3.3.2. Определитель Вронского

Определителем Вронского W(x, y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) из C_n-1[a, b] , а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:

Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций.

Если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b], то их определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке: W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≡ 0 на [a;b].

Важно понимать, что обратное утверждение неверно. Определитель Вронского линейно независимой системы функций может быть тождественно равен нулю.

Однако, если определитель Вронского системы функций на некотором отрезке отличен от тождественного нуля, то система функций линейно независима на этом отрезке.

Рассмотрим две функции:

Эти функции линейно независимы на [0,2]. Действительно:

Вычислим определитель Вронского W(x; y₁(x), _y2(x)) на [0,2]:

Итак, функции линейно независимы на [0,2], а W(x; y₁(x), y₂(x)) ≡ 0 на [0,2].

Этот пример означает, что тождественное равенство нулю определителя Вронского системы функций является необходимым условием линейной зависимости системы функций, но не является достаточным условием линейной зависимости системы функций.

С другой стороны, отличие от тождественного нуля определителя Вронского системы функций является достаточным условием линейной независимости системы функций.

(Ведь если бы она была бы линейно зависима, то определитель Вронского был бы тождественным нулём).

Определителем Вронского вектор-функций Y₁(x), Y₂(x), ..., Y_n(x),

называется определитель W[x; Y₁, Y₂, ..., Y_n], заданный равенством

Пример №1

Вычислим на всей числовой оси определитель Вронского W(x;1, x, x²,..., xⁿ) – определитель Вронского системы функций 1, x, x²,..., xⁿ.

Определитель Вронского на всей числовой оси отличен от нуля, следовательно, функции 1, x, x²,..., xⁿ линейно независимы на всей числовой оси.

Пример №2

Вычислим на всей числовой оси определитель Вронского линейно зависимой системы функций sin²x, cos²x, 1 – определитель ВронскогоW(x; sin²x, cos²x, 1):

В полном соответствии с необходимым условием линейной зависимости определитель Вронского линейно зависимой на всей числовой оси системы функций sin²x, cos²x, 1 тождественно равен нулю на всей числовой оси.

3.3.3. Исследование линейной независимости системы функций

Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций: если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x), линейно зависимы на отрезке [a;b], то их определитель Вронского тождественно обращается в нуль на этом отрезке:

W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≡ 0.

Обратное утверждение неверно: из равенства нулю определителя Вронского не следует линейная зависимость функций.

Однако, если определитель Вронского функций отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка [a; b] , то функции линейно независимы.

Это последнее утверждение – достаточное условие линейной независимости функций.

Определитель Вронского используют для исследования линейной зависимости функций: если хотя бы в одной точке W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≠ 0, то функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x), линейно зависимы на [a;b].

Если же W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≡ 0 то следует продолжить исследование линейной зависимости функций. Например, по определению.