§ 2.1. Поле в веществе

Микро- и макрополе. Истинное электрическое поле в любом веществе — его называют микрополем — меняется весьма резко как в пространстве, так и во времени. Оно различно в разных точках атомов и промежутках между ними. Чтобы найти напряженность Е истинного поля в некоторой точке в данный момент, нужно было бы сложить напряженности полей всех отдельных заряженных частиц вещества — электронов и ядер. Решение этой задачи, очевидно, является совершенно нереальным. Да и сам результат оказался бы настолько сложным, что его просто нельзя было бы использовать. Более того, для решения макроскопических задач такое поле и вовсе не нужно. Для многих целей достаточно более простое и несравненно более грубое описание, которым мы и будем пользоваться в дальнейшем.

Под электрическим полем Е в веществе — его называют макрополем — мы будем понимать пространственно усредненное микрополе (после пространственного усреднения временное усреднение уже не требуется). Это усреднение проводится по так называемому физически бесконечно малому объему —

объему, содержащему большое число атомов, но имеющему размеры во много раз меньше, чем те расстояния, на которых макрополе меняется заметно. Усреднение по таким объемам сглаживает все нерегулярные и быстро меняющиеся вариации микрополя на расстояниях порядка атомных, но сохраняет плавные изменения макрополя на макроскопических расстояниях. Итак, поле в веществе

Влияние вещества на поле. При внесении любого вещества в электрическое поле в веществе происходит смещение положительных и отрицательных зарядов (ядер и электронов), что в свою очередь приводит к частичному разделению этих зарядов. В тех или иных местах вещества появляются нескомпенсированные заряды различного знака. Это явление называют электростатической индукцией, а появившиеся в результате разделения заряды — индуцированными зарядами.

Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле, которое вместе с исходным (внешним) электрическим полем образует результирующее поле. Зная внешнее поле и распределение индуцированных зарядов, можно при нахождении результирующего поля уже не обращать внимание на наличие самого вещества — его роль уже учтена с помощью индуцированных зарядов.

Таким образом, результирующее поле при наличии вещества определяется просто как суперпозиция внешнего поля и поля индуцированных зарядов. Однако во многих случаях дело усложняется тем, что мы заранее не знаем, как распределяются в пространстве все эти заряды — задача оказывается далеко не такой простой, как могло бы показаться вначале. Как мы увидим далее, распределение индуцированных зарядов в решающей степени зависит от свойств самого вещества — от его физической природы и формы тел. С этими вопросами нам и предстоит ознакомиться более подробно.

§ 2.2. Поле внутри и снаружи проводника

Внутри проводника Е 0. Поместим металлический проводник во внешнее электростатическое поле или сообщим ему ка- кой-нибудь заряд. В обоих случаях на все заряды проводника будет действовать электрическое поле, в результате чего все отрицательные заряды (электроны) сместятся против поля. Такое перемещение зарядов (ток) будет продолжаться до тех пор (практически это происходит в течение малой доли секунды), пока не установится определенное распределение зарядов, при котором электрическое поле во всех точках внутри проводника обратится в нуль. Таким образом, в статическом случае электрическое поле внутри проводника отсутствует (Е 0).

Далее, поскольку в проводнике всюду Е 0, то плотность избыточных (нескомпенсированных) зарядов внутри проводника также всюду равна нулю ( 0). Это легко понять с помощью теоремы Гаусса. Действительно, так как внутри проводника Е 0, то и поток вектора Е сквозь любую замкнутую поверхность внутри проводника также равен нулю. А это и значит, что внутри проводника избыточных зарядов нет.

Избыточные заряды появляются лишь на поверхности проводника с некоторой плотностью , вообще говоря, различной в разных точках его поверхности. Заметим, что избыточный поверхностный заряд находится в очень тонком поверхностном слое (его толщина около одного-двух межатомных расстояний).

Отсутствие поля внутри проводника означает согласно (1.31), что потенциал в проводнике одинаков во всех его точках, т. е. любой проводник в электростатическом поле представляет собой эквипотенциальную область и его поверхность является эквипотенциальной.

Из того факта, что поверхность проводника эквипотенциальна, следует, что непосредственно у этой поверхности поле Е направлено по нормали к ней в каждой точке. Если бы это было не так, то под действием касательной составляющей Е заряды пришли бы в движение по поверхности проводника, т. е. равновесие зарядов было бы невозможным.

Пример. Найдем потенциал незаряженного проводящего шара, на расстоянии r от центра которого расположен точечный заряд q (рис. 2.1).

Потенциал всех точек шара одинаков. Раз так, вычислим его в центре шара О, ибо только для этой точки

расчет оказывается наиболее про- Рис. 2.1 стым:

где первое слагаемое — это потенциал от заряда q, а второе — потенциал от зарядов, индуцированных на поверхности шара. Но так как все индуцированные заряды находятся на одном и том же расстоянии а от точки О и суммарный инду-

цированный заряд равен нулю, то = 0. Таким образом, в данном случае потенциал шара будет определяться только первым слагаемым в (1).

На рис. 2.2 изображено поле и распределение зарядов для системы из двух проводящих шаров, один из которых (левый)

заряжен. Вследствие электрической индукции на поверхности правого незаряженного шара появились заряды противоположного знака. Поле этих зарядов в свою очередь вызовет некоторое перераспределение зарядов на поверхности левого шара — их распределение по поверхности станет неравномерным. Сплошными линиями на рисунке показаны линии вектора Е, пунктирными — пересечения эквипотенциальных поверхно-

стей с плоскостью рисунка. По мере удаления от этой системы эквипотенциальные поверхности становятся все более близкими к сферическим, а линии вектора Е приближаются к радиальным, и само поле становится все более близким к полю точечного заряда q — полному заряду данной системы.

Поле у поверхности проводника. Напряженность электрического поля непосредственно у поверхности проводника связана, как мы сейчас увидим, простым соотношением с локальной плотностью заряда на поверхности проводника. Эту связь можно легко установить с помощью теоремы Гаусса.

Пусть интересующий нас участок поверхности проводника граничит с вакуумом. Линии вектора Е перпендикулярны поверхности проводника, поэтому в качестве замкнутой поверхности возьмем небольшой цилиндр, расположив его так, как показано на рис. 2.3.

Тогда поток вектора Е через эту поверхность будет равен только потоку через «наружный» торец цилиндра (потоки через боковую поверхность и внутренний торец равны нулю), и мы имеем En S S/ 0, где En — проекция вектора Е на внешнюю