§ 4.4. Система двух заряженных тел

ряженных тел (W1 и W2), последний интеграл — энергию их взаимодействия (W12).

Отметим следующие важные обстоятельства в связи с формулой (4.14).

1.Собственная энергия каждого заряженного тела — величина существенно положительная. Положительной является всегда и полная энергия (4.9) — это сразу видно из того, что под интегралом находятся существенно положительные величины. Энергия же взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной.

2.При всех возможных перемещениях заряженных тел, не изменяющих конфигурации зарядов на каждом теле, собственная энергия тел остается постоянной, и поэтому ее можно считать аддитивной постоянной в выражении для полной энергии W. В этих случаях изменения W определяются всецело только

изменениями взаимной энергии W12. В частности, именно так ведет себя энергия системы двух точечных зарядов при измене-

нии расстояния между ними.

3.В отличие от вектора Е энергия электрического поля — величина не аддитивная, т. е. энергия поля Е, являющегося суммой полей Е1 и Е2, вообще говоря, не равна сумме энергий

обоих полей из-за взаимной энергии W12. В частности, при возрастании всюду Е в п раз энергия поля увеличивается в п2 раз.

§ 4.5. Силы при наличии диэлектрика

Электрострикция. Опыт показывает, что на диэлектрик в электрическом поле действуют силы (их иногда называют пондеромоторными). Эти силы возникают и в тех случаях, когда диэлектрик в целом не заряжен. Причиной их возникновения является в конечном счете действие неоднородного электрического поля на дипольные молекулы поляризованного диэлектрика (как известно, на диполи в неоднородном электрическом поле действует сила, направленная в сторону возрастания данного поля). Причем эти силы обусловлены неоднородностью не только макрополя, но и микрополя, создаваемого в основном ближайшими молекулами поляризованного диэлектрика.

Под действием указанных электрических сил поляризованный диэлектрик деформируется. Это явление называют элект-

рострикцией. Вследствие электрострикции в диэлектрике возникают механические напряжения.

Все это приводит к тому, что на проводник, находящийся в поляризованном диэлектрике, действует не только электрическая сила, зависящая от зарядов на проводнике, но и дополнительная механическая сила со стороны диэлектрика. В общем случае влияние диэлектрика на результирующую силу, испытываемую проводником, не может быть учтено никакими простыми соотношениями, и задача вычисления сил с одновременным исследованием механизма их возникновения, как правило, оказывается весьма сложной. Однако во многих случаях эти силы можно вычислить достаточно просто без детального анализа их происхождения — с помощью закона сохранения энергии.

Энергетический метод определения сил. Этот метод является наиболее общим. Он позволяет, отвлекаясь от причин возникновения сил, автоматически учитывать все силовые взаимодействия (электрические и механические) и поэтому приводит к правильному результату.

Покажем, в чем суть энергетического метода расчета сил. Наиболее просто обстоит дело в случае, когда заряженные проводники отключены от источников напряжения. В этом случае заряды на проводниках остаются постоянными, и мы можем утверждать, что работа А всех внутренних сил системы при медленных перемещениях проводников и диэлектриков совершается целиком за счет убыли электрической энергии W системы (или ее поля). Здесь предполагается, что при указанных перемещениях не происходит преобразования электрической энергии в другие формы, или, точнее, считается, что такие преобразования пренебрежимо малы. Таким образом, для бесконечно малых перемещений можно записать

где символ q подчеркивает, что убыль энергии системы должна быть вычислена при постоянных зарядах на проводниках.

Уравнение (4.15) является исходным для определения сил, действующих на проводники и диэлектрики в электрическом поле. Делается это, например, так. Пусть нас интересует сила,

действующая на данное тело (проводник или диэлектрик). Совершим бесконечно малое поступательное перемещение dx этого тела в интересующем нас направлении X. Тогда работа искомой силы F на перемещении dx есть dA = Fxdx, где Fx — проекция силы F на положительное направление оси X. После подстановки последнего выражения для dА в (4.15) и деления на dx получим

Следует обратить внимание вот на что. Сила, как известно, зависит только от положения тел и распределения зарядов в данный момент. Она не может зависеть от того, как будет развиваться энергетический процесс в том случае, если система придет в движение под действием сил. А это значит, что для вычисления Fx по формуле (4.16) нет надобности подбирать такой режим, при котором обязательно все заряды проводников оставались бы постоянными (q = const). Надо просто найти приращение dW при условии, что q = const, а это — чисто математическая операция.

Заметим, что если перемещения проводить при постоянном потенциале на проводниках, то соответствующий расчет приводит к другой формуле для силы: Fx W/ x | . Однако — и это важно — результат расчета Fx по этой формуле или по (4.16) оказывается одинаковым, как и должно быть. Поэтому мы ограничимся в дальнейшем использованием только формулы (4.16) и будем применять ее для любых условий, включая и такие, где при малых перемещениях q const. Нас это не должно смущать: производную дW/дx мы в подобных случаях будем вычислять при q = const.

Пример. Найдем силу, действующую на одну из обкладок плоского конденсатора в жидком диэлектрике, если расстояние между обкладками h, емкость конденсатора в этих условиях С и на нем поддерживается напряжение U.

В данном случае при мысленном раздвижении обкладок постоянным оказывается напряжение U, а заряд q конденсатора меняется (это видно из соотношения C = q/U). Несмотря на это, расчет силы мы будем проводить в предположении, что q = const, т. е. по формуле (4.16). Здесь наиболее подходящим

выражением для энергии конденсатора является следующее:

где — проницаемость диэлектрика, S — площадь каждой обкладки, х — расстояние между ними (х = h).

Выберем далее положительное направление оси X, как показано на рис. 4.4. Согласно (4.16) сила, действующая на верхнюю обкладку конденсатора:

Здесь знак минус указывает на то, что вектор F направлен в отрицательную сторону оси X, т. е. сила имеет характер притяжения. Учитывая, что q = S = DS = = 0ES и Е = U/h, преобразуем (1) к виду

Fx –CU2/2h.

Силы в жидком диэлектрике. Из формулы (1) предыдущего примера видно, что сила взаимодействия обкладок плоского конденсатора в жидком диэлектрике в раз меньше, чем в вакууме (где 1). Этот результат, как показывает опыт, можно обобщить: при заполнении всего пространства, где есть электрическое поле, жидким или газообразным диэлектриком силы взаимодействия между заряженными проводниками (при неиз-

Отсюда следует, что два точечных заряда q1 и q2, находящиеся на расстоянии r друг от друга внутри безграничного жидкого или газообразного диэлектрика, взаимодействуют с силой

т. е. тоже в раз меньшей, чем в вакууме. Эта формула выражает закон Кулона для точечных зарядов в безграничном диэлектрике.

Следует обратить особое внимание на то, что в последнем законе под точечными подразумеваются сторонние заряды, сосредоточенные на макроскопических телах, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Таким образом, закон (4.18) в отличие от закона Кулона в вакууме имеет весьма ограниченную область применения: диэлектрик должен быть однородным, безграничным, обязательно жидким или газообразным, а взаимодействующие тела — точечными в макроскопическом смысле.

Интересно, что в однородном жидком или газообразном диэлектрике, заполняющем все пространство, где есть поле, как напряженность Е, так и сила F, действующая на точечный заряд q, в раз меньше Е0 и F0 при отсутствии диэлектрика. А это значит, что сила F, действующая на точечный заряд q, определяется в этом случае такой же формулой, как и в вакууме:

где Е — напряженность поля в диэлектрике в том месте, куда помещают сторонний заряд q. Только в этом случае по силе F формула (4.19) позволяет определить поле Е в диэлектрике. Следует обратить внимание, что на сам сторонний заряд — он сосредоточен на каком-то небольшом теле — будет действовать другое поле — не то, что в самом диэлектрике. И тем не менее, формула (4.19) дает, как это ни удивительно, верный результат.

Поверхностная плотность силы. Речь пойдет о силе, действующей на единицу поверхности заряженного проводника в жидком или газообразном диэлектрике. Рассмотрим с этой целью плоский конденсатор в жидком диэлектрике. Пусть конденсатор заряжен и отключен от источника напряжения — чтобы заряд конденсатора и поле Е внутри него не менялись при раздвигании обкладок.

Вернемся к рис. 4.4. Энергия конденсатора — это энергия поля внутри него. В соответствии с (4.9) она равна W = (ED/2)Sx, где S — площадь каждой обкладки, х — расстояние между ними (Sx — объем, занимаемый полем). Согласно (4.16) сила, действующая на верхнюю обкладку,

Fx W/ x q EDS/2,