где учтено, что угол между элементом dl и радиусом-векто- ром r равен /2, поэтому синус равен единице. Интегрируя это выражение по всем dl (это дает 2 R) и учитывая, что

Отсюда следует, что в центре витка с током (z = 0) и на расстоянии z J R модуль вектора В равен соответственно

§ 6.3. Основные законы магнитного поля

Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами. Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основные законы магнитного поля.

Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля В. Как и любое другое векторное поле, поле В может быть представлено наглядно с помощью линий вектора В. Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора В, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора В в данном месте.

Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфигурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций.

А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса и теореме о циркуляции.

Теорема Гаусса для поля В. Поток вектора В сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой в постулативной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца.

Поэтому число линий вектора В, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.

Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именно: поток вектора В сквозь поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности

S. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора В: так как они нигде не прерываются, их число сквозь поверхность S, ограниченную данным контуром (т. е. поток вектора В), действительно не должно зависеть от формы поверхности S.

Закон (6.14) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, на которых начинались бы или заканчивались линии вектора В. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому.

Теорема о циркуляции вектора В (для магнитного поля постоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора В по произвольному контуру Г равна произведению <0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром Г:

где I Ik , причем Ik — величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным.

Это правило иллюстрирует рис. 6.5: здесь токи I1 и I3 положительные, ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого

Рис. 6.5 винта, а ток I2 — отрицательный. Теорема о циркуляции (6.15) может быть доказана исходя

из закона Био–Савара. В общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (6.15) как постулат, подтвержденный экспериментально.

Еще одно замечание. Если ток I в (6.15) распределен по объему, где расположен контур Г, то его можно представить как

Интеграл здесь берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур Г. Плотность тока j под интегралом соответствует точке, где расположена площадка dS, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему.

Итак, в общем случае уравнение (6.15) можно записать так:

Тот факт, что циркуляция вектора В, вообще говоря, не равна нулю, означает, что поле В не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым

или соленоидальным.

Так как циркуляция вектора В пропорциональна току I, охватываемому контуром, то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором В соотношением, аналогичным Е = –D . Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное <0I. Впрочем, в той области пространства, где токов нет, магнитный потенциал m вводят и достаточно эффективно используют.

Роль теоремы о циркуляции вектора В. Эта теорема играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса для векторов Е и D. Мы знаем, что поле В определяется всеми токами, циркуляция же вектора В только теми токами, которые охватывает данный контур. Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффективной, позволяя очень просто находить В.

Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора В можно свести, выбрав разумно контур, к произведению В (или Bl) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля В приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био–Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений, и расчет становится значительно сложнее.

Пример 2. Магнитное поле соленоида. Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность цилиндра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом. Пусть на единицу длины соленоида приходится п витков проводника. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.

Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнитного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще.

Из соображений симметрии ясно, что линии вектора В внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор В составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему.

Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнитного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный контур так, как показано на рис. 6.8. Циркуляция вектора В по данному контуру равна Вl, и контур охватыва-

ет ток nlI. Согласно теореме о циркуляции Вl = <0nlI, откуда следует, что внутри длинного соленоида

т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение пI называют числом ампервитков. При п = 2000 витков/м и I = 2 A магнитное поле внутри соленоида В = 5 мТл.

Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 6.9).

Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора В должны быть окружностя-

ми, центры которых расположе-

Рис. 6.9

ны на оси OO тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.

Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток NI, где N — число витков в тороидальной катушке; I — ток в проводе. Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции В•2 r = <0NI, откуда следует, что внутри тороида

Из сравнения (6.21) с (6.18) видно, что внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока NI, текущего вдоль оси OO . Устремив N и радиус тороида R к бесконечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (6.20) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида.

Если выбранный нами круглый контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает, поэтому для такого контура В•2 r = 0. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует.

В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось OO тороида. У реального тороида линии тока (витки) не лежат строго в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси OO . Эта составляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.

Пример 4. Магнитное поле плоскости с током. Рассмотрим безграничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно распределенный ток одного направления. На рис. 6.10 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено крестиками). Введем понятие линейной плотности тока

как вектор i, направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходящийся на единицу длины,

Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить, что результирующее поле В будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (см. рис. 6.10). Эти направления легко установить по правилу правого винта.