причем дело обстоит так, как если бы область с большей плотностью магнитной энергии была бы областью большего давления.

Соотношение (9.45) является одним из основных в магнитогидродинамике, изучающей поведение электропроводящих жидкостей (в электротехнике и астрофизике).

Задачи

9.1.Э.д.с. индукции. Провод, имеющий форму параболы у = kx2, находится в однородном магнитном поле В, перпендикулярном плоскости

XY. Из вершины параболы перемещают поступательно и без начальной скорости перемычку с постоянным ускорением а (рис. 9.17). Найти э.д.с. индукции в образовавшемся контуре как функцию координаты у.

Решение. По определению i = – dФ/dt. Выбрав нормаль n к плоскости контура в направ-

лении вектора В, запишем: dФ = В dS, где dS = 2х dy. Теперь учтем, что x y/k, тогда

i B ) 2y/k dy/dt.

При движении с постоянным ускорением скорость dy/dt 2ay,

поэтому

i By8a /k.

Из полученной формулы видно, что i T у. Знак минус показывает, что i на рисунке действует против часовой стрелки.

9.2.Контур движется произвольным образом. Замкнутый проводящий контур перемещают произвольным образом (при этом даже деформируя) в постоянном неоднородном магнитном поле. Показать, что закон электромагнитной индукции (9.1) будет выполняться и в этом случае.

Решение. Рассмотрим элемент контура dl, который в данный момент движется со скоростью v в магнитном поле В. Согласно формулам преобразования полей (8.4) в системе отсчета, связанной с данным элементом, будет наблюдаться электрическое поле E = [vB]. Заметим, что это выражение можно получить и с помощью силы Лоренца, как было сделано в основном тексте перед формулой (9.4).

Теперь найдем соответствующее приращение магнитного потока сквозь контур. С этой целью обратимся к рис. 9.18. Пусть за время dt наш контур переместился из положения Г1 в положение Г2. Если в первом положении магнитный поток через поверхность S1, натянутую на контур, был равен Ф1, то соответствующий магнит-

Рис. 9.18 ный поток во втором положении контура может быть представлен как Ф1 + Ф, т. е. как поток через поверхность S1 + S. Здесь Ф — ин-

тересующее нас приращение магнитного потока сквозь узкую полоску S, ограниченную контурами Г1 и Г2.

С помощью рис. 9.18 запишем

Здесь: 1) направление нормали n согласовано с направлением обхода контура — вектором dl (правовинтовая система); 2) направление вектора dS — элемента площади полоски — согласовано с выбором нормалей n; 3) использована циклическая перестановка в смешанном произведении:

a[bc] b[ca] c[ab] – [ba]c.

Разделив выражение (2) на dt, найдем

где v = dr/dt. Остается сравнить (3) с (1), откуда и следует, что Ei = – dФ/dt.

9.3.Плоская спираль с большим числом N витков, плотно прилегающих друг к другу, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости спирали (рис. 9.19). Наружный радиус витков спирали равен а. Магнитное поле изменяется во времени

по закону В = В0 sin t. Найти амплитудное значение э.д.с. индукции, наведенной в спирали.

i i (r ) dN.

Проинтегрировав, получим следующее выражение для амплитудного значения э.д.с. индукции:

im ( /3)a2NB0 .

9.4.Внутри длинного соленоида находится катушка из N витков с площадью поперечного сечения S. Катушку поворачивают с постоянной угловой скоростью вокруг оси, совпадающей с ее диаметром и перпендикулярной оси соленоида. При этом магнитное

поле в соленоиде меняется во времени как В = В0 sin t. Найти э.д.с. индукции в катушке, если в момент t = 0 ось катушки сов-

падала с осью соленоида.

Решение. В момент t полный магнитный поток сквозь катушку

1

Ф NBS cos t NB0S sin t · cos t /2 NB0S sin2 t.

Согласно закону электромагнитной индукции

1

Ei – dФ/dt – /2 NB0S · 2 cos2 t – NB0S cos2 t.

9.5.Бетатронное условие. Показать, что электроны в бетатроне будут

двигаться по орбите постоянного радиуса r0 при условии, что магнитное поле на орбите В0 равно половине среднего по площади внутри орбиты значения магнитного поля pВq, т. е. В0 = pВq/2.

Решение. Представим релятивистское уравнение движения электрона

где Е — вихревое электрическое поле, в проекциях на касательную t и нормаль n к траектории. Для этого запишем импульс электрона как р = рt и найдем его производную по времени:

Теперь запишем уравнение (1) с учетом формул (2) и (3) в проекциях на касательную и нормаль к траектории:

Последнее уравнение можно переписать после сокращения на v в виде

p er0B0.

Продифференцируем это уравнение по времени, приняв во внимание, что r0 = const:

Из сравнения выражений (5) и (4) получаем

В частности, последнее условие будет выполнено, если

B0 pBq/2.

Практически это достигается путем изготовления полюсных наконечников специального вида (в форме усеченных конусов).

9.6.Индукционный ток. Квадратная проволочная рамка со стороной а

и прямой длинный проводник с постоянным током I0 лежат в одной плоскости (рис. 9.21). Индуктивность рамки L, ее сопротивле-

ние R. Рамку повернули на 180° вокруг оси OO и остановили. Найти количество электричества, протекшее в рамке. Расстояние b между осью OO и прямым проводником предполагается известным.

Решение. Согласно закону Ома в процессе поворота рамки ток I в ней определяется по формуле

Поэтому искомое количество электричества

q I dt 1 (d LdI ) 1 ( LI ).

R R

Поскольку рамку после поворота остановили, ток в ней прекратился и, следовательно, I 0. Остается выяснить, чему равно приращение потока Ф сквозь рамку ( Ф Ф2 – Ф1).

Выберем нормаль n к плоскости рамки, например, так, чтобы в конечном положении n было направлено за плоскость рисунка (в сторону В). Тогда нетрудно видеть, что в конечном положении Ф2 > 0, а в начальном Ф1 < 0 (нормаль направлена против В), иФ оказывается равным просто потоку через площадь, ограниченную конечным и начальным положениями рамки:

b a

2 1 Ba dr ,

b a

где В является функцией r, вид которой можно легко найти с помощью теоремы о циркуляции.

Окончательно получим, опуская знак минус:

q <0 aI0 ln b a .

R 2 R b a

Найденная величина, как видим, от индуктивности контура не зависит (в случае если бы контур был сверхпроводящим, дело бы обстояло иначе).

9.7.Перемычка 12 массы m скользит без трения по двум длинным проводящим рельсам, расположенным на расстоянии l друг от друга (рис. 9.22). Система находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура. Левые концы рель-

Решение. Выберем положительное направление нормали к плоскости контура за рисунок (от нас). Это значит, что положительное направление обхода контура (для э.д.с. индукции и тока) мы взяли по часовой стрелке — в соответствии с правилом правого винта. Из закона Ома следует:

где учтено, что при движении перемычки вправо dФ > 0.

Индукционный ток I согласно правилу Ленца вызывает противодействующую движению силу Ампера — она будет направлена влево.

Выбрав ось Х вправо, запишем уравнение движения перемычки

где справа записана проекция силы Ампера на ось Х (эта величина является отрицательной, но знак минус мы не пишем, ибо, как видно из (1), ток I < 0). Исключив I из уравнений (1) и (2), получим

dv/v – a dt, a B2l2/mR.

Интегрирование этого выражения с учетом начальных условий дает

9.8. Роль переходных процессов. В схеме (рис. 9.23) известны э.д.с. источника, его внутреннее сопротивление R и индуктивности сверхпроводящих катушек L1 и L2. Найти установившиеся токи в катушках после замыкания ключа K.

Решение. Воспользуемся правилами Кирхгофа

для контуров L1 и L2:

результату, а именно вместо 1/4 в круглых скобках получается 1/2. Чем тоньше центральный провод, т. е. больше отношение b/а, тем меньше относительное различие результатов подсчета обоими способами: энергетически и из потока.

9.10. Взаимная индукция. Имеется тороидальная катушка и проходящий по ее оси симметрии длинный прямой провод. Сечение катушки прямоугольное, его размеры указаны на рис. 9.25. Число витков катушки N, магнитная проницаемость окружающей среды равна единице. Найти амплитуду э.д.с., индуцируемой в этой катушке, если по прямому проводу течет переменный ток I = Imcos t.

Рис. 9.25

Решение. Искомая э.д.с. Ei = – dФ/dt, где Ф = NФ1, Ф1 — магнитный поток сквозь поперечное сечение катушки:

где Bn определяется с помощью теоремы о циркуляции вектора В. Взяв производную Ф1 по времени и умножив полученный результат на N, найдем следующее выражение для амплитуды э.д.с. индукции:

9.11.Вычисление взаимной индуктивности. Два соленоида одинаковой длины и практически одинакового сечения вставлены пол-

ностью один в другой. Индуктивность соленоидов L1 и L2 Пренебрегая краевыми эффектами, найти их взаимную индуктивность

(по модулю).

Решение. По определению взаимная индуктивность

где Ф1 — полный магнитный поток через все витки соленоида 1, если в соленоиде 2 течет ток I2. Поток Ф1 N1B2S, где N1 — число витков в соленоиде 1, S — сечение соленоида, В2 <<0n2I2. Поэтому формулу (1) можно переписать так (после сокращения на I2):

где учтено, что N1 п1l, l — длина соленоида и lS V — его объем. Выражение (2) можно представить через L1 и L2 следующим образом:

Заметим, что это выражение определяет предельное (максимальное) значение |L12|, вообще же |L12| < L1 L2 .

9.12.Теорема взаимности. В центре тонкой катушки радиусом а, содержащей N витков, находит-

ся небольшой цилиндрический магнит М (рис. 9.26). Катушка подключена к балли-

того как магнит быстро удалили из катушки, через гальванометр прошел заряд q. Найти магнитный момент магнита.

Решение. В процессе удаления магнита полный магнитный поток через катушку изменялся, и в ней возник индукционный ток, определяемый уравнением

RI d L dI . dt dt

Умножим обе части этого уравнения на dt и учтем, что I dt = dq, тогда

R dq – dФ – LdI.

Проинтегрировав последнее выражение, получим Rq – Ф – L I. Теперь примем во внимание, что I 0 (ток был равен нулю как в начале, так и в конце процесса), поэтому

где Ф — магнитный поток через катушку в начале процесса (знак минус мы опустили — он не существен).

Итак, задача свелась к определению потока Ф через катушку. Непосредственно определить эту величину мы не можем. Однако данную трудность можно преодолеть, воспользовавшись теоремой взаимности. Заменим мысленно магнит на небольшой виток с током, создающий в окружающем пространстве то же магнитное поле, что и магнит. Если площадь витка S и ток в нем I, то их произведение должно быть равно магнитному моменту рm магнита: pm = IS. По теореме взаимности L12I = L21I, и вопрос

сводится к нахождению магнитного потока через площадь S витка, который создает тот же ток I, но текущий в катушке. Считая, что в пределах витка поле однородное, получим

Остается подставить (2) в (1) и вспомнить, что IS = рm. Тогда q = = <0Npm/2aR и

pm 2aRq/<0N.