Лекция 7

Центр параллельных сил. Центр тяжести. Рычаг. Устойчивость против опрокидывания.

Центр параллельных сил. Центр тяжести

П араллельные силы, приложенные к телу, можно складывать последовательно – т.е. вначале первые две силы (см. рис.7.1), получив их равнодействующую (точка ее приложения определяется из соотношения ), затем силы и и т.д.

Рис. 7.1

Сложив, таким образом, все силы, получим их равнодействующую , модуль которой равен алгебраической сумме параллельных сил: (если все силы направлены в одну сторону, то величина равнодействующей равна арифметической сумме сил и направлена в ту же сторону). Точка приложения равнодействующей параллельных сил называется центром параллельных сил. Она обладает особым свойством: при повороте параллельных сил вокруг точек их приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, равнодействующая этих сил повернется на тот же угол в ту же сторону вокруг точки С (силу можно переносить по линии ее действия, приложив ее к любой точке на этой линии (например, к точке С), но только одна единственная точка на этой линии (точка С) обладает свойством – через нее всегда проходит линия действия равнодействующей параллельных сил при их повороте.

Определить положение центра параллельных сил можно, применяя теорему о моменте равнодействующей (см. рис.7.2).

Рис7.2

Момент равнодействующей параллельных сил относительно оси x равен алгебраической сумме моментов всех n сил относительно той же оси:

, где ,

отсюда получим формулу: .

Аналогично, , откуда .

Повернув все силы вокруг точек их приложения на 90⁰ в одну и ту же сторону, получим возможность определить момент равнодействующей параллельных сил относительно оси x:

, откуда .

Таким образом, получены формулы, определяющие координаты центра параллельных сил (положение центра параллельных сил определено).

С понятием центра параллельных сил связано понятие центра тяжести.

Центр тяжести твердого тела – это центр параллельных сил тяжести отдельных частиц тела. При этом сила тяжести тела равна арифметической сумме сил тяжести всех частиц тела (они направлены в одну сторону), как их равнодействующая: .

Координаты центра тяжести тела:

; ; .

В задачах механики приходится определять положение центра тяжести объема, площади плоской фигуры и участка кривой линии.

Центр тяжести объема – это центр тяжести сплошного однородного тела, заполняющего данный объем.

В этом случае , где - удельный вес тела, а - объем тела.

Рассматривая тело как множество элементарных частиц, объем каждой из которых , а вес , получим:

,

где - координата центра тяжести объема, а (i=1, 2, …, n) - координаты центра тяжести частиц тела, объемы которых . Аналогично определяются координаты и .

Центр тяжести площади плоской фигуры – центр тяжести тонкой сплошной однородной пластины, очертание которой совпадает с очертанием плоской фигуры. В этом случае объем пластины

, а ,

где V и - объем пластины, площадь которой F, и элементарный объем частицы этой пластины, площадь которой , а h - толщина пластины.

Тогда, используя формулы, определяющие положение центра тяжести объема, получим:

;

(плоская фигура находится в плоскости xy).

В формулах величины, стоящие в числителе, получили особое название: статический момент площади относительно оси y - (в первой формуле) и относительно оси x - (во второй формуле): ; .

Статические моменты площади можно определить, зная и :

Центр тяжести линии – центр тяжести тонкой однородной проволоки, ось которой совпадает с линией. В этом случае объем проволоки ,

а объем элементарного участка проволоки ,

где и - длина проволоки, площадь поперечного сечения которой F, и длина элементарного участка проволоки.

Используя формулы, определяющие положение центра тяжести объема, получим:

;

;

(в случае плоской кривой линии , если линия находится в плоскости xy).

Определяя положение центра тяжести тела, целесообразно пользоваться хорошо известными правилами: центр тяжести симметричного твердого тела находится на оси симметрии; центр тяжести тела, имеющего плоскость симметрии, находится в этой плоскости.

При определении центра тяжести тела, имеющего полость (незаполненную часть тела), объем полости при расчетах учитывается как отрицательная величина. Если плоская пластина имеет отверстия (незаполненные материалом части), то в расчетах учитывается площадь отверстия, как отрицательная величина.