду, где непрерывны коэффициенты и неоднородность системы.
Нетрудно показать, что для решений линейных систем дифференциальных уравнений Y' = A(x)Y + b(x) и Y' = A(x)Y справедливо:
1) если Y(1) и Y(2) − два решения однородной системы, то при произвольных значениях постоянных С1 и С2 функция Y = С1Y(1) + С2Y(2) является решением этой системы;
2) если Y(1) и Y(2) − два решения неоднородной системы, то функция Y = Y(1)−Y(2) является решением однородной системы.
3) однородная система дифференциальных уравнений Y' = A(x)Y имеет тривиальное, нулевое решение Y ≡ 0. Это тривиальное решение называют точкой покоя системы или положением равновесия системы.
При изучении систем линейных дифференциальных уравнений важную роль играют свойства линейной зависимости и линейной независимости решений и связанный с этими свойствами определитель Вронского.
Решение задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Y' = AY + b, Y(x0) = Y0, существует и единственно всюду.
Пример №1
Рассмотрим линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений 2-гопорядка:
которую удобнее записать в векторной форме:
Решение этой простой системы нетрудно найти, например, методом исключения:
Теперь найдём решения Y(1)(x) и Y(2)(x) двух задач Коши для этой системы:
Пример №2
Рассмотрим линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений 2-гопорядка:
которую удобнее записать в векторной форме:
Решение этой простой системы нетрудно найти, например, методом исключения:
Теперь найдём решения Y(1)(x) и Y(2)(x) двух задач Коши для этой системы:
Эти решения линейно независимы всюду, так как их определитель Вронского нигде не обращается в нуль:
