новим с помощью вектора Пойнтинга П, где находится источник тока (генератор), слева или справа?

В нашем случае между проводами вектор Е направлен вниз, а вектор Н — за плоскость рисунка, поэтому вектор П = [ЕН] направлен вправо, т. е. источник тока находится слева, потребитель — справа.

Пример 4. Зарядка конденсатора. Возьмем плоский конденсатор с круглыми обкладками радиусом а. Пренебрегая краевыми эффектами (рассеянием поля), найдем поток электромагнитной энергии сквозь боковую «поверхность» конденсатора, ибо только там вектор Пойнтинга П направлен внутрь конденса-

тора (рис. 10.9).

Рис. 10.9 На этой поверхности имеется меняющееся электрическое поле Е и вызванное его изменением магнитное поле Н. По теореме о циркуляции

вектора Н следует, что 2 аН а2дD/дt, где справа стоит ток смещения через контур, показанный на рис. 10.9 пунктиром. Отсюда Н (а/2)дD/дt. Если расстояние между обкладками h, то поток вектора П сквозь боковую поверхность есть

где V а2h — объем конденсатора. Будем считать, что этот поток идет целиком на увеличение энергии конденсатора. Тогда, умножив (1) на dt, получим приращение энергии конденсатора за время dt:

Проинтегрировав это уравнение, найдем формулу для энергии W заряженного конденсатора. Таким образом, и здесь оказывается все в порядке.

§ 10.5. Импульс электромагнитного поля

Давление электромагнитной волны. Максвелл теоретически показал, что электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на которые они падают, оказывают на них давление. Это давление возникает в результате воздействия маг-

нитного поля волны на электрические токи, возбуждаемые электрическим полем той же волны.

Пусть электромагнитная волна распространяется в однородной среде, обладающей поглощением. Наличие поглощения означает, что в среде будет выделяться джоулева теплота с объемной плотностью j2 Е2, а поэтому ; 0, т. е. поглощающая среда обладает проводимостью.

Электрическое поле волны в такой среде возбуждает электрический ток с плотностью j Е. Вследствие этого на единицу объема среды действует амперова сила плотности Fед [jB] [EB], направленная в сторону распространения волны (рис. 10.10). Эта сила и вызывает давление электромагнитной волны.

При отсутствии поглощения проводимость 0 и Fед 0, т. е. в этом случае электромагнитная волна не оказывает никакого давления на среду.

Импульс электромагнитного поля. Поскольку электромагнитная волна оказывает давление на вещество, последнее приобретает определенный импульс. Но в замкнутой системе, состоящей из вещества и электромагнитной волны, возникло бы нарушение закона сохранения импульса, если бы импульсом обладало только вещество.

Импульс такой системы может сохраняться лишь при условии, что электромагнитное поле (волна) также обладает импульсом: вещество приобретает импульс за счет импульса, передаваемого ему электромагнитным полем.

Введем понятие плотности импульса G электромагнитного поля как величину, численно равную импульсу поля в единице объема. Расчет, который мы не будем здесь приводить, показы-

где П [EH] — вектор Пойнтинга. Как и вектор П, плотность импульса G является, вообще говоря, функцией времени и координат.

280 Глава 10

Для электромагнитной волны в вакууме согласно (10.20) 0 E <0 H, поэтому плотность энергии w и модуль П вектора Пойнтинга равны соответственно:

w 0 E2 /2 <0 H 2 /2 0 E2 , П = EH = 0 /<0 E2 .

Отсюда следует, что П = w/ 0 <0 . А так как 0 <0 1/c, с — скорость света в вакууме, то П = wc, и из формулы (10.24) вытекает, что для электромагнитной волны в вакууме

Такая же связь между энергией и импульсом присуща (как показывается в теории относительности) частицам с нулевой массой покоя. Это и естественно, поскольку согласно квантовым представлениям электромагнитная волна эквивалентна потоку фотонов — частиц с нулевой массой покоя.

Еще о давлении электромагнитных волн. Вычислим с помощью формулы (10.25) давление электромагнитной волны на тело, когда волна падает нормально на его поверхность и частично отражается в противоположном направлении. Согласно закону сохранения импульса р0 р0 р, где р0, р0 — импульсы

p p0 p0 pGqc + pG qc,

где pGq и pG q — средние значения плотности импульса в падающей и отраженной волнах. Остается учесть связь (10.25) между pGq и pwq и тот факт, что pw q pwq, где — коэффициент отражения. В результате предыдущее выражение примет вид

Здесь величина р по своему смыслу есть не что иное, как давление электромагнитной волны на тело. При полном отра-

жении 1 и давление p 2pwq, при полном поглощении 0 и

р pwq.

Остается добавить, что давление электромагнитного излучения обычно бывает очень малым (исключение составляет давление мощных пучков лазерного излучения, особенно после фокусировки пучка, а также давление излучения внутри горячих звезд). Например, давление солнечного излучения на Земле составляет несколько единиц на 10–6 Па, что в 1010 раз меньше атмосферного давления. Несмотря на ничтожные значения этих величин, экспериментальное доказательство существования электромагнитных волн — светового давления — было получено П. Н. Лебедевым. Результаты этих опытов оказались в согласии с электромагнитной теорией света.

Задачи

10.1.Ток смещения. Точечный заряд q движется равномерно и прямолинейно с нерелятивистской скоростью v. Найти вектор плотности тока смещения в точке Р, находящейся на расстоянии r от заряда на прямой: 1) совпадающей с его траекторией; 2) перпендикулярной его траектории и проходящей через заряд.

Решение. Плотность тока смещения jсм дD/дt, поэтому решение

задачи сводится к определению вектора D в указанных точках и нахождению его производной по времени. В обоих случаях D qer/4 r2, где еr — орт вектора r. Найдем производную дD/дt.

1. В точке P1 (рис. 10.12, где предполагается, что q > 0)

Итак, если q > 0, вектор jсм v, и наоборот.

2. В точке P2 (рис. 10.12) |dD|/D = v dt/r, поэтому:

D/ t – qv/4 r3.

Если q > 0, то jсм v, и наоборот.

10.2.Ток, текущий по длинному прямому соленоиду, радиус сечения

которого R, меняют так, что магнитное поле внутри соленоида возрастает со временем по закону В =t2, где = — постоянная.

Найти плотность тока смещения как функцию расстояния r от оси соленоида.

Решение. Чтобы определить плотность тока смещения, надо согласно (10.5) сначала найти напряженность электрического поля — здесь оно будет вихревым. Воспользовавшись уравнением Максвелла для циркуляции вектора Е, запишем:

2 rE r2 B/ t, E r=t (r < R);

2 rE r2 B/ t, E R2=t/r (r > R).

Теперь по формуле jсм 0дЕ/дt найдем плотность тока смещения:

jсм 0=r (r < R);

jсм 0=R2/r (r > R).

Рис. 10.13

График зависимости jсм(r) показан на рис. 10.13.

10.3.Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения. Пренебрегая краевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.

Решение. Магнитное поле будет отсутствовать, потому что полный ток (ток проводимости плюс ток смещения) равен нулю. Это

и надо показать. Обратимся к плотности тока. Пусть в некоторый момент плотность тока проводимости равна j. Ясно, что j T D, причем D n, где — поверхностная плотность заряда на положительно заряженной обкладке; n — нормаль (рис. 10.14).

Наличие тока проводимости приводит к уменьшению поверхностной плотности заряда , а следовательно, и D — ток проводимости будет сопровождаться током смещения. Плотность последнего

jсм D/ t ( / t)n – jn – j.

Отсюда следует, что действительно

jполн j jсм 0.

10.4.Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью и диэлектрической проницаемостью . Пренебрегая краевыми эффектами, найти модуль вектора Н между обкладками на расстоянии r от их оси, если напряженность электрического поля между обкладками меняется со временем по закону Е Em cos t.

Решение. Из уравнения Максвелла для циркуляции вектора Н следует, что

2 rH ! jn 0 En r 2 .t #

Принимая во внимание закон Ома jn = Еп(t), получим

Преобразуем выражение в скобках к косинусу. Для этого умно-

10.5.Точечный заряд q движется в вакууме равномерно и прямолинейно с нерелятивистской скоростью v. Воспользовавшись уравнением Максвелла для циркуляции вектора Н, получить выражение для Н в точке Р, положение которой относительно заряда характеризуется

где R — радиус окружности.

Найдем поток вектора D сквозь поверх-

ность, ограниченную этой окружно-

Рис. 10.16

Поэтому

D E = – [wB].

10.7.Вектор Пойнтинга. Протоны, имеющие одинаковую скорость v, образуют пучок круглого сечения с током I. Найти направление и модуль вектора Пойнтинга П вне пучка на расстоянии r от его оси.

Решение. Из рис. 10.19 видно, что П v. Найдем модуль вектора П: П EH, где Е и H зависят от r. По теореме Гаусса

2 rE / 0,

где — заряд на единицу длины пучка. Кроме того, по теореме о цир-

Определяя Е и Н из последних двух уравнений и учитывая, что I v, получаем

ПEH I2/4 2 0vr2.

10.8.Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, увеличивают. Показать, что скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность.

Решение. При возрастании тока увеличивается магнитное поле в соленоиде, а значит, появляется вихревое электрическое поле. Пусть радиус сечения соленоида равен а. Тогда напряженность вихревого электрического поля у боковой поверхности соленоида можно определить с помощью уравнения Максвелла, выражающего закон электромагнитной индукции:

Поток энергии через боковую поверхность соленоида можно представить в таком виде:

где l — длина соленоида, а2l — его объем.

Из сопоставления (4) и (5) следует, что

Ф UI.

Это совпадает со значением мощности, выделяемой на нагрузке.

10.10.Плоский воздушный конденсатор, пластины которого имеют форму дисков радиусом а, подключен к источнику переменного гармонического напряжения частоты . Найти отношение максимальных значений магнитной и электрической энергии внутри конденсатора.

Рeшение. Пусть напряжение на конденсаторе меняется по зако-

ну U Um cos t и расстояние между пластинами конденсатора равно h. Тогда электрическая энергия конденсатора

Магнитную энергию определим по формуле

Необходимую для вычисления этого интеграла величину В найдем из теоремы о циркуляции вектора Н: 2 rН r2дD/дt.

Отсюда, имея в виду, что Н В/<0 и дD/дt – 0 (Um/h) sin t, получим

Остается подставить (3) в (2), где в качестве dV надо взять элементарный объем в виде кольца, для которого dV = 2 r dr · h. В результате интегрирования найдем

Отношение максимальных значений магнитной энергии (4) и электрической энергии (1) таково:

Например, при а 6 см и 1000 с–1 это отношение равно 5•10–15.