§ 8.3. Следствия из законов преобразования полей

Некоторые простые следствия. Из формул преобразования (8.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.

1. Если в K-системе имеется только электрическое поле Е (а магнитное В 0), то между полями Е и В в K -системе существует такая связь

[v0 E]/c 2 1 =2 [v0 E ]/c 2 , где учтено, что в векторном

произведении можно писать как Е, так и E (это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание, что

B B | | B B , приходим к формуле (8.5).

2. Если в K-системе имеется только магнитное поле В (а

[v0 B]/1 =2 . Заменив в последнем векторном произведении

В на В и затем B на В , приходим к формуле (8.6).

Из формул (8.5) и (8.6) вытекает следующий важный вывод:

если в K-системе имеется лишь одно из полей (Е или В), то в

K -системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (E В ). Заметим, что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнительных ограничениях, накладываемых на модули векторов Е и В.

И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (8.5) и (8.6) входят только величины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.

Поле свободно движущегося релятивистского заряда. Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивитель-

ные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чисто практическом отношении, позволяя иногда проще решать некоторые вопросы.

Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобразования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу 8.10), что линии Е поля

свободно движущегося точечного заряда q имеют вид, показанный на рис. 8.3, где v — скорость заряда. Изображенная здесь картина соответствует мгновенной «фотографии» конфигурации

электрического поля. Вектор Е в произвольной точке Р системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора r, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку Р.

где = v/с; — угол между радиусом-вектором r и вектором v — скоростью заряда.

Электрическое поле «сплющивается» в направлении движения заряда (см. рис. 8.3), причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда v к скорости с. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, «перемещается» вместе с зарядом, вследствие чего поле Е в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменяется со временем.

Зная поле Е, можно найти и поле В в этой же системе отсчета:

Эта формула является следствием соотношения (8.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно v на –v.

При v I с (= I 1) выражения (8.7) и (8.8) переходят соответственно в (1.2) и (6.3).

§ 8.4. Инварианты электромагнитного поля

Поскольку векторы Е и В, характеризующие электромагнитное поле, зависят от системы отсчета (в той же самой про- странственно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т. е. не зависящих от системы отсчета количественных характеристиках электромагнитного поля.

Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой комбинации векторов Е и В, это

Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является следствием формул преобразования полей (8.1) или (8.2). Более подробно этот вопрос рассмотрен в задаче 8.9.

Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто находить решение и делать соответствующие выводы и предсказания. Приведем наиболее важные из них.

1.Из инвариантности ЕВ сразу следует, что в случае, когда

вкакой-либо системе отсчета Е В, т. е. ЕВ = 0, то и во всех других инерциальных системах отсчета E B .

2.Из инвариантности Е2 – с2В2 следует, что в случае, когда

Е= сВ (т. е. Е2 – с2В2 = 0), то и в любой другой инерциальной системе отсчета Е = сВ .

3.Если в какой-либо системе отсчета угол между векторами

Еи В острый (или тупой), — это значит, что ЕВ больше (либо меньше) нуля, — то угол между векторами Е и В также будет

острым (или тупым) во всякой другой системе отсчета.

4.Если в какой-либо системе отсчета Е > сВ (или Е < сВ) — это значит, что Е2 – с2В2 больше (либо меньше) нуля, — то в

любой другой системе отсчета будет также Е > сВ (или

Е < сВ ).

5.Если оба инварианта равны нулю, то во всех системах отсчета Е В и E сВ. Именно это и наблюдается, как мы увидим, в электромагнитной волне.

6.Если равен нулю только инвариант ЕВ, то можно найти такую систему отсчета, в которой или Е 0, или В 0; какое

именно, определяется знаком другого инварианта. Справедли-

во и обратное утверждение: если в какой-либо системе отсчета Е 0 или В 0, то во всякой другой системе отсчета Е В . (Этот вывод был уже в § 8.3.)

И последнее. Нужно помнить, что поля Е и В, вообще говоря, зависят и от координат, и от времени. Поэтому каждый из инвариантов (8.9) относится к одной и той же пространствен- но-временной точке поля, координаты и время которой в разных системах отсчета связаны преобразованиями Лоренца.

Задачи

8.1.Частный случай преобразования полей. Нерелятивистский точечный заряд q движется с постоянной скоростью v. Найти с помощью формул преобразования полей магнитное поле В этого заряда в точке, положение которой относительно заряда определяется ра- диусом-вектором r.

Решение. Перейдем в K -систему отсчета, связанную с зарядом. В этой системе имеется только кулоновское поле напряженностью

4 0 r

где учтено, что в K -системе радиус-вектор r = r (нерелятивистский случай). Теперь перейдем обратно, из K -системы в K-систе- му, которая движется относительно K -системы со скоростью –v. Для этого воспользуемся формулой для поля В из (8.4), в которой роль штрихованных величин будут играть нештрихованные (и на-

Рис. 8.4

оборот), а скорость v0 надо заменить на –v0 (рис. 8.4). В нашем случае v0 = v, поэтому В = В + [vЕ ]/с2. Учитывая, что в K -систе- ме В = 0 и что с2 = 1/ 0<0, находим

B<0 q[ vr ] . 4 r3

216 Глава 8

Мы получили формулу (6.3), которая ранее была постулирована как результат обобщения опытных фактов.

8.2. Большая пластинка из однородного диэлектрика с проницаемостью движется с постоянной нерелятивистской скоростью v в однородном магнитном поле В, как показано на рис. 8.5. Найти поляризованность Р диэлектрика и поверхностную

образования полей (8.4)

E [ vB ].

0

Поляризованность диэлектрика

P k 0E 0 1[ vB ],

где учтено, что внутри диэлектрика согласно (3.29) E E / . По-

0

верхностная плотность связанных зарядов

причем на той поверхности пластинки, которая обращена к нам (см. рис. 8.5), > 0, на противоположной < 0.

8.3.Имеется незаряженный длинный прямой провод с током I. Найти заряд на единицу длины этого провода в системе отсчета, движу-

щейся поступательно с нерелятивистской скоростью v0 вдоль проводника в направлении тока I.

Решение. В движущейся системе отсчета согласно формулам преобразования (8.4) появится электрическое поле Е‘ = [v0B], или

Здесь выражение для В получено с помощью теоремы о циркуляции.

С другой стороны, по теореме Гаусса (в движущейся системе отсчета)

где — заряд на единицу длины провода. Из сравнения (1) и (2) находим

–v0 I/c2,

Согласно формулам преобразования (8.1)

E E [ vB ] 0, 1 =2

ибо в нашем случае сила Лоренца, а значит, и величина Е + [vB] равны нулю.

Для магнитного поля согласно тем же формулам преобразования

B B [ vE ]/ c2 .

B B1 (E / cB)2 .

Полезно убедиться, что полученные выражения удовлетворяют обоим инвариантам поля.

8.6. Движение заряда в скрещенных Е и В полях. Нерелятивистская частица с удельным зарядом q/m движется в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные Е и В поля (рис. 8.7). В момент t = 0 частица находилась в точке О и имела нулевую скорость.

Найти закон движения частицы, x(t) и y(t).

Решение. Движение частицы происходит под действием силы Лоренца, причем, как нетрудно сообразить, все время в плоскости XY. Проще всего ее движение будет выглядеть в такой K -системе отсчета, где будет наблюдаться то-

лько магнитное поле. Найдем эту систему отсчета.

Из преобразований (8.4) следует, что Е = 0 в такой системе отсчета, которая движется со скоростью v0, удовлетворяющей соотношению E = –[v0B]. Лучше всего взять ту K -систему, скорость v0 которой направлена в положительную сторону оси Х (рис. 8.7), ибо в такой системе отсчета частица будет двигаться перпендикулярно вектору В и ее движение будет наиболее простым.

Итак, в K -системе отсчета, которая движется вправо со скоростью v0 = Е/В, поле Е = 0 и будет наблюдаться только поле В. Согласно (8.4) и рис. 8.7

B B – [ v0E ]/ c2 B(1 – v02 / c2 ).

Для нерелятивистской частицы v0 I с, и можно считать, что

В = В.

В данной K -системе отсчета частица будет двигаться только в магнитном поле, причем перпендикулярно его направлению. Уравнение движения частицы в этой системе отсчета будет иметь вид

Это уравнение записано для момента t = 0, когда в K -системе частица двигалась, как показано на рис. 8.8. Так как сила Лоренца F направлена всегда перпендикулярно скорости частицы, то v0 = const и из (1) следует, что частица в K -системе будет двигаться по окруж-

ности радиусом

Рис. 8.8

R = mv0/qB.

Таким образом, частица движется равномерно со скоростью v0 по окружности в K -системе, которая, в свою очередь, перемещается равномерно вправо также со скоростью

v0 = Е/В. Так ведет себя точка q на ободе колеса (рис. 8.9), катящегося с угловой скоростью v0/R qB/m.

Из рис. 8.9 сразу видно, что координаты частицы q в момент t есть

x v0t – R sin t a( t – sin t),

y R – R cos t a(1 – cos t),

где a mE/qB2, qB/m. Рис. 8.9

8.7.В инерциальной K-системе отсчета имеется только однородное электрическое поле Е. Найти модули и направления векторов Е и В в K -системе отсчета, движущейся по отношению к K-системе

с постоянной релятивистской скоростью v0 под углом к вектору Е.

220 Глава 8

Решение. Согласно формулам преобразования (8.1) с учетом того, что в K-системе В = 0, получим

Аналогичным образом найдем модуль и направление вектора В :

Отсюда видно, что при v0 c (= 1) угол /2. Можно сделать и обратное заключение: если в одной системе отсчета известны Е и В, причем угол между этими векторами меньше 90(, то существуют системы отсчета, где оба вектора Е и В взаимно параллельны.

8.9.Инвариант ЕВ. Показать с помощью формул преобразования (8.1), что величина ЕВ является инвариантом.

Решение. В K -системе отсчета это произведение

Перепишем последнее слагаемое с помощью формул (8.1):

Учитывая, что векторы Е и B перпендикулярны вектору v0, преобразуем числитель выражения (2) к виду

что и требовалось показать.

8.10.Поле Е равномерно движущегося заряда. Точечный заряд q движется равномерно и прямолинейно с релятивистской скоростью v. Найти напряженность Е поля этого заряда в точке, ради- ус-вектор которой относительно заряда равен r и составляет уголс вектором v.

Решение. Пусть заряд движется в положительном направлении оси Х K-системы отсчета. Перейдем в K -систему, в начале координат которой этот заряд покоится (оси X и Х обеих систем совпадают, оси Y и Y — параллельны). В K -системе поле Е заряда имеет наиболее простой вид

Теперь совершим обратный переход в исходную K-систему, которая движется относительно K -системы со скоростью –v. В момент, когда заряд проходит через начало координат K-системы, проекции х и y вектора r связаны с проекциями х и у вектора r следующими соотношениями:

где = v/с. Здесь учтено, что продольные размеры испытывают лоренцево сокращение, поперечные же не меняются. Кроме того, согласно преобразованиям, обратным (8.2),

Подставив сюда выражения (1), а в них вместо х и у соответствующие выражения из формул (2), получим

Заметим, что Ex/Ey = x/y, т. e. вектор Е направлен радиально, вдоль вектора r. Дело обстоит так, как если бы эффект запаздывания вообще отсутствовал. Но это имеет место только в случае v = const, если же заряд движется с ускорением, поле Е оказывается не радиальным. Остается найти модуль вектора Е:

то напряженность

1q 1 =2

E4 4 r2 (1 =2 sin 2 )3/ 2 .

8.11.Взаимодействие двух движущихся зарядов. Две релятивистские частицы с одинаковым зарядом q движутся

параллельно друг другу с одинаковой скоростью v, как показано на рис. 8.12. Расстояние между частицами l. Воспользовавшись выражением (8.7), найти силу взаимодействия между частицами.

Решение. В данном случае угол между вектором v одной из частиц и направлением на другую частицу = 90(, поэтому электри-

ческая часть силы Лоренца в соответствии с формулой (8.7)

и магнитная часть силы Лоренца

где принято во внимание, что в нашем случае В связано с Е формулой (8.5), из которой B = vE/c2, c2 = l/ 0<0. Заметим, что отношение

Fм/Fэ 0<0v2 (v/c)2,

как и в нерелятивистском случае (6.5). Видно, что при v c магнитная часть силы Fм Fэ.

Результирующая сила взаимодействия (отталкивания)

1 q2 2

F Fэ Fм 4 0 l2 1 = .