
- •А.В. Индейкин б1.Б.15 «теоретическая механика»
- •23.05.06 «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей»
- •Раздел 1 «статика»
- •Основные понятия теоретической механики
- •Статика. Аксиомы статики. Реакции связей Аксиомы статики
- •Лекция 2
- •Система сходящихся сил
- •2.1. Определение. Сложение сил геометрическим способом. Условие равновесия сил
- •3.2. Проекции силы на ось и на плоскость. Определение равнодействующей аналитическим способом. Уравнения равновесия сил
- •2.3. Теорема о равновесии трех сил
- •Лекция 3 Произвольная система сил в пространстве и на плоскости
- •Система сил, произвольно расположенных в пространстве
- •Лекция 4
- •Лекция 5 Статический расчет плоских ферм
- •Расчет усилий в стержнях фермы
- •7.1. «Способ вырезания узлов»
- •Лекция 6 Трение скольжения и трение качения
- •Сухое трение
- •Лекция 7
- •Центр параллельных сил. Центр тяжести
- •Лекция 8. Рычаг. Устойчивость против опрокидывания.
- •Лекция 9
- •Кинематика. Задачи кинематики. Кинематика точки
- •Лекция 10
- •Лекция 11
- •Лекция 12
- •Лекция 13
- •Определение ускорений точек плоской фигуры
- •Лекция 14
- •Лекция 15
- •Лекция 16
- •Абсолютное, переносное и относительное движения точки
- •Семестр 3
- •Раздел 3 динамика лекция 1
- •Лекция 2 Динамика механической системы
- •Лекция 3 Моменты инерции твердых тел
- •Лекция 4 Динамика механической системы
- •Лекция 5 Количество движения механической точки и механической системы
- •Лекция 6 Динамика вращательного и плоского движения твердого тела
- •Лекция 7
- •Лекция 8
- •Лекция 9
- •Лекция 10
- •Лекция 11 Принцип возможных перемещений
- •Лекция 12 общее уравнение динамики
- •Лекция 13
- •Лекция 14
- •Уравнения Лагранжа II рода
- •Лекция 15
- •Лекция 16 Свободные и вынужденные колебания механической системы с одной степенью свободы.
Лекция 7
Центр параллельных сил. Центр тяжести. Рычаг. Устойчивость против опрокидывания.
Центр параллельных сил. Центр тяжести
П
араллельные
силы, приложенные к телу, можно складывать
последовательно – т.е. вначале первые
две силы (см. рис.7.1), получив их
равнодействующую
(точка ее приложения определяется из
соотношения
),
затем силы
и
и т.д.
Рис. 7.1
Сложив, таким
образом, все силы, получим их
равнодействующую
,
модуль которой равен алгебраической
сумме параллельных сил:
(если все силы направлены в одну сторону,
то величина равнодействующей равна
арифметической сумме сил и направлена
в ту же сторону). Точка приложения
равнодействующей параллельных сил
называется центром параллельных сил.
Она обладает особым свойством: при
повороте параллельных сил вокруг точек
их приложения в одну и ту же сторону и
на один и тот же угол, равнодействующая
этих сил повернется на тот же угол в ту
же сторону вокруг точки С (силу можно
переносить по линии ее действия, приложив
ее к любой точке на этой линии (например,
к точке С), но только одна единственная
точка на этой линии (точка С) обладает
свойством – через нее всегда проходит
линия действия равнодействующей
параллельных сил при их повороте.
Определить положение центра параллельных сил можно, применяя теорему о моменте равнодействующей (см. рис.7.2).
Рис7.2
Момент
равнодействующей
параллельных сил
относительно оси x
равен алгебраической сумме моментов
всех n сил относительно
той же оси:
, где
,
отсюда получим формулу:
.
Аналогично,
, откуда
.
Повернув все силы вокруг точек их приложения на 900 в одну и ту же сторону, получим возможность определить момент равнодействующей параллельных сил относительно оси x:
, откуда
.
Таким образом, получены формулы, определяющие координаты центра параллельных сил (положение центра параллельных сил определено).
С понятием центра параллельных сил связано понятие центра тяжести.
Центр тяжести
твердого тела – это центр параллельных
сил тяжести отдельных частиц тела. При
этом сила тяжести тела равна арифметической
сумме сил тяжести всех частиц тела (они
направлены в одну сторону), как их
равнодействующая:
.
Координаты центра тяжести тела:
;
;
.
В задачах механики приходится определять положение центра тяжести объема, площади плоской фигуры и участка кривой линии.
Центр тяжести объема – это центр тяжести сплошного однородного тела, заполняющего данный объем.
В этом случае
,
где
- удельный вес тела, а
- объем тела.
Рассматривая
тело как множество элементарных частиц,
объем каждой из которых
,
а вес
,
получим:
,
где
- координата центра тяжести объема, а
(i=1,
2, …, n) - координаты
центра тяжести частиц тела, объемы
которых
.
Аналогично определяются координаты
и
.
Центр тяжести площади плоской фигуры – центр тяжести тонкой сплошной однородной пластины, очертание которой совпадает с очертанием плоской фигуры. В этом случае объем пластины
, а
,
где V и
- объем пластины, площадь которой F,
и элементарный объем частицы этой
пластины, площадь которой
,
а h - толщина пластины.
Тогда, используя формулы, определяющие положение центра тяжести объема, получим:
;
(плоская фигура находится в плоскости xy).
В формулах
величины, стоящие в числителе, получили
особое название: статический момент
площади относительно оси y
-
(в первой формуле) и относительно оси x
-
(во второй формуле):
;
.
Статические
моменты площади можно определить, зная
и
:
Центр тяжести линии – центр тяжести
тонкой однородной проволоки, ось которой
совпадает с линией. В этом случае объем
проволоки
,
а объем элементарного участка
проволоки
,
где
и
- длина проволоки, площадь поперечного
сечения которой F, и
длина элементарного участка проволоки.
Используя формулы, определяющие положение центра тяжести объема, получим:
;
;
(в случае плоской кривой линии
,
если линия находится в плоскости xy).
Определяя положение центра тяжести тела, целесообразно пользоваться хорошо известными правилами: центр тяжести симметричного твердого тела находится на оси симметрии; центр тяжести тела, имеющего плоскость симметрии, находится в этой плоскости.
При определении центра тяжести тела, имеющего полость (незаполненную часть тела), объем полости при расчетах учитывается как отрицательная величина. Если плоская пластина имеет отверстия (незаполненные материалом части), то в расчетах учитывается площадь отверстия, как отрицательная величина.