А это значит, что непосредственно вычислить работу как интеграл q Е dl здесь непросто. С помощью же потенциала эта задача решается элементарно. В самом деле, так как все элементы кольца находятся на одном и том же расстоянии а от центра кольца, то потенциал в этой точке 0 = q/4 0а. А потенциал на бесконечности = 0. Следовательно, работа А =

=q 0 = q q/4 0a.

2.Во многих случаях оказывается, что для нахождения напряженности Е электрического поля легче сначала подсчитать потенциал и затем взять градиент от него, нежели вычислять Е непосредственно. Это весьма существенное преимущество потенциала. Действительно, для вычисления нужно взять один интеграл, а для вычисления Е — три (ведь это вектор). Кроме того,

обычно интегралы для определения проще, чем для Еx, Ey, Ez. Сразу же заметим, что это не касается сравнительно неболь-

шого числа задач с достаточно хорошей симметрией. В этих случаях нахождение поля Е непосредственно или с помощью теоремы Гаусса часто оказывается значительно проще.

§ 1.7. Электрический диполь

Поле диполя. Электрический диполь — это система из двух одинаковых по модулю разноименных точечных зарядов +q и

–q, находящихся на некотором расстоянии l друг от друга. Когда говорят о поле диполя, то предполагают сам диполь точечным, т. е. считают расстояния r от диполя до интересующих нас точек поля значительно больше l.

Поле диполя обладает осевой симметрией, поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, одна и та же и вектор Е лежит в этой плоскости.

Найдем сначала потенциал поля диполя, а затем его напряженность. Согласно (1.25) потенциал поля диполя в точке Р (рис. 1.14, а) определяется как

Так как r J l, то, как видно из рис. 1.14, а, r– – r+ = l cos и r+r–= r2, где r — расстояние от точки Р до диполя (он точеч-

Рис. 1.14

ный!). С учетом этого

где р ql — электрический момент диполя. Этой величине сопоставляют вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному:

где q > 0 и l — вектор, направленный в ту же сторону, что и р. Из формулы (1.34) видно, что поле диполя зависит от его

электрического момента р. Как мы увидим далее, и поведение диполя во внешнем поле также зависит от р. Следовательно, р является важной характеристикой диполя.

Следует также обратить внимание на то, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием r быстрее, чем потенциал поля точечного заряда (1/r2 вместо 1/r).

Для нахождения поля диполя воспользуемся формулой (1.32), вычислив с помощью нее проекции вектора Е на два взаимно перпендикулярных направления — вдоль ортов еr и е (рис. 1.14, б):

В частности, при 0 и /2 мы получим выражения для напряженности поля соответственно на оси диполя (E||) и перпендикулярно ей (Е ):

т. е. при одном и том же r напряженность Е|| вдвое больше Е .

Рис. 1.15

Сила, действующая на диполь. Поместим диполь во внешнее неоднородное электрическое поле. Пусть Е+ и Е– — напряженности внешнего поля в точках, где расположены положительный и отрицательный заряды диполя. Тогда результирующая сила F, действующая на диполь, равна (рис. 1.15, а):

F qE+ – qE– q(E+ – Е–).

Разность Е+ – Е– — это приращение Е вектора Е на отрезке, равном длине диполя l, в направлении вектора l. Вследствие малости этого отрезка можно записать

E E E E l E l . l l

После подстановки этого выражения в формулу для F получим, что сила, действующая на диполь:

где р = ql — электрический момент диполя. Входящую в это выражение производную принято называть производной векто-

36 Глава 1

ра по направлению. Знак частной производной подчеркивает, что эта производная берется по определенному направлению — направлению, совпадающему с вектором l или р.

Простота формулы (1.39), к сожалению, обманчива: производная дE/дl является довольно сложной математической операцией. Мы не будем останавливаться на этом более подробно, а обратим внимание на существо полученного результата. Прежде всего отметим, что в однородном поле дE/дl 0, поэтому и F 0. Значит, сила действует на диполь, вообще говоря, только в неоднородном поле. Далее, направление вектора F в общем случае не совпадает ни с вектором Е, ни с вектором р. Вектор F совпадает по направлению лишь с элементарным приращением вектора Е, взятым в направлении вектора l или р (рис. 1.15, б).

На рис. 1.16 показаны направления силы F, действующей на диполь в поле положительного точечного заряда q, при трех разных расположениях диполя. Убедиться самостоятельно, что это действительно так.

Если нас интересует проекция силы F на некоторое направление X, то достаточно записать равенство (1.39) в проекциях на это направление, и мы получим

где дЕx/дl — производная соответствующей проекции вектора Е опять же по направлению вектора l или р.

Пусть диполь с моментом р расположен вдоль оси симметрии некоторого неоднородного поля Е. Возьмем положительное направление оси X, например, как показано на рис. 1.17. Так как в направлении вектора р приращение проекции Еx будет отрицательным, то Fx < 0, а значит, вектор F направлен влево — в сторону, где напряженность поля больше. Если же вектор р на этом рисунке повер-

нуть на 90( так, чтобы центр диполя совпадал с осью симметрии поля, то нетрудно сообразить, что в таком положении проекция Fx 0.

Момент сил, действующих на диполь. Рассмотрим, как ведет себя электрический диполь p во

внешнем электрическом поле E. Как видно из рис. 1.18, силы, действующие на положительный и отрицательный заряды диполя, образуют пару

F+ qE и F– – qE,

Рис. 1.18

плечо которой равно l sin , т. е. за-

висит от ориентации диполя относительно поля E. Модуль каждой из этих сил равен qE, и на диполь будет действовать механический момент N, определяемый, как мы знаем, произведением qE на плечо пары, т. е.

N qE · l sin pE sin ,

где p ql — электрический момент диполя.

Полученную формулу можно представить в векторном виде

Этот момент сил стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент р установился по направлению внешнего поля Е. Такое положение диполя является устойчивым.

В неоднородном электрическом поле диполь будет вести себя следующим образом: под действием момента сил (1.41) диполь будет стремиться установиться по полю (p Е), а под действием результирующей силы (1.39) — переместиться в направлении, где Е по модулю больше. Оба движения будут совершаться одновременно.

Энергия диполя в поле. Мы знаем, что энергия точечного заряда q во внешнем поле равна W q , где — потенциал поля в точке нахождения заряда q. Диполь — это система из двух зарядов, поэтому его энергия во внешнем поле

W q+ + + q– – q ( + – –),