§4.3. Энергия электрического поля

Олокализации энергии. Формула (4.4) определяет электрическую энергию W любой системы через заряды и потенциалы. Но, оказывается, энергию W можно выразить также и через величину, характеризующую само электрическое поле, — через напряженность Е. Убедимся в этом сначала на простейшем примере плоского конденсатора, пренебрегая искажением поля

украев пластин (краевым эффектом). Подстановка в формулу W CU2/2 выражения С 0S/h дает

А поскольку U/h Е и Sh V (объем между обкладками конденсатора), то

Полученная формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем V.

В общей теории доказывается, что в случае неоднородного поля энергия W для изотропных диэлектриков определяется формулой

Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в объеме dV. Это подводит нас к весьма важной и плодотворной физической идее о локализации энергии в самом поле. Данное предположение нашло опытное подтверждение в области переменных во времени полей. Только там встречаются явления, которые можно истолковать на основе идеи о локализации энергии в поле. Именно переменные поля могут существовать независимо от возбудивших их электрических зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. И опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию — уже это заставляет нас признать, что носителем энергии является само поле.

где интегрирование проводится по замкнутой поверхности, совпадающей с одной из эквипотенциальных поверхностей. По теореме Гаусса этот интеграл равен заряду q на проводнике, и мы получим окончательно

W q /2,

что и требовалось доказать.

Рассмотрим два примера, иллюстрирующих возможности и преимущества, которые дает использование идеи о локализации энергии в поле.

Пример 1. Точечный заряд q находится в центре шарового слоя из однородного диэлектрика с проницаемостью . Внутренний и наружный радиусы слоя равны соответственно а и b. Найдем электрическую энергию, заключенную в данном диэлектрическом слое.

Мысленно выделим в диэлектрике очень тонкий концентрический сферический слой радиусом от r до r + dr. Энергия, локализованная в этом слое:

dW 0 E2 4 r 2 dr ,

2

где Е = q2/4 0 r2. Проинтегрировав предыдущее выражение по r от а до b, получим

Пример 2. Найдем работу, которую надо совершить против электрических сил, чтобы удалить диэлектрическую пластинку из плоского заряженного конденсатора. Предполагается, что заряд q конденсатора остается неизменным и диэлектрик заполняет все пространство между обкладками. Емкость конденсатора без диэлектрика равна С.

Работа против электрических сил в этой системе пойдет на приращение ее электрической энергии:

A W W2 – W1,

где W1 — энергия поля между обкладками конденсатора при наличии диэлектрика; W2 — то же, но при отсутствии диэлектрика. Имея в виду, что модуль вектора D не изме-

где V Sh и С 0S/h; S и h — площадь каждой обкладки и расстояние между ними.

Работа поля при поляризации диэлектрика. Анализируя формулу (4.10) для объемной плотности энергии, мы замечаем, что при одном и том же значении E величина w при наличии диэлектрика оказывается в раз больше, чем при отсутствии диэлектрика. На первый взгляд это кажется странным: ведь напряженность поля в обоих случаях мы поддерживаем одной и той же. Как мы сейчас увидим, все дело в том, что при создании поля в диэлектрике оно совершает дополнительную работу, связанную с поляризацией. И под энергией поля в диэлектрике следует понимать всю энергию, которую нужно затратить на возбуждение электрического поля, а она складывается из собственной электрической энергии и той дополнительной работы, которая совершается при поляризации диэлектрика.

Чтобы в этом убедиться, подставим в (4.10) вместо D величину 0E + Р, тогда

22

Первое слагаемое здесь совпадает с плотностью энергии поля Е в вакууме. Остается проверить, что «дополнительная» энергия ЕР/2 связана с поляризацией диэлектрика.

Подсчитаем работу, которую совершает электрическое поле на поляризацию единицы объема диэлектрика, т. е. на смещение зарядов и соответственно по и против поля — при возрастании напряженности от Е до Е + dE. Пренебрегая членами второго порядка малости, запишем

A Edl Edl ,

где dl+ и dl– — дополнительные смещения при увеличении поля на dE (рис. 4.3). Учитывая, что , получаем

A (dl dl )E dl)E ,