§ 1.6. Связь между потенциалом и вектором Е

ствующую на интересующий нас заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля при каком угодно перемещении заряда и др. А что дает введение потенциала? Прежде всего, оказывается, зная потенциал (r) данного электрического поля, можно достаточно просто восстановить и само поле Е(r). Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Связь между и Е можно установить с помощью уравнения (1.24). Пусть перемещение dl параллельно оси X, тогда dl i dx, где i — орт оси X, dx — приращение координаты х,

Е dl E i dx Еx dx,

где Ех — проекция вектора Е на орт i (а не на перемещение dl). Сопоставив последнее выражение с формулой (1.24), получим

где символ частной производной подчеркивает, что функцию(х, у, z) надо дифференцировать только по х, считая у и z при этом постоянными.

Рассуждая аналогично, можно получить соответствующие выражения для проекций Еy и Еz. А определив Еx, Еy, Ez, легко найти и сам вектор Е:

Величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент потенциала (grad или D ). Мы будем пользоваться вторым, более удобным обозначением и рассматривать формально D как произведение символического вектора D на . Тогда уравнение (1.30) можно представить в более компактной форме:

т. е. напряженность Е поля равна со знаком минус градиенту потенциала. Это и есть та формула, с помощью которой можно восстановить поле Е, зная функцию (r).

Пример. Найти напряженность Е поля, потенциал которого имеет вид: 1) (х, у) = – аху, а — постоянная, 2) (r) = – аr, а — постоянный вектор, r — радиус-вектор интересующей нас точки поля.

1.Воспользовавшись формулой (1.30), получим Е = a(yi + xj).

2.Представим сначала функцию как = –аxх – ауy – аzz,

где аx, aу, аz — постоянные. После этого с помощью формулы (1.30) найдем E = axi + ayj + azk = a. Видно, что поле Е является в данном случае однородным.

Получим еще одну полезную формулу. В соотношении (1.24) запишем правую часть как E dl Eldl, где dl |dl| — элементарный путь; El — проекция вектора Е на перемещение dl. Отсюда

т. е. проекция вектора Е на направление перемещения dl равна со знаком минус производной потенциала по данному направлению (это подчеркнуто символом частной производной).

Эквипотенциальные поверхности. Введем понятие эквипотенциальной поверхности — поверхности, во всех точках которой потенциал имеет одно и то же значение. Убедимся в том, что вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала . В самом деле, из формулы (1.32) следует, что проекция вектора Е на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. А это значит, что вектор Е нормален к данной поверхности. Далее, возьмем перемещение dl по нормали к поверхности в сторону уменьшения , тогда д < 0 и согласно (1.32) El > 0, т. е. вектор Е направлен в сторону уменьшения , или в сторону, противоположную вектору D .

Эквипотенциальные поверхности наиболее целесообразно проводить так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы одинаковой. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще («круче потенциальный рельеф»), там напряженность поля больше.

Далее, ввиду того, что вектор Е всюду нормален к эквипотенциальной поверхности, линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

На рис. 1.13 показана двухмерная картина электрического поля: пунктиром — эквипотенциали, сплошными линиями — линии вектора Е. Такое изображение придает большую наглядность. Сразу же видно, в какую сторону направлен вектор Е, где напряженность больше, где меньше, где больше крутизна потенциального рельефа. С помощью таких картин можно получить и качественные ответы на

Рис. 1.13 ряд вопросов: куда начнет двигаться заряд при помещении его в ту или иную точку, где больше градиент потенциала (по модулю), в какой

точке поля на заряд будет действовать большая сила и др.

О преимуществах потенциала. Ранее было отмечено, что электростатическое поле исчерпывающим образом характеризуется векторной функцией Е (r). Какая же польза от введения потенциала? Существует несколько весомых причин, убедительно свидетельствующих о том, что потенциал — понятие действительно весьма полезное, и не случайно, что этим понятием широко пользуются не только в физике, но и в технике.

1. Зная потенциал (r), можно предельно просто вычислить работу сил поля при перемещении точечного заряда q из точки 1 в точку 2:

где 1 и 2— потенциалы в точках 1 и 2. Значит, искомая работа равна убыли потенциальной энергии заряда q в поле при перемещении его из точки 1 в точку 2. Расчет работы сил поля по формуле (1.33) оказывается не только проще, но в некоторых случаях и единственно возможным.

Пример. Заряд q распределен по тонкому кольцу радиусом а. Найти работу сил поля при перемещении точечного заряда q из центра кольца на бесконечность.

Так как неизвестно, как распределен заряд q по кольцу, то ничего нельзя сказать о напряженности Е поля этого заряда.