§ 7.4. Граничные условия для В и Н

Речь идет об условиях для векторов В и Н на границе раздела двух однородных магнетиков. Эти условия, как и в случае диэлектрика, мы получим с помощью теоремы Гаусса и теоремы о циркуляции. Для векторов В и Н эти теоремы, напомним, имеют вид

Условие для вектора В. Представим себе очень малой высоты цилиндрик, расположенный на границе раздела магнетиков, как показано на рис. 7.7. Тогда поток вектора В наружу из этого цилиндрика (потоком через боковую

поверхность пренебрегаем) можно за-

Рис. 7.7

писать так:

B2n S + B1n S 0.

Взяв обе проекции вектора В на общую нормаль n, получим В1n = –В1n, и предыдущее уравнение после сокращения на S примет следующий вид:

т. е. нормальная составляющая вектора В оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела. Эта величина скачка не испытывает.

Условия для вектора Н. Для большей общности будем предполагать, что вдоль поверхности раздела магнетиков течет поверхностный ток проводимости с линейной плотностью i. Применим теорему о циркуляции вектора Н к очень малому прямоугольному контуру, высота которого пренебрежимо мала по сравнению с его длиной l, расположив этот контур так, как по-

казано на рис. 7.8. Пренебрегая вкладом в циркуляцию на боковых сторонах контура, запишем для всего контура:

где iN — проекция вектора i на нормаль N к контуру (вектор N образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему). Взяв обе проекции вектора Н на общий орт касательной t (в среде 2), получим Н10 = –Н10, и после сокращения на l предыдущее уравнение примет вид

т. е. тангенциальная составляющая вектора Н, вообще говоря, при переходе границы раздела магнетиков претерпевает скачок, связанный с наличием поверхностных токов проводимости.

Однако если на границе раздела магнетиков токов проводимости нет (i = 0), то тангенциальная составляющая вектора Н оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела:

Итак, если на границе раздела двух однородных магнетиков тока проводимости нет, то при переходе этой границы составляющие Вn и Н0 изменяются непрерывно, без скачка. Составляющие же В0 и Нn при этом претерпевают скачок.

Заметим, что на границе раздела вектор В ведет себя аналогично вектору D, а вектор Н — аналогично вектору Е.

Преломление линий вектора В. На границе раздела двух магнетиков линии вектора В испытывают преломление (рис. 7.9). Как и в случае диэлектриков, найдем отношение тангенсов углов 1 и 2:

Ограничимся случаем, когда на границе раздела тока проводимости нет. В этом случае согласно (7.22) и (7.20):

B20/<2 B10/<1, B2n B1n.

С учетом последних соотношений получим аналогичный (3.25) закон преломления линий В (а значит, и линий Н):

На рис. 7.10 изображено поле векторов В и Н вблизи границы раздела двух магнетиков (при отсутствии токов проводимости). Здесь <2 > <1; из сравнения густоты линий видно, что В2 > В1, а Н2 < Н1. Линии В не терпят разрыва при переходе границы, линии же Н терпят разрыв (из-за поверхностных токов намагничивания).

На преломлении магнитных линий основана магнитная защита. При внесении, например, замкнутой железной оболочки (слоя) во внешнее магнитное поле линии этого поля будут концентрироваться (сгущаться) преимущественно в самой оболочке. Внутри же этой оболочки — в полости — магнитное поле оказывается сильно ослабленным по сравнению с внешним полем. Другими словами, железная оболочка обладает экранирующим действием. Это используют для предохранения чувствительных приборов от внешних магнитных полей.

190 Глава 7

§ 7.5. Поле в однородном магнетике

Как уже было отмечено в § 7.1, нахождение результирующего магнитного поля В при наличии произвольных магнетиков представляет собой, вообще говоря, весьма сложную задачу. Действительно, для этого необходимо согласно (7.1) к полю В0 токов проводимости добавить макрополе В , создаваемое токами намагничивания. Неприятность состоит в том, что нам заранее не известна конфигурация токов намагничивания. Мы можем лишь утверждать, что распределение этих токов зависит от природы и конфигурации магнетика, а также от конфигурации внешнего поля В0 — поля токов проводимости. А поскольку мы не знаем распределения токов намагничивания, мы не можем рассчитать и поле В .

Исключение составляет случай, когда все пространство, где имеется поле В, заполнено однородным изотропным магнетиком. Рассмотрим этот случай более подробно. Но прежде всего обратимся к явлениям, возникающим при протекании тока проводимости по однородному проводнику в вакууме. Так как каждый проводник является магнетиком, то в нем будут протекать и токи намагничивания — объемные согласно (7.18) и поверхностные. Возьмем контур, охватывающий наш проводник с током. По теореме о циркуляции вектора J (7.5), поскольку во всех точках контура J 0, алгебраическая сумма токов намагничивания (объемных и поверхностных) равна нулю: I Iоб Iпов

сюда I об I пов , т. е. объемные и поверхностные токи намагничивания равны и противоположны по направлению.

Таким образом, можно утверждать, что в обычных случаях, когда токи текут по достаточно тонким проводам, магнитное поле в окружающем пространстве (в вакууме) зависит только от токов проводимости, ибо поля от токов намагничивания компенсируют друг друга.

Теперь заполним окружающее проводник пространство однородным непроводящим магнетиком (пусть для конкретности это будет парамагнетик, ? > 0). На границе этого магнетика с проводом появится поверхностный ток намагничивания I , имеющий, как нетрудно сообразить, то же направление, что и ток проводимости I (это при ? > 0).

Врезультате мы будем иметь ток проводимости I, объемный

иповерхностный токи намагничивания в проводнике (магнитные поля этих токов компенсируют друг друга, поэтому их можно не учитывать в дальнейшем) и поверхностный ток намагничивания I на непроводящем магнетике. При достаточно тонких проводах магнитное поле В в магнетике будет определяться как поле тока I + I .

Таким образом, задача сводится к нахождению тока I . С этой целью окружим проводник контуром, расположенном в поверхностном слое непроводящего магнетика. Пусть плоскость контура перпендикулярна оси провода, т. е. токам намагничивания. Тогда, принимая во внимание (7.7) и (7.14), можно записать:

I Ki dl KJdl ?KHdl.

Отсюда согласно (7.12) следует, что I I.

Конфигурации тока намагничивания I и тока проводимости I практически совпадают (провода тонкие), поэтому индукция В поля токов намагничивания отличается от индукции В0 поля токов проводимости во всех точках только по модулю и эти векторы связаны друг с другом так же, как и соответствующие

Это значит, что В при заполнении пространства однородным магнетиком возрастает в < раз. Иначе говоря, величина < показывает, во сколько раз увеличивается магнитная индукция В при заполнении магнетиком всего пространства, занимаемого полем.

Если разделить обе части равенства (7.25) на <<0, то получим

(в рассматриваемом случае поле Н оказывается таким же, как и в вакууме).

Формулы (7.24)–(7.26) справедливы и в тех случаях, когда однородный магнетик заполняет весь объем, ограниченный поверхностями, которые образованы линиями вектора В0 (поля тока проводимости). И в этих случаях магнитная индукция В внутри магнетика будет в < раз больше В0.

В указанных случаях магнитная индукция В поля токов намагничивания связана простым соотношением с намагниченностью J магнетика:

В других случаях, как уже было сказано, дело обстоит значительно сложнее, и формулы (7.24)–(7.27) оказываются не справедливыми. В заключение рассмотрим два простых примера.

Пример 1. Поле В в соленоиде. Пусть соленоид, имеющий пI ам- пер-витков на единицу длины, заполнен однородным магнетиком с магнитной проницаемостью < > 1. Найдем магнитную индукцию В поля в магнетике.

При отсутствии магнетика согласно (6.20) внутри соленоида магнитная индукция B0 <0пI. Так как магнетик заполняет все пространство, где поле отлично от нуля (краевыми эффектами мы пренебрегаем), то магнитная индукция В должна быть в < раз больше:

В этом случае поле вектора Н остается тем же, что и при отсутствии магнетика, т. е. Н Н0.

Изменение поля В вызвано появлением токов намагничивания, обтекающих поверхность магнетика в том же направлении, что и ток проводимости в обмотке соленоида, это при < > 1. Если же < < 1, то направления указанных токов будут противоположными.

Полученные результаты справедливы и в случае, когда магнетик имеет вид очень длинного стержня, расположенного внутри соленоида параллельно его оси.

Пример 2. Поле прямого тока при наличии магнетика. Предположим, что магнетик заполняет длинный цилиндр радиусом а, вдоль оси которого течет заданный ток I. Проницаемость