- •Содержание
- •Предисловие к 4-му изданию
- •Принятые обозначения
- •§ 1.1. Электрическое поле
- •§ 1.2. Теорема Гаусса
- •§ 1.3. Применения теоремы Гаусса
- •§ 1.4. Теорема Гаусса в дифференциальной форме
- •§ 1.5. Циркуляция вектора Е. Потенциал
- •§ 1.6. Связь между потенциалом и вектором Е
- •§ 1.7. Электрический диполь
- •Задачи
- •§ 2.1. Поле в веществе
- •§ 2.2. Поле внутри и снаружи проводника
- •§ 2.3. Силы, действующие на поверхность проводника
- •§ 2.4. Свойства замкнутой проводящей оболочки
- •§ 2.6. Электроемкость. Конденсаторы
- •Задачи
- •§ 3.1. Поляризация диэлектрика
- •§ 3.2. Поляризованность Р
- •§ 3.3. Свойства поля вектора Р
- •§ 3.4. Вектор D
- •§ 3.5. Условия на границе
- •§ 3.6. Поле в однородном диэлектрике
- •Задачи
- •§ 4.1. Электрическая энергия системы зарядов
- •§ 4.3. Энергия электрического поля
- •§ 4.4. Система двух заряженных тел
- •§ 4.5. Силы при наличии диэлектрика
- •Задачи
- •§ 5.1. Плотность тока. Уравнение непрерывности
- •§ 5.2. Закон Ома для однородного проводника
- •§ 5.3. Обобщенный закон Ома
- •§ 5.4. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа
- •§ 5.5. Закон Джоуля–Ленца
- •Задачи
- •§ 6.1. Сила Лоренца. Поле В
- •§ 6.2. Закон Био–Савара
- •§ 6.3. Основные законы магнитного поля
- •§ 6.5. Дифференциальная форма основных законов магнитного поля
- •§ 6.6. Сила Ампера
- •§ 6.8. Работа при перемещении контура с током
- •Задачи
- •§ 7.1. Намагничение вещества. Намагниченность J
- •§ 7.2. Циркуляция вектора J
- •§ 7.3. Вектор Н
- •§ 7.4. Граничные условия для В и Н
- •§ 7.5. Поле в однородном магнетике
- •§ 7.6. Ферромагнетизм
- •Задачи
- •§ 8.1. Электромагнитное поле. Инвариантность заряда
- •§ 8.2. Законы преобразования полей Е и В
- •§ 8.3. Следствия из законов преобразования полей
- •§ 8.4. Инварианты электромагнитного поля
- •Задачи
- •§ 9.1. Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца
- •§ 9.2. Природа электромагнитной индукции
- •§ 9.3. Явление самоиндукции
- •§ 9.4. Взаимная индукция
- •§ 9.5. Энергия магнитного поля
- •§ 9.6. Магнитная энергия двух контуров с токами
- •§ 9.7. Энергия и силы в магнитном поле
- •Задачи
- •§ 10.1. Ток смещения
- •§ 10.2. Система уравнений Максвелла
- •§ 10.3. Свойства уравнений Максвелла
- •§ 10.4. Энергия и поток энергии. Вектор Пойнтинга
- •§ 10.5. Импульс электромагнитного поля
- •Задачи
- •§ 11.1. Уравнение колебательного контура
- •§ 11.2. Свободные электрические колебания
- •§ 11.3. Вынужденные электрические колебания
- •§ 11.4. Переменный ток
- •Задачи
- •1. Единицы величин в СИ и системе Гаусса
- •3. Основные величины и единицы СИ
- •4. Греческий алфавит
- •5. Некоторые физические константы
- •Предметный указатель
80 |
Глава 3 |
|
|
В любой точке пространства поле E обусловлено как зарядом q, так и связанными зарядами поляризованного диэлектрика. Так как в нашем случае D 0E, то это относится и к полю вектора D: оно также определяется как сторонним зарядом q, так и связанными зарядами диэлектрика.
Удаление диэлектрика приведет к изменению поля Е, а значит, и поля D. Изменится и поток вектора Е сквозь поверхность S, так как внутри этой поверхности исчезнут отрицательные связанные заряды. Поток же вектора D сквозь поверхность S остается прежним, несмотря на изменение самого поля D.
Пример 3. Рассмотрим систему, в которой нет сторонних зарядов, но имеются только связанные заряды. Такой системой может быть, например, шар из электрета (см. сноску на с. 69). На рис. 3.6, а показано поле Е такой системы. Что можно сказать о соответствующем поле вектора D?
Прежде всего отсутствие сторонних зарядов означает, что нет источников поля D: линии вектора D нигде не начинаются и нигде не кончаются. Но поле D есть, оно показано на рис. 3.6, б. Вне шара направления линий векторов Е и D совпадают, внутри
же шара их направления противоположны: здесь соотношение D 0E уже несправедливо, и D 0E + P.
§ 3.5. Условия на границе
Рассмотрим поведение векторов E и D сначала на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Пусть для большей общности на границе раздела этих диэлектриков находится поверхностный сторонний заряд. Искомые условия нетрудно получить с помощью двух теорем: теоремы о циркуляции вектора Е и теоремы Гаусса для вектора D:
KE dl 0, KD dS qвнутр.
Электрическое поле в диэлектрике |
81 |
|
|
Условие для вектора Е. Пусть поле вблизи границы раздела в диэлектрике 1 равно Е1, а в диэлектрике 2 — Е2. Возьмем небольшой вытянутый прямоугольный контур, ориентировав его так, как показано на рис. 3.7.
Стороны контура, параллельные границе раздела, должны иметь такую длину, чтобы в ее пределах поле Е в каждом диэлектрике можно было считать одинаковым, а «высота» контура должна быть пренебрежимо малой. Тогда согласно теореме о циркуляции вектора Е
E20l + E10l 0,
где проекции вектора Е взяты на направление обхода контура, указанное на рисунке стрелками. Если на нижнем участке контура проекцию вектора Е взять не на орт t', а на общий орт t, то E10 = –E10 и из предыдущего уравнения следует, что
E10 E20, |
(3.22) |
т. е. тангенциальная составляющая Е оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела (не претерпевает скачка).
Условие для вектора D. Возьмем очень малой высоты цилиндр, расположив его на границе раздела двух диэлектриков (рис. 3.8). Сечение цилиндра должно быть таким, чтобы в пределах каждого его торца вектор D был одинаков. Тогда согласно теореме Гаусса для вектора D
D2n S D1n S S ,
где — поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Взяв обе проекции вектора D на общую нормаль n (она направлена от диэлектрика 1 к диэлектрику 2), получим D1n D1n , и предыдущее уравнение можно привести к виду
D2n – D1n . |
(3.23) |
|
|
82 |
Глава 3 |
|
|
Из этого соотношения видно, что нормальная составляющая вектора D, вообще говоря, претерпевает скачок при переходе границы раздела. Однако если сторонние заряды на границе раздела отсутствуют ( 0), то
D1n D2n. |
(3.24) |
В этом случае нормальные составляющие вектора D скачка не испытывают, они оказываются одинаковыми по разные стороны границы раздела.
Таким образом, если на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков сторонних зарядов нет, то при переходе этой границы составляющие Е0 и Dn не изменяются. Составляющие же Еn и D0 претерпевают скачок.
Преломление линий Е и D. Полученные нами условия для составляющих векторов Е и D на границе раздела двух диэлектриков означают, как мы сейчас увидим, что линии этих векторов испытывают на этой границе излом, преломляются (рис. 3.9). Найдем соотношение между углами 1 и 2.
Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то согласно (3.22) и (3.24) Е20 Е10, 2Е2n1Е1n . Из рис 3.9 следует, что
Рис. 3.9 |
tg 1 |
|
E20 |
/ E2 n |
. |
|
tg2 |
E10 |
/ E1n |
||
|
|
|
Отсюда с учетом предыдущих условий получаем закон преломления линий Е, а значит, и линий D:
tg 1 |
|
2 |
. |
(3.25) |
|
|
|||
tg2 |
|
1 |
|
Это означает, что в диэлектрике с большим значением линии Е и D будут составлять больший угол с нормалью к границе раздела (на рис. 3.9 2 > 1).
Пример. Изобразим графически поля Е и D у границы раздела двух однородных диэлектриков 1 и 2, считая, что 2 > 1 и что сто-
Электрическое поле в диэлектрике |
83 |
|
|
роннего заряда на этой поверхности нет.
Так как 2 > 1, то согласно (3.25) 2 > 1 (рис. 3.10).
Далее, из равенства тангенциальной составляющей вектора Е нетрудно сообразить с помощью рис. 3.9, что по модулю Е2 < Е1, т. е. линии век-
тора Е в диэлектрике 1 должны быть гуще, это и показано на рис. 3.10. Из равенства же нормальных составляющих вектора D также нетрудно заключить, что по модулю D2 > D1, т. е. линии вектора D должны быть гуще в диэлетрике 2.
Мы видим, что в нашем случае линии вектора Е испытывают преломление и, кроме того, терпят разрыв (из-за наличия связанных зарядов), линии же вектора D испытывают только преломление, без разрыва (так как сторонних зарядов на границе нет).
Условие на границе проводник — диэлектрик. Если среда
1 — проводник, а среда 2 — диэлектрик (см. рис. 3.8), то из формулы (3.23) следует, что
Dn , |
(3.26) |
|
|
где n — внешняя по отношению к проводнику нормаль (двойка в индексе здесь опущена, поскольку она не существенна в данном случае). Убедимся в справедливости формулы (3.26). В состоянии равновесия электрическое поле внутри проводника Е 0, значит, и поляризованность Р 0. А это, в свою очередь, означает согласно (3.17), что и вектор D 0 внутри проводника, т. е. в обозначениях формулы (3.23) D1 0 и D1n 0. Остает-
ся D2n .
Связанный заряд у поверхности проводника. Если к заряженному участку поверхности проводника прилегает однородный диэлектрик, то на границе этого диэлектрика с проводником выступают связанные заряды некоторой плотности (напомним, что для однородного диэлектрика объемная плотность связанных зарядов 0). Применим теперь теорему Гаусса к вектору Е — аналогично тому, как это было сделано при выводе