§ 9.5. Энергия магнитного поля

Магнитная энергия тока. Замкнем неподвижную цепь, содержащую индуктивность L и сопротивление R, на источник тока с э.д.с. 0. В контуре, как мы уже знаем, начнет возрастать ток. Это приводит к появлению э.д.с. самоиндукции s. Согласно закону Ома RI = 0 + s, откуда

0 RI – s.

Найдем элементарную работу, которую совершают сторонние силы (т. е. источник 0) за время dt. Для этого умножим предыдущее равенство на I dt:

0Idt = RI2dt – sIdt.

Учитывая смысл каждого слагаемого и соотношениеs = –dФ/dt, запишем

Aстор Q + IdФ.

Мы видим, что в процессе установления тока, когда поток Ф меняется и dФ > 0 (если I > 0), работа, которую совершает источник 0, оказывается больше выделяемой в цепи джоулевой теплоты. Часть этой работы (дополнительная работа) совершается против э.д.с. самоиндукции. Заметим, что после того как ток установится, dФ 0 и вся работа источника 0 будет идти только на выделение джоулевой теплоты.

Итак, дополнительная работа, совершаемая сторонними силами против э.д.с. самоиндукции в процессе установления тока:

Это соотношение имеет общий характер. Оно справедливо и при наличии ферромагнетиков, так как при его выводе не вводилось никаких предположений относительно магнитных свойств окружающей среды.

Теперь (и далее) будем считать, что ферромагнетики отсутствуют. Тогда dФ L dI и

Проинтегрировав это уравнение, получим Адоп LI2/2. По закону сохранения энергии любая работа идет на приращение ка- кого-то вида энергии. Мы видим, что часть работы сторонних сил (E0) идет на увеличение внутренней энергии проводников (с ней связано выделение джоулевой теплоты) и другая часть — в процессе установления тока — на что-то еще. Это «что-то» есть не что иное, как магнитное поле, именно его появление и связано с появлением тока.

Таким образом, мы приходим к выводу, что при отсутствии ферромагнетиков контур с индуктивностью L, по которому течет ток I, обладает энергией

Эту энергию называют магнитной энергией тока или собственной энергией тока. Она может быть целиком превращена во внутреннюю энергию проводников, если отключить источник E0 так, как показано на рис. 9.7: быстро повернуть ключ K из положения б в положение а.

Энергия магнитного поля. Формула (9.29) выражает магнитную энергию тока через индуктивность и ток (при отсутствии ферромагнетиков). Однако и здесь, как и в случае электрической энергии заряженных тел, энергию можно выразить непосредственно через магнитную индукцию В. Убедимся, что это так сначала на простейшем примере длинного соленоида, пренебрегая искажением поля на его торцах (краевыми эффектами). Подстановка в формулу (9.29) выражения L 0n2V дает

WLI2/2 <<0n2I2V/2.

Атак как пI Н B/<<0, то

Эта формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем V (как в нашем случае с соленоидом).

В общей теории показывается, что энергию W можно выразить через векторы В и Н в любом случае (но при отсутствии

Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в элементе объемом dV.

Отсюда, как и в случае электрического поля, мы приходим к выводу, что магнитная энергия также локализована в пространстве, занимаемом магнитным полем.

Из формул (9.30) и (9.31) следует, что магнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью

Отметим, что полученное выражение относится лишь к тем средам, для которых зависимость В от Н линейная, т. е. < в соотношении В = <<0Н не зависит от Н. Другими словами, выражения (9.31) и (9.32) относятся только к пара- и диамагнетикам. К ферромагнетикам они не применимы*.

Отметим также, что магнитная энергия — величина существенно положительная. Это легко усмотреть из последних двух формул.

Еще об обосновании формулы (9.32). Убедимся в справедливости этой формулы, рассуждая в «обратном» порядке, а именно покажем. что если формула (9.32) справедлива, то магнитная энергия контура

стоком W= LI2/2.

Сэтой целью рассмотрим магнитное поле произвольного контура с током I (рис. 9.13). Представим все поле разделенным на элементарные трубки, образующие которых являются линиями вектора В. Выделим в одной из таких трубок элементарный объем dV = dl dS. В соответствии с формулой (9.32)

вэтом объеме локализована энергия

(BH/2) dl dS.

* Это обусловлено тем, что в конечном счете выражения (9.31) и (9.32) являются следствиями формулы Адоп = IdФ и того факта, что при отсутствии гистерезиса работа Адоп идет только на приращение магнитной энергии dW. Для ферромагнитной среды дело обстоит иначе: работа Адоп идет еще и на приращение внутренней энергии среды, т. е. на ее нагревание.

Теперь найдем энергию dW в объеме всей элементарной трубки. Для этого проинтегрируем последнее выражение вдоль оси трубки. Поток dФ = B dS сквозь сечение трубки постоянен вдоль всей трубки, поэтому dФ можно вынести за знак интеграла:

dW d KHdl I d ,

2 2

где использована теорема о циркуляции вектора Н (в нашем случае

проекция Hl Н).

И наконец, просуммируем энергию всех элементарных трубок:

W 1/2 I dФ = IФ/2 = LI2/2,

где Ф — полный магнитный поток, охватываемый контуром с током, Ф LI. Это и требовалось показать.

Определение индуктивности из выражения энергии. Мы ввели индуктивность L как коэффициент пропорциональности между полным магнитным потоком Ф и током I. Существует, однако, и другая возможность расчета L — из выражения энергии. В самом деле, из сопоставления формул (9.31) и (9.29) следует, что при отсутствии ферромагнетика

Нахождение L таким путем свободно от неопределенности, связанной с вычислением магнитного потока Ф в формуле (9.14) — см. с. 235. К каким расхождениям иногда приводит определение L по формуле (9.33) и из выражения потока (9.14), показано в задаче 9.9 на примере коаксиального кабеля.

§ 9.6. Магнитная энергия двух контуров с токами

Собственная и взаимная энергии. Возьмем два неподвижных контура 1 и 2, расположив их достаточно близко друг к другу (чтобы была магнитная связь между ними). Предполагается, что в каждом контуре есть свой источник постоянной э.д.с. Замкнем в момент t = 0 каждый из контуров. Как в том, так и в другом контуре начнет устанавливаться свой ток и, следовательно, появятся э.д.с. самоиндукции s и э.д.с. взаимной индукции i. Дополнительная работа, совершаемая при этом

источниками постоянной э.д.с. против s и i, идет, как мы уже знаем, на создание магнитной энергии.

Найдем эту работу за время dt:

dW L1I1dI1 L12I1dI2 L2I2dI2 L21I2dI1.

Имея в виду, что L12 L21, представим последнее уравнение в виде

dW d (L1 I12 / 2) d (L2 I 22 / 2) d (L12 I1 I 2 ),

откуда

Здесь первые два слагаемых называют собственной энергией тока I1 и тока I2, последнее слагаемое — взаимной энергией обоих токов. Взаимная энергия токов — величина алгебраическая в отличие от собственных энергий токов. Изменение направления одного из токов приводит к изменению знака взаимной энергии — последнего слагаемого в (9.34).

ться в том, что знак величины W12 (в данном случае W12 > 0) определяется только взаимным направлением самих токов и совершенно не зависит от выбора положительных направлений обхода контуров. Напомним, что о знаке величины L12 говорилось в § 9.4.

Полевая трактовка энергии (9.34). Есть несколько важных вопросов, которые мы сможем решить, вычислив магнитную энергию двух контуров еще и иначе — с точки зрения локализации энергии в поле.

Пусть В1 — магнитное поле тока I1, а B2 — поле тока I2. Тогда по принципу суперпозиции поле в каждой точке В = В1 + В2

и согласно (9.31) энергия магнитного поля этой системы токов W (В2/2<<0) dV. Подставив сюда B2 B12 B22 2B1B2 , получим

Соответствие друг другу отдельных слагаемых в формулах (9.35) и (9.34) не вызывает сомнения.

Формулы (9.34) и (9.35) приводят к таким важным следствиям.

1.Магнитная энергия системы двух (и более) токов — величина всегда положительная, W > 0. Это вытекает из того факта, что W T В2 dV, где под интегралом стоят положительные величины.

2.Энергия токов — величина не аддитивная (из-за наличия взаимной энергии).

3.Последний интеграл в (9.35) пропорционален произведе-

нию токов I1I2, так как В1 T I1 и В2 T I2. Коэффициент же пропорциональности (т. е. оставшийся интеграл) оказывается

симметричным относительно индексов 1 и 2, а поэтому его

можно обозначить L12 или L21 [в соответствии с формулой (9.34)]. Таким образом, действительно, L12 L21.

4.Из выражения (9.35) вытекает другое определение взаим-

ной индуктивности L12. В самом деле, сопоставление выражений (9.35) и (9.34) показывает, что