3.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

3.5.1. Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^(n-1) + ... + a₁y' + a₀y = 0.

Коэффициенты a_n-1, ... , a₁, a₀ − постоянные действительные числа.

Попытаемся найти решение уравнения в виде y(x) = exp(λx).

Подставим функцию y(x) = exp(λx) в уравнение:

y(x) = exp(λx),

y'(x) = λexp(λx),

y''(x) = λ²exp(λx),... ,

yⁿ(x) = λⁿexp(λx),

λⁿexp(λx) + a_n-1λ^n-1exp(λx) + ... + a₁λexp(λx) + a₀exp(λx) = 0,

exp(λx)(λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀) = 0.

Поскольку exp(λx) ≠ 0, функция y(x) = exp(λx) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда

λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ = 0.

Уравнение λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ = 0 называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Многочлен n-й степени P_n(x) = λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ называется характеристическим многочленом уравнения.

Справедливо следующее утверждение (теорема Эйлера).

Для того чтобы функция y(x) = exp(λ₀x) была решением уравнения

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^(n-1) + ... + a₁y' + a₀y = 0,

необходимо и достаточно, чтобы число λ₀ было корнем характеристического уравнения

λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ = 0.

Из теоремы Эйлера следует следующее утверждение.

Если числа λ₁≠ λ₂≠ ... ≠ λ_n − различные действительные корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, то функции exp(λ₁x), exp(λ₂x), ..., exp(λ_nx) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид:

y(x) = C₁exp(λ₁x) + C₂exp(λ₂x)+ ...+ C_nexp(λ_nx).

Корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплексными числами, могут быть простыми и кратными.

Справедливы следующие утверждения.

1. Если числа λ₁≠ λ₂≠ ... ≠ λ_n − различные действительные корни характеристического уравнения, то функции exp(λ₁x), exp(λ₂x), ..., exp(λ_nx) образуют фундаментальную систему решений уравнения.

2. Если λ = λ₀ − действительный корень характеристического уравнения кратности r, то r функций

exp( λ₀x), xexp( λ₀x), x²exp( λ₀x), ..., x^r-1exp( λ₀x) − линейно независимые решения уравнения.

3. Если λ = λ₀ = α ± βi − комплексно сопряженная пара корней характеристического уравнения, то функции exp(αx)cos(βx), exp(αx)sin(βx) − линейно независимые решения уравнения.

4. Если λ = λ₀ = α ± βi − комплексно сопряженная пара корней характеристического уравнения кратности r , то 2r функций exp(αx)cos(βx), exp(αx)sin(βx), xexp(αx)cos(βx), xexp(αx)sin(βx), ..., x^r-1exp(αx)cos(βx),

x^r-1exp(αx)sin(βx) − линейно независимые решения уравнения.

Пример №1

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y'' + y' − 2y = 0.

Его характеристическое уравнение λ² + λ − 2 = 0 имеет два различных действительных корня λ₁=− 2 и λ₂=1.

Фундаментальную систему решений этого уравнения образуют функции exp(λ₁x) = exp(− 2x) и exp(λ₂x) = exp(x).

Общее решение уравнения имеет вид: y(x) = C₁exp(− 2x) + C₂exp(x).

Пример №2

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y'' − 2y' = 0.

Его характеристическое уравнение λ² − 2λ = 0 имеет два различных действительных корня λ₁= 0 и λ₂= 2.

Фундаментальную систему решений этого уравнения образуют функции exp(λ₁x) =1 и exp(λ₂x) = exp(2x).

Общее решение уравнения имеет вид: y(x) = C₁ + C₂exp(2x).

Пример №3

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y^(IV) − 2y''' −9y'' + 2y' + 8 = 0.

Его характеристическое уравнение λ⁴ − 2λ³ − 9λ² + 2λ + 8 = 0 имеет 4 различных действительных корня λ₁=1, λ₂= −1, λ₃=−2, λ₄= 3.

Фундаментальную систему решений этого уравнения образуют функции exp(λ₁x)=exp(x), exp(λ₂x) = exp(− x), exp(λ₃x)=exp(−2x), exp(λ₄x)=exp(3x).

Общее решение уравнения имеет вид: y(x) =C₁exp(x) + C₂exp(−x) + C₃exp(−2x) + C₄exp(3x) .

Пример №4

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение y''−4y' + 8y = 0.

Его характеристическое уравнение λ² − λ + 8 = 0 имеет два различных комплексно-сопряжённых корня λ_1,2 =2 ± 2 i.

Фундаментальную систему решений этого уравнения образуют функции

exp(2x)cos2x, exp(2x)sin2x.

Общее решение уравнения имеет вид: y(x) = C₁exp(2x)cos2x + C₂exp(2x)sin2x.

Пример №5

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y^IV − y = 0.

Его характеристическое уравнение λ⁴ − 1 = 0 имеет 2 действительных и два комплексных корня λ₁=1 , λ₂= −1 , λ_3,4=± i .

Фундаментальную систему решений этого уравнения образуют функции exp(x), exp(−x), sin x, cos x.

Общее решение уравнения имеет вид: y(x) = C₁exp(x) + C₂exp(−x) + C₃sin x+C₄cos x.

Пример №6

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y^(V) − 6y^(IV) + 9y''' = 0.

Его характеристическое уравнение λ⁵ − 6λ⁴ + 9λ³ = 0 имеет 5 действительных корней λ₁= λ₂ = λ₃ = 0, λ₄ = λ₅ = 3.

Фундаментальную систему решений этого уравнения образуют функции 1, x, x², exp(3x), xexp(3x).

Общее решение уравнения имеет вид: y(x) = C₁ + C₂x + C₃x² + C₄exp(3x) + C₅xexp(3x).