где + и – — потенциал внешнего поля в точках расположения зарядов +q и –q. С точностью до величины второго порядка малости

l, l

где д /дl — производная потенциала по направлению вектора l. Согласно (1.32) д /дl –Еl, поэтому + – – –El l –El и

Из этой формулы следует, что минимальную энергию (Wмин = –pЕ) диполь имеет в положении p Е (положение устойчивого равновесия). При отклонении из этого положения возникает момент внешних сил, возвращающий диполь к положению равновесия.

Задачи

1.1.Очень тонкий диск равномерно заряжен с поверхностной плотностью > 0. Найти напряженность Е электрического поля на оси этого диска в точке, из которой диск виден под телесным углом .

Решение. Из соображений симметрии ясно, что вектор Е на оси диска должен совпадать с направлением этой оси (рис. 1.19). Поэ-

Приведем это выражение к виду, удобному для интегрирования. В нашем случае dx = r d /cos , r = y/cos . Тогда

Проинтегрировав это выражение по от 0 до /2, найдем

Ex /4 0r.

Для нахождения проекции Еr достаточно обратить внимание на то, что dEr отличается от dEx просто заменой sin в (1) на cos . Тогда

dEr cos d /4 0r и Ex /4 0r.

Мы получили интересный результат: Ех = Еr независимо от r, т. е. вектор Е ориентирован под углом 45( к нити. Модуль вектора Е

EEx2 Er2 2/4 0r .

1.4.Теорема Гаусса. Имеется аксиально-симметричное поле, напря-

женность которого зависит только от расстояния r до его оси как E = ar/r2, где a — постоянная. Найти заряд в объеме, ограничен-

ном сферой радиусом R с центром на оси этого поля.

Решение. Искомый заряд равен согласно теореме Гаусса потоку вектора Е через указанную сферу, умноженному на 0. В данном

случае для определения потока можно поступить так. Заметив, что поле Е является осесимметричным (полем заряженной равномерно нити), приходим к выводу, что поток через сферу радиусом R равен потоку через боковую поверхность цилиндра того же радиуса и высотой 2R, расположенного, как показано на рис. 1.22. Тогда

где Er = a/R и S = 2 R · 2R = 4 R2. И окончательно,

q 4 0аR .

лей двух равномерно заряженных шаров. Тогда в произвольной точке А (рис. 1.24) этой области

E E+ + E– (r+ – r–)/3 0 l/3 0.

Таким образом, поле в области пересечения таких шаров является однородным. Этот вывод справедлив независимо от соотношения радиу-

сов шаров и расстояния между их центрами. Он справедлив, в частности, и тогда, когда один шар находится целиком внутри другого, или, другими словами, когда в шаре имеется

Рис. 1.25 сферическая полость (рис. 1.25).

1.7.Воспользовавшись решением предыдущей задачи, найти напряженность Е поля внутри сферы, по которой распределен заряд с

поверхностной плотностью 0cos , где 0 — постоянная, — полярный угол.

Решение. Рассмотрим два шара одинакового радиуса, имеющих равномерно распределенные по объему заряды с плотностями и

. Пусть центры шаров смещены относительно друг друга на расстояние l (рис. 1.26). Тогда согласно решению предыдущей задачи поле в области пересечения этих шаров будет однородным:

E – ( 0/3 0) k,

где k — орт оси Z, от которой отсчитывается угол .

1.8.Потенциал. Потенциал некоторого электрического поля имеет вид

(ху – z2). Найти проекцию вектора Е на направление вектора a = i + 3k в точке M(2, 1, –3).

44 Глава 1

где dq — заряд между сферами, радиусы которых r и r + dr. Отсюда

Подставив (1) в последнее уравнение, получим

– 6 0a,

т.е. заряд внутри шара распределен равномерно.

1.11.Диполь. Найти силу взаимодействия двух точечных диполей с моментами р1 и р2, если векторы р1 и р2 направлены вдоль прямой, соединяющей диполи, и расстояние между последними рав-

но l.

Решение. Согласно (1.39)

F p1 | E/ l |,

где Е — напряженность поля диполя р2, определяемая первой из формул (1.38):

Взяв производную последнего выражения по l и подставив ее в формулу для F, получим

Заметим, что диполи будут притягиваться, если p1 p2, и отталкиваться, если p1+ p2.