Общие выводы. Полученные в этих примерах результаты можно было бы найти и непосредственно интегрированием с помощью формулы (1.5). Однако, как можно было убедиться, использование теоремы Гаусса позволило нам решать эти задачи несравненно более простым путем.

Простота, с которой были решены рассмотренные задачи, может создать иллюзорное впечатление о силе метода, основанного на применении теоремы Гаусса, и о возможности находить с помощью этой теоремы решения многих других задач. К сожалению, это не так. Число задач, легко решаемых с помощью теоремы Гаусса, весьма ограничено. Уже при решении задачи о нахождении поля такого симметричного распределения заряда, как у равномерно заряженного диска, теорема Гаусса оказывается бессильной. В этом случае конфигурация поля достаточно сложная, и замкнутой поверхности, обладающей необходимой для простоты вычисления потока вектора Е формой, здесь нет.

Использование теоремы Гаусса для расчета полей эффективно лишь в тех случаях, где поле обладает специальной симметрией (чаще всего плоской, цилиндрической или сферической). Симметрия, а следовательно, и конфигурация поля должны быть такими, чтобы, во-первых, можно было найти достаточно простую замкнутую поверхность S и, во-вторых, вычисление потока вектора Е свести к простому умножению Е (или En) на площадь поверхности S или ее часть. Если этого нет, задачу о нахождении поля приходится решать или непосредственно с помощью формулы (1.5), или с помощью других методов, с которыми мы познакомимся ниже.

§ 1.4. Теорема Гаусса в дифференциальной форме

Замечательное свойство электрического поля, которое выражает собой теорема Гаусса, побуждает представить эту теорему в иной форме, расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета.

В отличие от формулы (1.7) — ее называют интегральной — мы будем искать дифференциальную форму теоремы Гаусса, в которой устанавливается связь между объемной плотностью заряда и изменениями напряженности Е в окрестности данной точки пространства.

Для этого представим сначала заряд q в объеме V, охватыва-

емом замкнутой поверхностью S, как qвнутр U VV, где U V — среднее по объему V значение объемной плотности заряда. За-

тем подставим это выражение в уравнение (1.7) и разделим обе части его на V. В результате получим

Теперь устремим объем V к нулю, стягивая его к интересующей нас точке поля. Очевидно, при этом p q будет стремиться к значению в данной точке поля, а значит, отношение в левой части уравнения (1.15) будет стремиться к / 0.

Величину, являющуюся пределом отношения KE dS к V при V 0, называют дивергенцией поля Е и обозначают div Е. Таким образом, по определению

Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из определения (1.16) следует, что дивергенция является скалярной функцией координат.

Чтобы получить выражение для дивергенции поля Е, надо согласно (1.16) взять бесконечно малый объем V, определить поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, охватывающую этот объем, и найти отношение этого потока к объему. Полученное выражение для дивергенции будет зависеть от выбора системы координат (в разных системах координат оно оказывается разным). Например, в декартовой системе координат

Итак, мы выяснили, что при V 0 в выражении (1.15) его правая часть стремится к / 0, а левая — к div Е. Следовательно, дивергенция поля Е связана с плотностью заряда в той же точке уравнением

Это уравнение и выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме.

Написание многих формул и действия с ними значительно упрощаются, если ввести векторный дифференциальный оператор D («набла»). В декартовых координатах он имеет вид

где i, j, k — орты осей X, Y, Z. Сам по себе вектор D смысла не имеет. Он приобретает смысл только в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую символически умножается. Так, например, если вектор D умножить скалярно на вектор Е, то получим

а это есть не что иное, как div Е, согласно (1.17).

Таким образом, дивергенция поля Е может быть записана как div Е или D · Е (в обоих случаях читается как «дивергенция Е»). Мы будем пользоваться вторым, более удобным обозначением. Тогда, например, теорема Гаусса (1.18) будет иметь вид

Вдифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция поля Е в данной точке зависит только от плотности электрического заряда в той же точке и больше ни от чего. Это одно из замечательных свойств электрического поля. Например, в разных точках поля точечного заряда поле Е отличается друг от друга. Это же относится, вообще

говоря, и к пространственным производным дЕx/дх, дЕy/ду,

дЕz/дz. Однако, как утверждает теорема Гаусса, сумма этих производных, которая определяет дивергенцию Е, оказывается

во всех точках поля (вне самого заряда) равной нулю.

Втех точках поля, где дивергенция Е положительна, мы имеем источники поля (положительные заряды), а в тех точ-

ках, где она отрицательна, — стоки (отрицательные заряды). Линии вектора Е выходят из источников поля, а в местах стоков они заканчиваются.

26 Глава 1

(b)

где — интеграл по тому же участку b, но в обратном направ-

21

лении. Поэтому

что и требовалось доказать.

Поле, обладающее свойством (1.22), называют потенциальным. Значит, любое электростатическое поле является потенциальным.

Теорема о циркуляции вектора Е позволяет сделать ряд важных выводов, практически не прибегая к расчетам. Вот два примера.

Пример 1. Линии электростатического поля Е не могут быть замкнутыми.

В самом деле, если это не так и какая-то линия вектора Е замкнута, то взяв циркуляцию вектора Е вдоль этой линии, мы сразу же придем к противоречию с теоремой (1.22). Значит, действительно, в электростатическом поле замкнутых линий вектора Е не существует: линии начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных (или уходят в бесконечность),

Пример 2. Возможна ли конфигурация электростатического поля как на рис. 1.12?

Нет, невозможна. Это сразу станет ясно, если мы приме-

рисунка сразу видно, что вклады в циркуляцию на этих участках противоположны по знаку, но не одинаковы по модулю (на верхнем участке больше, ибо линии гуще, а значит, Е больше). Поэтому циркуляция оказывается отличной от нуля, что противоречит (1.22).

Потенциал. До сих пор мы рассматривали описание электрического поля с помощью вектора Е. Существует, однако, и другой адекватный способ описания — с помощью потенциала(заметим сразу, что оба эти способа однозначно соответствуют друг другу). Как мы увидим, второй способ обладает рядом существенных преимуществ.

Тот факт, что линейный интеграл (1.21), представляющий собой работу сил поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути между этими точками, позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат (r), убыль которой

где 1 и 2 — значения функции в точках 1 и 2. Так определенная величина (r) называется потенциалом поля. Из сопоставления выражения (1.23) с выражением для работы сил потенциального поля (которая равна убыли потенциальной энергии частицы в поле) можно сказать, что потенциал — это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля.

Потенциалу какой-либо произвольной точки О поля можно условно приписать любое значение 0. Тогда потенциалы всех других точек поля определяются согласно (1.23) однозначно. Если изменить 0 на некоторую величину , то на такую же величину изменятся и потенциалы во всех других точках поля.

Таким образом, потенциал определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Значение этой постоянной не играет роли, так как все электрические явления зависят только от напряженности электрического поля. Последняя же определяется, как мы увидим, не самим потенциалом в данной точке поля, а разностью потенциалов в соседних точках поля.

Единицей потенциала является вольт (В).

Потенциал поля точечного заряда. Формула (1.23) содержит не только определение потенциала , но и способ нахождения этой функции. Для этого достаточно вычислить интеграл Е dl

по любому пути между двумя точками и представить затем полученный результат в виде убыли некоторой функции, которая и есть (r). Можно поступить и проще. Воспользуемся тем, что формула (1.23) справедлива не только для конечных перемещений, но и для элементарных dl. Тогда согласно этой формуле элементарная убыль потенциала на этом перемещении есть

Другими словами, если известно поле Е (r), то для нахождения надо представить Е dl (путем соответствующих преобразований) как убыль некоторой функции. Эта функция и есть .

Найдем таким способом потенциал поля неподвижного точечного заряда:

где учтено, что erdl = 1 · (dl)r , ибо проекция вектора dl на вектор еr , а значит, и на r равна приращению модуля вектора r, т. е. dr. Величина, стоящая в круглых скобках под знаком дифференциала, и есть (r). Так как присутствующая здесь аддитивная константа никакой физической роли не играет, ее обычно опускают, стремясь выражение для сделать проще. Таким образом, потенциал поля точечного заряда

Отсутствие в этом выражении аддитивной константы означает, что мы условно полагаем потенциал на бесконечности (r %) равным нулю.

Потенциал поля системы зарядов. Пусть система состоит из неподвижных точечных зарядов q1, q2,... Согласно принципу суперпозиции в любой точке поля напряженность Е Е1 + Е2 + + ..., где Е1 — напряженность поля заряда q1 и т. д. Тогда можно записать, используя формулу (1.24):

E dl (E1+E2+...)dl E1dl+E2dl+... – d 1– d 2 – ... – d&