
- •А.В. Индейкин б1.Б.15 «теоретическая механика»
- •23.05.06 «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей»
- •Раздел 1 «статика»
- •Основные понятия теоретической механики
- •Статика. Аксиомы статики. Реакции связей Аксиомы статики
- •Лекция 2
- •Система сходящихся сил
- •2.1. Определение. Сложение сил геометрическим способом. Условие равновесия сил
- •3.2. Проекции силы на ось и на плоскость. Определение равнодействующей аналитическим способом. Уравнения равновесия сил
- •2.3. Теорема о равновесии трех сил
- •Лекция 3 Произвольная система сил в пространстве и на плоскости
- •Система сил, произвольно расположенных в пространстве
- •Лекция 4
- •Лекция 5 Статический расчет плоских ферм
- •Расчет усилий в стержнях фермы
- •7.1. «Способ вырезания узлов»
- •Лекция 6 Трение скольжения и трение качения
- •Сухое трение
- •Лекция 7
- •Центр параллельных сил. Центр тяжести
- •Лекция 8. Рычаг. Устойчивость против опрокидывания.
- •Лекция 9
- •Кинематика. Задачи кинематики. Кинематика точки
- •Лекция 10
- •Лекция 11
- •Лекция 12
- •Лекция 13
- •Определение ускорений точек плоской фигуры
- •Лекция 14
- •Лекция 15
- •Лекция 16
- •Абсолютное, переносное и относительное движения точки
- •Семестр 3
- •Раздел 3 динамика лекция 1
- •Лекция 2 Динамика механической системы
- •Лекция 3 Моменты инерции твердых тел
- •Лекция 4 Динамика механической системы
- •Лекция 5 Количество движения механической точки и механической системы
- •Лекция 6 Динамика вращательного и плоского движения твердого тела
- •Лекция 7
- •Лекция 8
- •Лекция 9
- •Лекция 10
- •Лекция 11 Принцип возможных перемещений
- •Лекция 12 общее уравнение динамики
- •Лекция 13
- •Лекция 14
- •Уравнения Лагранжа II рода
- •Лекция 15
- •Лекция 16 Свободные и вынужденные колебания механической системы с одной степенью свободы.
Лекция 11
Кинематика твердого тела..Виды движения тела Поступательное движение тела. Вращательное движение тела. Определение скорости и ускорения точки вращающегося тела
Кинематика твердого тела
Поступательное движение тела
Поступательным называется такое движение тела относительно конкретной системы отсчета, при котором любая прямая, связанная с телом, остается параллельной своему первоначальному положению.
Если известна скорость точки А тела,
то можно определить скорость любой
другой точки тела, например, точки В,
используя векторное равенство (рис.10.1)
и формулу
,
что дает
,
так как
(
при поступательном движении тела).
Рис.10.1
Следовательно, скорости точек тела в любой момент времени геометрически равны. То же мы получим, рассматривая ускорения точек тела:
.
Так что и ускорения точек тела в любой момент времени геометрически равны.
Равенство скоростей точек в один и тот же момент времени позволяет утверждать, что траектории точек тела при его поступательном движении параллельны (т.к. параллельны касательные к траекториям точек в каждый момент времени) или тождественны (траектории совпадают при их наложении друг на друга).
Такие свойства поступательного движения тела позволяют записать уравнения поступательного движения в виде:
,
,
,
где А – произвольно выбранная точка тела.
Эти уравнения позволяют определить положение тела, траектории, скорости и ускорения всех точек тела в любой момент времени.
Задачи, связанные с определением скоростей и ускорений точек тела в этом случае сводятся к задачам кинематики точки.
Лекция 12
Вращательное движение тела
Вращательным называется движение тела, при котором хотя бы две точки тела неподвижны. Прямая линия, проходящая через эти две точки, называется осью вращения.
П
оложение
тела в пространстве однозначно
определяется углом
между плоскостями
и
,
из которых
- неподвижна, а
- жестко связана с телом. Поэтому уравнение
вращения тела вокруг неподвижной оси:
.
За положительное направление отсчета угла обычно принимается направление вращения тела против хода часовой стрелки, если наблюдатель смотрит со стороны положительного направления оси к началу координат (рис.10.2).
Рис.10.2
Вращательное движение тела характеризуется угловой скоростью и угловым ускорением.
Угловая скорость тела в данный момент
времени определяется как предел средней
угловой скорости при стремлении к нулю
малого промежутка времени
:
(здесь
- приращение угла поворота за время
,
а
- средняя угловая скорость тела за
промежуток времени
).
Угловое ускорение тела в данный момент
времени определяется как предел среднего
углового ускорения
,
где
- приращение угловой скорости за время
,
при
стремящемся к нулю:
.
В механике принято угловую скорость и
угловое ускорение обозначать на чертеже
в виде векторов
и
,
направляя их по оси вращения, т.е.
и
,
где
- единичный вектор оси вращения (он
задает положительное направление оси),
- проекция вектора
на ось вращения, а
- проекция вектора
на ось вращения (
и
еще называют условными или псевдо
векторами).
Если и одного направления, то движение считается ускоренным и наоборот.
Уравнение равномерного вращения (
):
,
где
- значение угла поворота тела при
.
Уравнение равнопеременного вращения
(
):
,
где
и
- значения угла поворота тела и угловой
скорости при
.
Отсюда можно получить уравнение угловой
скорости
(при равноускоренном вращении берется
знак «плюс»; при равнозамедленном –
знак «минус»).
Определение скорости и ускорения точки вращающегося тела.
Любая точка тела, кроме неподвижных
точек, лежащих на оси вращения, при
вращении тела движется по окружности.
Расстояние
(дуговая координата точки М) и угол
поворота тела
(рис.10.8) связаны равенством:
.
Если задано уравнение вращательного движения тела , то можно оперировать функцией времени , что дает возможность сразу получить формулы для определения скорости и ускорения точки М при естественном способе задания ее движения:
,
,
где
- центростремительное ускорение
(так называется нормальное ускорение
точки, принадлежащей вращающемуся
телу);
- вращательное ускорение, (так
называется касательное ускорение точки
вращающегося тела).
Окончательная формула ускорения:
.
Из рис.10.8 видно, что
(
- угол между ускорением
и радиусом окружности точки М).
Для теоретических выводов часто
используются векторные выражения
скорости и ускорения точки вращающегося
тела (рис.10.3)
(формула Эйлера).
Рис.10.9
Модуль вектора
:
;
направление вектора, равного векторному
произведению
на
,
совпадает с направлением скорости точки
М. Таким образом, убеждаемся в
справедливости формулы Эйлера.
.
Первое слагаемое совпадает с вращательным
ускорением, так как
,
а второе слагаемое совпадает с
центростремительным ускорением, так
как
(направления векторов также проверяются
по правилу векторного произведения).
Таким образом, получаем:
и
.