- •А.В. Индейкин б1.Б.15 «теоретическая механика»
- •23.05.06 «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей»
- •Раздел 1 «статика»
- •Основные понятия теоретической механики
- •Статика. Аксиомы статики. Реакции связей Аксиомы статики
- •Лекция 2
- •Система сходящихся сил
- •2.1. Определение. Сложение сил геометрическим способом. Условие равновесия сил
- •3.2. Проекции силы на ось и на плоскость. Определение равнодействующей аналитическим способом. Уравнения равновесия сил
- •2.3. Теорема о равновесии трех сил
- •Лекция 3 Произвольная система сил в пространстве и на плоскости
- •Система сил, произвольно расположенных в пространстве
- •Лекция 4
- •Лекция 5 Статический расчет плоских ферм
- •Расчет усилий в стержнях фермы
- •7.1. «Способ вырезания узлов»
- •Лекция 6 Трение скольжения и трение качения
- •Сухое трение
- •Лекция 7
- •Центр параллельных сил. Центр тяжести
- •Лекция 8. Рычаг. Устойчивость против опрокидывания.
- •Лекция 9
- •Кинематика. Задачи кинематики. Кинематика точки
- •Лекция 10
- •Лекция 11
- •Лекция 12
- •Лекция 13
- •Определение ускорений точек плоской фигуры
- •Лекция 14
- •Лекция 15
- •Лекция 16
- •Абсолютное, переносное и относительное движения точки
- •Семестр 3
- •Раздел 3 динамика лекция 1
- •Лекция 2 Динамика механической системы
- •Лекция 3 Моменты инерции твердых тел
- •Лекция 4 Динамика механической системы
- •Лекция 5 Количество движения механической точки и механической системы
- •Лекция 6 Динамика вращательного и плоского движения твердого тела
- •Лекция 7
- •Лекция 8
- •Лекция 9
- •Лекция 10
- •Лекция 11 Принцип возможных перемещений
- •Лекция 12 общее уравнение динамики
- •Лекция 13
- •Лекция 14
- •Уравнения Лагранжа II рода
- •Лекция 15
- •Лекция 16 Свободные и вынужденные колебания механической системы с одной степенью свободы.
Лекция 11
Кинематика твердого тела..Виды движения тела Поступательное движение тела. Вращательное движение тела. Определение скорости и ускорения точки вращающегося тела
Кинематика твердого тела
Поступательное движение тела
Поступательным называется такое движение тела относительно конкретной системы отсчета, при котором любая прямая, связанная с телом, остается параллельной своему первоначальному положению.
Если известна скорость точки А тела, то можно определить скорость любой другой точки тела, например, точки В, используя векторное равенство (рис.10.1) и формулу , что дает , так как ( при поступательном движении тела).
Рис.10.1
Следовательно, скорости точек тела в любой момент времени геометрически равны. То же мы получим, рассматривая ускорения точек тела:
.
Так что и ускорения точек тела в любой момент времени геометрически равны.
Равенство скоростей точек в один и тот же момент времени позволяет утверждать, что траектории точек тела при его поступательном движении параллельны (т.к. параллельны касательные к траекториям точек в каждый момент времени) или тождественны (траектории совпадают при их наложении друг на друга).
Такие свойства поступательного движения тела позволяют записать уравнения поступательного движения в виде:
, , ,
где А – произвольно выбранная точка тела.
Эти уравнения позволяют определить положение тела, траектории, скорости и ускорения всех точек тела в любой момент времени.
Задачи, связанные с определением скоростей и ускорений точек тела в этом случае сводятся к задачам кинематики точки.
Лекция 12
Вращательное движение тела
Вращательным называется движение тела, при котором хотя бы две точки тела неподвижны. Прямая линия, проходящая через эти две точки, называется осью вращения.
П оложение тела в пространстве однозначно определяется углом между плоскостями и , из которых - неподвижна, а - жестко связана с телом. Поэтому уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси: .
За положительное направление отсчета угла обычно принимается направление вращения тела против хода часовой стрелки, если наблюдатель смотрит со стороны положительного направления оси к началу координат (рис.10.2).
Рис.10.2
Вращательное движение тела характеризуется угловой скоростью и угловым ускорением.
Угловая скорость тела в данный момент времени определяется как предел средней угловой скорости при стремлении к нулю малого промежутка времени : (здесь - приращение угла поворота за время , а - средняя угловая скорость тела за промежуток времени ).
Угловое ускорение тела в данный момент времени определяется как предел среднего углового ускорения , где - приращение угловой скорости за время , при стремящемся к нулю:
.
В механике принято угловую скорость и угловое ускорение обозначать на чертеже в виде векторов и , направляя их по оси вращения, т.е.
и ,
где - единичный вектор оси вращения (он задает положительное направление оси), - проекция вектора на ось вращения, а - проекция вектора на ось вращения ( и еще называют условными или псевдо векторами).
Если и одного направления, то движение считается ускоренным и наоборот.
Уравнение равномерного вращения ( ):
,
где - значение угла поворота тела при .
Уравнение равнопеременного вращения ( ):
,
где и - значения угла поворота тела и угловой скорости при .
Отсюда можно получить уравнение угловой скорости (при равноускоренном вращении берется знак «плюс»; при равнозамедленном – знак «минус»).
Определение скорости и ускорения точки вращающегося тела.
Любая точка тела, кроме неподвижных точек, лежащих на оси вращения, при вращении тела движется по окружности. Расстояние (дуговая координата точки М) и угол поворота тела (рис.10.8) связаны равенством: .
Если задано уравнение вращательного движения тела , то можно оперировать функцией времени , что дает возможность сразу получить формулы для определения скорости и ускорения точки М при естественном способе задания ее движения:
, ,
где - центростремительное ускорение (так называется нормальное ускорение точки, принадлежащей вращающемуся телу); - вращательное ускорение, (так называется касательное ускорение точки вращающегося тела).
Окончательная формула ускорения:
.
Из рис.10.8 видно, что ( - угол между ускорением и радиусом окружности точки М).
Для теоретических выводов часто используются векторные выражения скорости и ускорения точки вращающегося тела (рис.10.3) (формула Эйлера).
Рис.10.9
Модуль вектора : ; направление вектора, равного векторному произведению на , совпадает с направлением скорости точки М. Таким образом, убеждаемся в справедливости формулы Эйлера.
.
Первое слагаемое совпадает с вращательным ускорением, так как , а второе слагаемое совпадает с центростремительным ускорением, так как (направления векторов также проверяются по правилу векторного произведения). Таким образом, получаем:
и .