С другой стороны, добротность Q также связана с =:

Q / /=T /2=.

Исключив = из последних двух уравнений, получим

t0 2Q ln , .

§ 11.3. Вынужденные электрические колебания

Установившиеся колебания. Вернемся к уравнениям колебательного контура (11.3) и (11.4) и рассмотрим случай, когда в контур включена внешняя переменная э.д.с. , зависящая от времени по гармоническому закону:

Этот закон занимает особое положение благодаря свойствам самого колебательного контура сохранять гармонический вид колебаний при действии внешней гармонической э.д.с.

В данном случае уравнение колебательного контура записывается как

Решение этого уравнения, как известно из математики, представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения.

Нас будут интересовать только установившиеся колебания, т. е. частное решение этого уравнения (общее решение однородного уравнения экспоненциально затухает, и по прошествии некоторого времени оно практически исчезает, обращается в нуль). Нетрудно убедиться, что это решение имеет вид

где qm — амплитуда заряда на конденсаторе; Β — разность фаз между колебаниями заряда и внешней э.д.с. (11.25). Как мы

увидим, qm и Β определяются только свойствами самого контура и вынуждающей э.д.с. , причем оказывается, что Β > 0, поэтому q всегда отстает по фазе от .

Чтобы определить постоянные qm и Β, надо подставить (11.28) в исходное уравнение (11.27) и преобразовать полученное выражение. Мы же поступим несколько иначе (в целях достижения большей простоты): сначала найдем ток I и затем его выражение подставим в исходное уравнение (11.26). Попутно будет решен и вопрос с постоянными qm и Β.

Продифференцировав (11.28) по t, найдем

I – qmsin( t – Β) qmcos( t – Β /2).

Запишем это выражение так:

где Im — амплитуда тока, — сдвиг по фазе между током и внешней э.д.с. ,

Наша задача найти Im и . С этой целью мы поступим следующим образом. Представим исходное уравнение (11.26) в виде

где слева записана сумма напряжений на индуктивности L, сопротивлении R и емкости С. Таким образом, мы видим, что сумма этих напряжений равна в каждый момент внешней э.д.с. . Учитывая соотношения (11.30), запишем:

Векторная диаграмма. Из последних трех формул видно, что UR находится в фазе с током I, UC отстает по фазе от I на/2, a UL опережает I на /2. Все это можно наглядно представить с помощью векторной диаграммы, изобразив амплитуды напряжений

URm RIm, UCm Im/ C, ULm LIm

и их векторную сумму, равную согласно (11.31) вектору величины m (рис. 11.4).

Из прямоугольного треугольника этой диаграммы легко по-

Задача, таким образом, решена. Заметим в заключение, что полу-

ченная нами векторная диаграмма Рис. 11.4 оказывается весьма полезной при решении многих конкретных вопросов. Она позволяет наглядно,

легко и быстро анализировать различные ситуации.

Резонансные кривые. Так называют графики зависимостей от частоты внешней э.д.с. амплитуд следующих величин: тока I, заряда q на конденсаторе и напряжений UR, UC и UL, определяемых формулами (11.32)–(11.34).

Резонансные кривые для силы тока Im( ) показаны на рис. 11.5. Как видно из выражения (11.35), амплитуда силы тока имеет максимальное значение при L – l/ C = 0. Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура:

Максимум при резонансе оказывается тем выше и острее, чем меньше коэффициент затухания = R/2L.

Резонансные кривые для заряда на конденсаторе qm( ) показаны на рис. 11.6 (резонансные кривые для напряжения UCm на конденсаторе имеют такой же вид). Максимум амплитуды заряда достигается при резонансной частоте

которая по мере уменьшения = все больше приближается к 0. Для получения выражения (11.38) надо представить qm согласно (11.30) как qm Im / , где Im дается формулой (11.35). Тогда

Максимум этой функции, или, что то же самое, минимум подкоренного выражения, найдем, приравняв производную поот подкоренного выражения к нулю. Отсюда и получим резонансную частоту (11.38).

Теперь посмотрим, как перераспределяются амплитуды на-

пряжений UR, UC и UL в зависимости от частоты внешней

э.д.с. Эта картина изображена на рис. 11.7.

Резонансные частоты для UR, UC и UL определяются сле-

Чем меньше =, тем ближе резонансные частоты всех величин к значению 0.

Резонансные кривые и добротность Q. Форма резонансных кривых определенным образом связана с добротностью Q контура. Особенно простой эта связь оказывается для случая сла-

(рис. 11.7). Действительно, при = I 0 величина рез 0 и со-

гласно (11.33) и (11.35) UСрез Im/ 0С m/ 0CR, или UCm рез/ mLC/CR = (1/R)L/C, а это, как показывает сравнение с фор-

мулой (11.22), и есть Q.

Таким образом, добротность контура (при = I 0) показывает, во сколько раз максимальное значение амплитуды напряжения на конденсаторе (и на индуктивности) превышает амплитуду внешней э.д.с.

Добротность контура связана и с другой важной характеристикой резонансной кривой — ее шириной. Оказывается, при

где 0 — резонансная частота; — ширина резонансной кривой на «высоте», равной 0,7 от максимальной, т. е. в резонансе.

Резонанс. Явление резонанса в нашем случае — это возбуждение сильных колебаний при частоте внешней э.д.с. или напряжения, равной или близкой к собственной частоте колебательного контура. Резонанс используют для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. На этом основана вся техника радиоприема. Для того чтобы радиоприемник принимал интересующую нас радиостанцию, его необходимо настроить, т. е. изменением С и L колебательного контура добиться совпадения его собственной частоты с частотой электромагнитных волн, излучаемых радиостанцией.