Лекция 5 Статический расчет плоских ферм

Расчет усилий в стержнях ферм. «Способ вырезания узлов». Леммы о нулевых стержнях. Способ сечений (способ Риттера).

Расчет усилий в стержнях фермы

Фермой (в теоретической механике) называется шарнирно-стержневая конструкция, нагрузка на которую осуществлена силами, приложенными к узлам (шарнирам). При этом предполагается, что каждый стержень не обладает массой и не деформируется. Такая идеализированная конструкция часто используется в качестве расчетной схемы реальной конструкции (на первом этапе расчета, позволяющем предварительно оценить характер «работы» каждого стержня, зная усилия в них, появляющиеся в результате нагрузки на конструкцию).

Существуют различные способы определения усилий в стержнях фермы (рассматриваются ниже плоские фермы).

7.1. «Способ вырезания узлов»

О пределив реакции опор, можно приступить к расчету усилий в стержнях. Проводим сечение – вырезаем узел А (см. рис.5.1).

Рис.5.1

В узле сходятся 2 стержня, усилие в которых неизвестны. Два уравнения равновесия сил, приложенных к узлу, позволяют найти искомые усилия. Именно поэтому расчет начинаем с узла А, а не с узла С, где сходятся 3 стержня (подойти к узлу С придется только после того, как будет определено усилие в одном из стержней, чтобы два уравнения равновесия сил, приложенных к узлу С, позволили найти усилия в двух других стержнях).

Последовательный обход узлов фермы позволяет определить усилия во всех стержнях.

Проверку расчета иногда делают построением силового многоугольника для каждого узла фермы. Ниже приводится в качестве примера подробный расчет усилий в стержнях фермы и делаются выводы о «работе» каждого стержня.

Дано: Схема фермы (рис.7.1). кН, кН, α = 45⁰. Определить: усилия в стержнях фермы.

Находим реакции опор, составляя три уравнения равновесия:

;

; .

Из этих уравнений следует:

кН; кН;

кН; кН.

Узел А (см. рис.5.1). Принимаем условно, что стержни, соединенные шарнирно в узле А, работают на растяжение. Тогда реакции стержней, приложенные к узлу А, надо направить от узла внутрь стержня (вдоль оси стержня, т.к. стержень считается невесомым). Используем 2 уравнения равновесия, обозначив реакции стержней буквой S:

; .

Отсюда кН, кН.

Приходим к узлу С, где сходятся три стержня 2, 3 и 4. Составляем два уравнения равновесия сил:

;

.

Отсюда получаем: ; кН.

Составляя уравнения равновесия сил, приложенных к узлу D, получим:

;

.

Отсюда: кН; кН.

Переходим к узлу N:

;

.

Отсюда: кН; кН.

Для узла В:

;

.

Отсюда: кН.

Уравнения равновесия сил для узла Е станут проверкой решения:

;

.

Итак, стержни 1, 5 и 9 «работают» на растяжение, стержни 2, 4, 6 и 8 – на сжатие, а 3 и 7 – нулевые.

Способ сечений (способ Риттера)

Рассмотрим ту же ферму (рис.5.2) с той же нагрузкой при найденных уже ранее реакциях опор.

П оставим задачу: определить усилия в стержнях 6, 7 и 9 независимо от усилий в других стержнях. Проведем сечение (разрез) I–I через 3 стержня (рис.5.2), отбросим левую часть фермы, направив реакции рассеченных стержней в сторону отброшенной части (считая, что стержни 6, 7 и 9 «работают» на растяжение).

Рис.5.2

К правой части фермы приложены силы , , и , лежащие в вертикальной плоскости. Эти силы должны удовлетворять трем уравнениям равновесия. Решая эту задачу, следует составлять такие уравнения, чтобы усилие в каждом стержне определить независимо от усилий в других стержнях, попавших в сечение. В нашем случае эти уравнения следующие:

, что дает ;

, что дает кН;

, откуда кН.

Точка В, где сходятся стержни 6 и 9, и точка Е, где сходятся стержни 7 и 9, и точка N, где сходятся стержни 6 и 7, называются точками Риттера. При решении задачи отброшена левая часть фермы, т.к. к ней приложено больше сил. Это уменьшает трудоемкость решения, хотя можно было бы отбросить и правую часть, учитывая при решении силы, приложенные к левой части ( , , , , , , ). Для них уравнения равновесия имели бы другой вид. Естественно, результат расчета в этом случае был бы таким же, как и в первом случае (и точки Риттера сохранились бы).

Следует иметь в виду, что сечение следует проводить только через 3 стержня, чтобы использовать три уравнения равновесия сил. Сечение, например, через стержни 4, 5, 7 и 9 не позволит решить задачу способом Риттера.