Лекция 4

Система сил, произвольно расположенных в одной плоскости. Сложение сил. Условия и уравнения равновесия сил. Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона).

Система сил, произвольно расположенных в одной плоскости. Сложение сил. Условия и уравнения равновесия сил

«Плоская» система сил – частный случай сил, произвольно расположенных в пространстве. И в этом случае в результате сложения сил методом приведения их к центру получаются сила и пара сил. Сила, приложенная к центру, равная геометрической сумме заданных сил, - главный вектор , а момент пары сил, равный алгебраической сумме моментов присоединенных пар сил, т.е. равный алгебраической сумме моментов заданных сил относительно центра – главный момент заданных сил . В этом случае не показывается вектор момент каждой присоединенной пары сил (он перпендикулярен к плоскости, в которой расположены силы), а показывается момент в виде круговой стрелки, обозначающей возможный поворот тела вокруг оси Oz, перпендикулярной к плоскости xOy, против хода или по ходу часовой стрелки. В первом случае моменту силы относительно точки О приписывается знак «плюс», а во втором – знак «минус» (см. рис.4.1).

Рис.4.1

Условия равновесия сил, как и в общем случае, и . Отсюда получаем 3 уравнения равновесия, используемые для решения задач, - ; ; (силы расположены в плоскости xOy).

Система параллельных сил Сложение сил. Условия и уравнения равновесия сил

С истема параллельных сил – частный случай сил, произвольно расположенных в пространстве. И в этом случае в результате сложения сил методом приведения их к центру получим силу и пару сил. Сила, приложенная к центру, - главный вектор: его модуль равен абсолютному значению алгебраической суммы параллельных сил , а направлен вектор вдоль оси Oz (см.рис.4.2) в сторону орта , если , и в противоположную сторону, если . Рис.4.2

Момент пары сил, равный геометрической сумме моментов сил относительно центра О, - главный момент системы параллельных сил относительно центра.

Вектор в этом случае лежит в плоскости xOy, т.е. . Определить величину и направление вектора можно по формулам:

;

; .

Условия равновесия сил: и , что дает три уравнения равновесия: ; ;

(силы параллельны оси Oz).

Если параллельные силы лежат в одной плоскости (например, в плоскости xOy), то при равновесии они должны удовлетворять двум условиям: и , т.е. ; .

Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)

Момент равнодействующей системы сил относительно некоторого центра равен геометрической сумме моментов заданных сил относительно того же центра.

Доказательство теоремы можно провести, ориентируясь на рис.5.2, где - равнодействующая, а ее момент относительно центра О равен главному моменту системы сил относительно того же центра. Учитывая, что , получаем, что момент равнодействующей относительно центра О равен геометрической сумме сил, приложенных к телу, относительно того же центра:

. (А)

В случае сил, произвольно расположенных на плоскости, момент равнодействующей относительно центра равен алгебраической сумме моментов сил относительно того же центра: .

Так как сходящиеся силы представляют собой частный случай сил, произвольно расположенных в пространстве (или на плоскости), то полученный выше вывод относится и к моменту равнодействующей сходящихся сил относительно любой точки тела, кроме той точки, где пересекаются линии действия сил.

Проектируя обе части равенства (А) на оси декартовых координат, получим скалярные равенства, из которых следует, что момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно той же оси:

.