§ 9.7. Энергия и силы в магнитном поле

Наиболее общим методом определения сил в магнитном поле является энергетический. В этом методе используют выражение для энергии магнитного поля.

Ограничимся случаем, когда система состоит из двух контуров с токами I1 и I2. Магнитная энергия такой системы может быть представлена в виде

где Ф1 и Ф2 — полные магнитные потоки, пронизывающие контуры 1 и 2 соответственно. Это выражение нетрудно получить из формулы (9.34), если представить последнее слагаемое как сумму L12I1I2/2 + L21I2I1/2, а затем учесть, что

Согласно закону сохранения энергии работа A*, которую совершают источники тока, включенные в контуры 1 и 2, идет на теплоту Q, на приращение магнитной энергии системы dW (из-за движения контуров или изменения токов в них) и на механическую работу Aмех (вследствие перемещения или деформации контуров):

Мы предположили, что емкость контуров пренебрежимо мала, и поэтому электрическую энергию учитывать не будем.

В дальнейшем нас будет интересовать не вся работа источника тока A*, а только та ее часть, которая совершается против э.д.с. индукции и самоиндукции (в каждом контуре). Эта рабо-

– dФ/dt, перепишем выражение для дополнительной работы

ввиде

Именно эта часть работы источников тока (работа против э.д.с. индукции и самоиндукции), связанная с изменением по-

токов Ф1 и Ф2, и идет на приращение магнитной энергии системы и на механическую работу:

Эта формула является основной для расчета механической

работы dAмех, а из нее и сил в магнитном поле.

Из формулы (9.41) можно получить и более простые выражения для dAмех, если считать, что в процессе перемещения остаются неизменными или все магнитные потоки сквозь контуры, или токи в них. Рассмотрим это более подробно.

1. Если потоки постоянны, Фk = const, где k = 1 и 2, то из (9.41) сразу следует, что

где символ Ф подчеркивает, что приращение магнитной энергии системы должно быть вычислено при постоянных потоках через контуры. Полученная формула аналогична соответствующей ей (4.15) для работы в электрическом поле.

2. Если токи постоянны, Ik const, то

Действительно, при Ik const из формулы (9.37) следует, что

dWI (I1d 1 I2 d 2 )/2,

т. е. в этом случае приращение магнитной энергии системы равно согласно (9.40) половине дополнительной работы источников э.д.с. Другая половина этой работы идет на совершение механической работы. Иначе говоря, при постоянстве токов

dW|I = dAмех, что и требовалось показать.

Необходимо подчеркнуть, что оба полученные нами выражения (9.42) и (9.43) определяют механическую работу одной и той же силы, т. е. можно написать:

Для вычисления силы с помощью этих формул, конечно, нет необходимости подбирать такой режим, при котором обязатель-

от расстояния х между ними по известному закону L12(х). Найдем силу взаимодействия между катушками.

Магнитная энергия системы из двух катушек дается формулой (9.34). Для определения силы взаимодействия будем пользоваться выражением (9.43). Сместим катушку 2 на расстояние dx при неизменных токах I1 и I2. Соответствующее приращение магнитной энергии системы

dW I I1 I2 dL12 ( x ).

Так как элементарная механическая работа Aмех = F2xdx, то согласно (9.43) получим

F2 x I1 I2 L12 ( x ) .

x

Пусть токи I1 и I2 подмагничивают друг друга, тогда

L12 > 0 и при dx > 0 приращение dL12 < 0, т. е. F2x < 0. Следовательно, сила, действующая на катушку 2 со стороны

катушки 1, является силой притяжения: вектор F2 направлен влево на рисунке.

Пример 3. Магнитное давление на обмотку соленоида. Увеличим мысленно радиус сечения соленоида на dr, сохраняя при этом неизменным ток I через обмотку. Тогда силы Ампера совершат работу Aмех = dW|I . В нашем случае

Aмех pSdr,

где р — искомое давление, S — боковая поверхность соленоида,

Здесь учтено, что при I const и В const. Из равенства двух этих выражений находим

p B2/2<0.

Магнитное давление. Полученное в последнем примере выражение для давления можно обобщить на случай, когда по разные стороны от поверхности с током (током проводимости или током намагничивания) магнитное поле разное — B1 и В2. В этом случае, оказывается, магнитное давление