где учтено, что i –dФ/dt. Из последних двух формул видно, что полная работа

Итак, в работу сил магнитного поля входит не только механическая работа (обусловленная силами Ампера), но и работа э.д.с., индуцируемой при движении контура. Обе работы равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому их сумма и равна нулю.

Работа сил Ампера совершается не за счет энергии внешнего магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего ток в контуре. При этом источник совершает дополнительную работу против э.д.с. индукции dAдоп = – i Idt = IdФ, которая оказывается одинаковой с работой AA сил Ампера.

Работа A, которая совершается при перемещении контура против тормозящих амперовых сил (они возникают благодаря появлению индукционного тока в соответствии с правилом Ленца), преобразуется в работу э.д.с. индукции:

С энергетической точки зрения в этом заключается сущность действия всех индукционных генераторов тока.

§ 9.3. Явление самоиндукции

Электромагнитная индукция возникает во всех случаях, когда изменяется магнитный поток сквозь контур. При этом совершенно не важно, чем вызывается это изменение потока. Если в некотором контуре течет изменяющийся во времени ток, то магнитное поле этого тока также будет изменяться. Это влечет за собой изменение магнитного потока через контур, а следовательно, и появление э.д.с. индукции.

Таким образом, изменение тока в контуре ведет к возникновению э.д.с. индукции в этом же самом контуре. Данное явление называют самоиндукцией.

Индуктивность. Если в пространстве, где находится контур с током I, нет ферромагнетиков, поле В, а значит, и полный магнитный поток Ф через контур будут пропорциональны силе тока I, и можно написать

где L — коэффициент, называемый индуктивностью контура. В соответствии с принятым правилом знаков для величин Ф и I оказывается, что Ф и I всегда имеют одинаковые знаки. Это означает, что индуктивность L — величина существенно положительная.

Индуктивность L зависит от формы и размеров контура, а также от магнитных свойств окружающей среды. Если контур жесткий и поблизости от него нет ферромагнетиков, индуктивность является величиной постоянной, не зависящей от силы тока I.

Единицей индуктивности является генри (Гн). Согласно (9.14) индуктивностью 1 Гн обладает контур, магнитный поток сквозь который при токе 1 А равен 1 Вб, значит 1 Гн = 1 Вб/А.

Пример. Найдем индуктивность соленоида, пренебрегая краевыми эффектами. Пусть V — объем соленоида, n — число витков на единицу его длины, < — магнитная проницаемость вещества внутри соленоида.

Согласно (9.14) L = Ф/I. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы, задавшись током I, определить полный магнитный поток Ф. При токе I магнитное поле в соленоиде В = = <<0nI. Магнитный поток через один виток соленоида Ф1 = BS = <<0пIS, a полный магнитный поток, пронизывающий N витков:

Ф NФ1 nl · BS = <<0n2VI,

где V = Sl. Отсюда индуктивность соленоида

О некоторых трудностях. Отметим, что определение индуктивности по формуле L = Ф/I связано с определенными трудностями. Как бы ни был тонок провод, его сечение конечно, и мы просто не знаем, как надо провести в теле проводника геометрический контур, необходимый для вычисления Ф. Результат

оказывается неоднозначным. Для достаточно тонкого провода эта неоднозначность мало существенна, чего совершенно нельзя сказать о толстых проводах: здесь из-за неопределенности выбора геометрического контура результат вычисления L может содержать большую ошибку. Об этом не следует забывать.

Дальше (см. § 9.5) будет показано, что существует другой способ определения L, полностью свободный от указанной трудности.

Э.д.с. самоиндукции. При изменении силы тока в контуре согласно (9.1) возникает э.д.с. самоиндукции s:

Если при изменении тока индуктивность L остается постоянной (не меняется конфигурация контура и нет ферромагнетиков), то

s

dt

Здесь знак минус показывает, что s всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока — в соответствии с правилом Ленца. Эта э.д.с. стремится сохранить ток неизменным: она противодействует току, когда он увеличивается, и поддерживает ток, когда он уменьшается. В явлениях самоиндукции ток обладает «инерцией», потому что эффекты индукции стремятся сохранить магнитный поток постоянным, точно так же, как механическая инерция стремится сохранить скорость тела неизменной.

Примеры проявления самоиндукции. Характерные проявления самоиндукции наблюдаются при замыкании и размыкании тока в цепи. Установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходят не мгновенно, а постепенно. Причем эти эффекты замедления тем значительнее, чем больше индуктивность цепи.

Любой большой электромагнит обладает большой индуктивностью. Если его обмотку отсоединить от источника, ток быстро уменьшается до нуля и в процессе уменьшения создает огромную э.д.с. самоиндукции. Это часто приводит к образова-

нию вольтовой дуги между контактами выключателя и является весьма опасным, причем не только для обмотки электромагнита, но и для человека, размыкающего цепь. По этим причинам параллельно обмотке электромагнита обычно включают лампочку с сопротивлением того же порядка, что и сопротивление обмотки. В этом случае ток в обмотке спадает медленно и опасности не представляет.

Теперь рассмотрим более подробно характер исчезновения и установления тока в цепи.

Пример 1. Исчезновение тока при размыкании цепи.

Пусть цепь состоит из постоянной индуктивности L, сопротивления R, амперметра А, источника э.д.с. E и специального ключа K (рис. 9.7, а). Первоначально ключ K находится в нижнем положении (рис. 9.7, б), и в цепи течет ток I0 = E/R (сопротивление источника э.д.с. E считаем пренебрежимо малым).

В момент t = 0 быстро повернем ключ K по часовой стрелке из нижнего положения в верхнее (рис. 9.7, а). При этом произойдет следующее: на очень корот-

кое время ключ закоротил источник E и тут же выключил его из цепи, не нарушая ее замкнутости.

Ток через индуктивность L начнет убывать, а это значит, что возникнет э.д.с. самоиндукции s = –L dI/dt, противодействующая, по Ленцу, убыванию тока. В каждый момент ток в цепи будет определяться законом Ома I = s /R, или

dt

Разделив переменные, получим

dI R dt.

IL

Интегрирование этого уравнения по I (от I0 до I) и по t (от 0 до t) дает ln (I/I0) = – Rt/L, или

Пример 2. Установление тока при замыкании цепи.

В момент t = 0 быстро повернем ключ K против часовой стрелки из верхнего положения в нижнее (рис. 9.7, б). Этим самым мы подключили к индуктивности L источник E. Ток в цепи начнет нарастать и опять возникает э.д.с. самоиндукции, противодействующая этому нарастанию. Согласно закону Ома RI = + s, или

Перенесем в левую часть уравнения и введем новую переменную и = RI – , du = R dI. После этого полученное уравнение преобразуем к виду

du/u = – dt/0,

где 0 L/R — постоянная времени.

Интегрирование по и (от – до RI – ) и по t (от 0 до t) дает ln [(RI – )/(– )] = –t/0 или

где I0 = /R представляет собой установившийся ток (при t %). Из уравнения (9.22) видно, что быстрота установления тока определяется той же постоянной 0. График зависимости I(t) — возрастания силы тока со временем показан на рис. 9.8 (кривая 2).

О сохранении магнитного потока. Пусть в произвольном внешнем магнитном поле — постоянном или переменном — движется и деформируется контур с током. При этом в контуре индуцируется ток

I i s 1 d .

RR dt

Если сопротивление контура R 0, то должно быть и dФ/dt 0, поскольку сила тока I не может быть бесконечно большой. Отсюда следует, что Ф const.

Таким образом, при движении сверхпроводящего контура в магнитном поле пронизывающий его магнитный поток остается постоянным. Такое сохранение потока обеспечивают индукционные токи, которые согласно правилу Ленца препятствуют всякому изменению магнитного потока сквозь контур.

Тенденция к сохранению магнитного потока сквозь контур имеется в любом случае, но наиболее полно она проявляется в контурах из сверхпроводников.

Пример. Сверхпроводящее круглое кольцо радиусом а с индуктивностью L находится в однородном магнитном поле В. В начальном положении плоскость кольца параллельна вектору В и ток в кольце равен нулю. Кольцо повернули в положение, перпендикулярное вектору В. Найдем силу тока в кольце после поворота и магнитную индукцию в его центре.

При повороте кольца магнитный поток сквозь него не меняется и остается равным нулю. Это значит, что магнитные потоки через кольцо поля индукционного тока и внешнего поля одинаковы по модулю, но противоположны по знаку. Поэтому LI а2В, откуда

I a2B/L.

Этот ток создает в центре кольца согласно (6.13) поле BI = = 0aB/2L. Тогда результирующая магнитная индукция в этой точке

Bрез B – BI B(1 – <0a/2L).