72 |
Глава 3 |
|
|
т. е. вектор Р: |
|
P l. |
(3.4) |
Единицей поляризованности Р является кулон на квадратный метр (Кл/м2).
Связь между Р и Е. Как показывает опыт, для обширного класса диэлектриков и широкого круга явлений поляризованность Р зависит линейно от напряженности Е поля в диэлектрике. Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велико, то
P k 0E, |
(3.5) |
где k — безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью вещества. Эта величина не зависит от Е, она характеризует свойства самого диэлектрика. Всегда k > 0.
В дальнейшем, если специально не оговорено, мы будем иметь в виду только изотропные диэлектрики, для которых справедливо соотношение (3.5).
Существуют, однако, и диэлектрики, для которых (3.5) не применимо. Это некоторые ионные кристаллы и электреты (см. сноску на с. 69), а также сегнетоэлектрики. У сегнетоэлектриков связь между Р и Е нелинейная и зависит, кроме того, от предыстории диэлектрика, т. е. от предшествующих значений Е (это явление называют гистерезисом).
§ 3.3. Свойства поля вектора Р
Теорема Гаусса для поля вектора Р. Как мы сейчас покажем, поле вектора Р обладает следующим замечательным и важным свойством. Оказывается, поток вектора Р сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S, т. е.
PdS q внутр . |
(3.6) |
Это уравнение и выражает теорему Гаусса для вектора Р.
Доказательство теоремы. Пусть произвольная замкнутая поверхность S охватывает часть диэлектрика (рис. 3.2, а, где диэлектрик заштрихован). При включении внешнего электри-
Электрическое поле в диэлектрике |
73 |
|
|
|
|
ческого поля диэлектрик по- |
|
|
ляризуется |
— положитель- |
|
ные заряды сместятся отно- |
|
|
сительно |
отрицательных. |
|
Найдем заряд, который про- |
|
|
ходит через элемент dS зам- |
|
|
кнутой поверхности S нару-
Рис. 3.2
жу (рис. 3.2, б).
Пусть l+ и l– — векторы, характеризующие смещения положительного и отрицательного связанных зарядов в результате поляризации. Тогда ясно, что через элемент поверхности dS наружу поверхности S выйдет положительный заряд l dS cos , заключенный во «внутренней» части косого цилиндра (рис. 3.2, б). Кроме того, через элемент dS войдет внутрь поверхности S отрицательный заряд l dS cos , заключенный во «внешней» части косого цилиндра. Но мы знаем, что перенос отрицательного заряда в некотором направлении эквивалентен переносу положительного заряда в противоположном направлении. Учитывая это, можно записать суммарный связанный заряд, выходящий наружу поверхности S через элемент dS, как
dq l dS cos | | l dS cos . |
|
Поскольку − − , |
|
dq (l + l )dS cos l dS cos , |
(3.7) |
где l = l+ + l– — расстояние, на которое сместились относительно друг друга положительные и отрицательные связанные заряды диэлектрика при поляризации.
Далее, согласно (3.4) l P и dq РdScos , или
dq PndS PdS. |
(3.8) |
Проинтегрировав это выражение по всей замкнутой поверхности S, мы найдем весь заряд, который вышел при поляризации из объема, охватываемого поверхностью S, он равен KРdS. В результате внутри поверхности S останется некоторый избыточный связанный заряд q . Ясно, что вышедший заряд должен быть равен с обратным знаком оставшемуся внутри поверхности S избыточному связанному заряду, и мы приходим к (3.6).
74 |
Глава 3 |
|
|
Дифференциальная форма уравнения (3.6). В дифференциальной форме уравнение (3.6) — теорема Гаусса для поля вектора Р — имеет следующий вид:
D · P – , |
(3.9) |
т. е. дивергенция поля вектора Р равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в той же точке. Это уравнение можно получить из (3.6) точно таким же путем, как и аналогичное уравнение для вектора Е (см. с. 23). Достаточно в проводимых там рассуждениях заменить Е на Р и на .
Когда в диэлектрике = 0? Как мы сейчас покажем, объемная плотность избыточных связанных зарядов внутри диэлектрика будет равна нулю при одновременном выполнении двух условий:
1)диэлектрик должен быть однородным;
2)внутри него не должно быть сторонних зарядов ( = 0). Действительно, из основного свойства поля вектора Р (3.6)
следует, что в случае однородного диэлектрика можно, заменив Р на k 0E согласно (3.5), вынести k из-под знака интеграла и записать
k 0 E dS q .
Оставшийся интеграл есть не что иное, как алгебраическая сумма всех зарядов — сторонних и связанных — внутри рассматриваемой замкнутой поверхности S, т. е. q + q . Поэтому k(q + q ) = –q , откуда
q |
k |
q. |
(3.10) |
|
|||
|
1 k |
|
|
Это соотношение между избыточным связанным зарядом q и сторонним зарядом q справедливо для любого объема внутри диэлектрика, в частности и для физически бесконечно малого, когда q – dq = dV и q – dq = dV. Тогда (3.10) после сокращения на dV примет вид
|
k |
. |
(3.11) |
|
|||
|
1 k |
|
|
Значит, в однородном диэлектрике = 0, если = 0.
Электрическое поле в диэлектрике |
75 |
|
|
Таким образом, если в произвольное электрическое поле поместить однородный изотропный диэлектрик какой угодно формы, можно быть уверенным, что при его поляризации появятся только поверхностные связанные заряды, объемные же избыточные связанные заряды во всех точках такого диэлектрика будут равны нулю.
Граничные условия для вектора Р. Рассмотрим поведение вектора Р на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Мы только что установили, что у таких диэлектриков объемного избыточного связанного заряда нет и в результате поляризации появляется только поверхностный связанный заряд.
Найдем связь между поляризованностью Р и поверхностной плотностью связанных зарядов на границе раздела диэлектриков. Для этого воспользуемся свойством (3.6) поля вектора Р. Возьмем в качестве замкнутой поверхности небольшой плоский цилиндр, торцы которого расположим по разные стороны границы раздела (рис. 3.3). Высоту цилиндра будем предполагать ничтожно малой, а площадь S каждого торца настолько малой, что во всех точках каждого торца цилиндра вектор Р был бы одинаков (это же касается и поверхностной плотностисвязанного заряда). Пусть n — общая нормаль к границе раздела в данном месте. Условимся всегда проводить вектор n от диэлектрика 1 к диэлектрику 2.
Пренебрегая потоком вектора Р сквозь боковую поверхность выбранного нами цилиндра, запишем согласно (3.6):
Р2n S + Р1n S = – DS, где Р2n и Р1n — проекции вектора Р в диэлектрике 2 на нормаль n и в диэлектрике 1 на нормаль n (рис. 3.3).
Учитывая, что проекция вектора Р на нормаль n равна с обратным знаком проекции этого вектора на противоположную (общую) нормаль n, т. е. Р1n = –Р1n, перепишем предыдущее уравнение после сокращения на S в следующем виде:
P2n – P1n = – .
Рис. 3.3
(3.12)