Лекция 13

Потенциальная энергия. Силовое поле. Потенциальное силовое поле. Эквипотенциальные поверхности. Зависимость между силой и потенциальной энергией. Закон сохранения механической энергии .

Силовое поле. Потенциальное силовое поле

Силовым полем называется область физического пространства, в каждой точке которой на материальные точки механической системы действуют однозначно определенные по величине и направлению силы, зависящие от положения точки или от положения точки и времени (но не от ее скорости).

Силовое поле называется нестационарным, если силы поля зависят от времени, и стационарным, если силы поля не зависят от него.

Примерами силовых полей могут служить поле силы тяготения, поле сил упругости, электростатическое поле.

Среди силовых полей важную роль играют потенциальные (консервативные) силовые поля.

Стационарное силовое поле называется потенциальным или консервативным, если существует такая функция координат П (x,y,z), называемая потенциальной энергией, что проекции силы, действующей на i-тую точку системы в консервативном поле, выражаются формулами

; , . (14.1)

Вектор силы, приложенной к точке в консервативном силовом поле, определяется выражением:

. (14.2)

Это соотношение может быть записано в виде:

,

где − градиент потенциальной энергии.

Это означает, что силу, действующую на точку в консервативном силовом поле, можно рассматривать как градиент функции П(x,y,z).

Работа сил консервативного поля. Потенциальная энергия. Зависимость между силой и потенциальной энергией

Предположим, что механическая система, находящаяся в потенциальном силовом поле переместилась из положения 1 в положение 2. Определим работу сил поля на этом перемещении:

,

где .

Учитывая (16.2), получаем:

.

В этом выражении под знаком интеграла стоит полный дифференциал потенциальной энергии, поэтому его можно переписать в виде:

или

. (14.3)

Мы доказали, что работа сил, действующих на точки механической системы в потенциальном поле, равна разности значений потенциальной энергии в начальном и конечном положениях системы. Она не зависит ни от траекторий точек этой системы, ни от законов движения точек вдоль этих траекторий и равна уменьшению потенциальной энергии.

Формула (14.2) показывает, что потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного слагаемого. Это означает, что соотношение (14.3) сохраняется, если заменить П(x,y,z) на П(x,y,z)+С, где С − постоянная. Поэтому появляется возможность в некотором, принимаемом по дополнительным соображениям положении системы считать потенциальную энергию равной нулю.

Из (14.3) также следует, что работа сил потенциального поля на всякой замкнутой траектории равна нулю, так как в этом случае П₁=П₂. Обратное утверждение также справедливо: если работа сил поля на любом замкнутом контуре равна нулю, то силовое поле консервативно.

Если потенциальная энергия системы в конечном положении принята равной нулю (П₂=0), то при перемещении механической системы из заданного положения в это нулевое работа сил консервативного поля равна потенциальной энергии системы в этом положении.

Зависимости (14.1) позволяют получить критерии консервативности силового поля. Дифференцируя выражения (14.1), находим:

; ; ;

; ; . (14.5)

Так как смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, то имеем

; ; . (14.6)

Выполнение соотношений (14.6) является необходимым и достаточным условием того, чтобы силовое поле было потенциальным.

Эквипотенциальные поверхности. Зависимость между силой и потенциальной энергией

Геометрическое место точек пространства, в которых потенциальная энергия механической системы сохраняет постоянное значение, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид П(x,y,z)=С, где С − некоторая постоянная.

Задавая постоянной С всевозможные близкие значения, получим бесчисленное множество эквипотенциальных поверхностей, разделяющих поле на тонкие слои. При этом через каждую точку поля проходит только одна эквипотенциальная поверхность.

Если точка перемещается в силовом поле по эквипотенциальной поверхности из точки М₁ в точку М₂ (рис. 14.1), то работа сил поля будет равна нулю, так как .

Рис. 14.1

Установим теперь направление сил, действующих на точку, помещенную в потенциальное силовое поле по отношению к эквипотенциальной поверхности.

Пусть точка перемещается по эквипотенциальной поверхности П(x,y,z)=С. Продифференцируем обе части этого равенства по времени:

Если учесть (14.1), то можно записать

или . Следовательно, в любой момент времени сила , действующая на точку, перпендикулярна ее скорости. Так как скорость точки лежит в касательной к эквипотенциальной поверхности плоскости, то сила направлена по нормали к этой поверхности (рис. 14.1).

Допустим, что точка переместилась вдоль линии действия силы из положения М₁ в положение М₃. В этом случае работа силы на этом перемещении будет положительной, так как направление силы совпадает с направлением перемещения (А>0).

Тогда согласно формуле (14.3) получим

,

то есть .

Следовательно, сила , действующая на точку в потенциальном силовом поле, направлена в сторону уменьшения значений потенциальной энергии.

Закон сохранения механической энергии

Если механическая система движется только под действием сил потенциального силового поля, то изменение ее кинетической энергии можно записать в виде:

. (14.7)

Отсюда

.

Сумму кинетической и потенциальной энергий механической системы называют ее полной механической энергией.

Таким образом, при движении механической системы в консервативном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной:

. (14.8)

Равенство (14.8) называют интегралом энергии. Интеграл энергии справедлив при условии, что все силы, действующие на механическую систему, консервативны.

Если на систему действуют не только потенциальные силы, то ее полная механическая энергия может изменяться. Это изменение может быть связано как с потерями энергии на преодоление сопротивлений движению, так и с притоком энергии извне.