§ 8.1. Электромагнитное поле. Инвариантность заряда

До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное поля раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя.

Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться вместе как одно полное электромагнитное поле. Другими словами, оказывается, что электрическое и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным полем.

Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относительный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе. Приведем некоторые примеры.

Заряд движется в инерциальной K-системе отсчета с постоянной скоростью v. В этой системе отсчета мы будем наблюдать как электрическое, так и магнитное поля данного заряда, причем оба поля переменные во времени. Если же перейти в инерциальную K -систему, перемещающуюся вместе с зарядом, то в ней заряд покоится и мы будем наблюдать только электрическое поле.

Два одинаковых заряда движутся в K-системе отсчета навстречу друг другу с одинаковой скоростью u. В этой системе отсчета мы будем наблюдать и электрическое, и магнитное поля, оба переменные. Найти такую K -систему, где наблюдалось бы только одно из полей, в данном случае нельзя.

В K-системе отсчета существует постоянное неоднородное магнитное поле (например, поле неподвижного постоянного магнита). Тогда в K -системе, движущейся относительно K-сис- темы, мы будем наблюдать переменное магнитное поле, и как увидим далее, электрическое поле.

Таким образом, становится ясным, что соотношения между электрическим и магнитным полями оказываются разными в различных системах отсчета.

Прежде чем обратиться к основному содержанию этой главы — законам преобразования полей при переходе от одной системы отсчета к другой, выясним следующий важный для дальнейшего вопрос: как ведут себя при таких переходах сам электрический заряд q и теорема Гаусса для вектора Е.

Инвариантность заряда. В настоящее время имеются исчерпывающие доказательства того, что полный заряд изолированной системы не меняется при изменении движения носителей заряда.

В качестве доказательства можно сослаться на нейтральность газа, состоящего из молекул водорода. В этих молекулах электроны движутся со значительно большими скоростями, нежели протоны. Поэтому если бы заряд зависел от скорости, то заряды электронов и протонов не были бы скомпенсированы — газ оказался бы заряженным. Наблюдения же никакого заряда не обнаружили (с точностью до 10–20 !).

Или, например, нагрев куска вещества. Поскольку масса электрона значительно меньше массы ядер, скорость электронов при нагреве должна увеличиваться больше, чем у ядер. И если бы заряд зависел от скорости, то при нагреве вещество становилось бы заряженным. Ничего подобного никогда не наблюдалось.

Далее, если бы заряд электрона зависел от скорости, то в ходе химических реакций суммарный заряд вещества изменялся бы, поскольку средние скорости электронов в веществе зависят от его химического состава. Расчет показывает, что даже небольшая зависимость заряда от скорости приводила бы даже в простейших химических реакциях к огромным электрическим полям. Но и здесь ничего похожего не наблюдалось.

И наконец, расчет и работа всех современных ускорителей заряженных частиц основаны на предположении, что заряд ча-

стиц не меняется при изменении их скорости. Итак, мы приходим к выводу, что заряд любой частицы — релятивистски инвариантная величина, не зависящая от скорости частицы, от выбора системы отсчета.

Инвариантность теоремы Гаусса для поля Е. Оказывается — это следует как обобщение экспериментальных фактов, — что теорема Гаусса KЕ dS q/ 0 справедлива не только для покоящихся зарядов, но и для движущихся. При этом поверхностный интеграл должен быть вычислен для одного и того же момента времени в данной системе отсчета.

Кроме того, поскольку различные инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу (согласно принципу относительности), мы можем утверждать, что теорема Гаусса справедлива во всех инерциальных системах отсчета.

§ 8.2. Законы преобразования полей Е и В

При переходе от одной системы отсчета к другой поля Е и В определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории относительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспроизводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.

Постановка вопроса. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: K-система и движущаяся относительно нее со скоростью v0 cистема K . В некоторой пространственно-времен- ной точке K-системы отсчета известны значения полей Е и В. Какими будут значения полей Е и В в той же самой простран- ственно-временной точке в K -системе отсчета? Напомним, что одной и той же пространственно-временной точкой называют такую, координаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями Лоренца*.

Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (8.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле

E = [vB].

Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.

Поверхностная плотность этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле Е , ибо при равновесии результирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.11), получим

0E 0vB.

Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе отсчета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 8.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряженной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила qE компенсирует магнитную часть силы Лоренца q[vB], откуда Е = –[vB]. Это поле связано с той же формулой 4vB.

Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.

Релятивистская природа магнетизма. Из формул преобразования полей (8.1) и (8.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости с, равной скорости свете в вакууме.

Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рассмотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета K, где он покоится, существует только электрическое поле. А это значит согласно (8.1), что в любой другой K -системе отсчета, если бы с %, никакого магнитного поля В не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности с, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.

Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.

В отличие от большинства релятивистских явлений магнетизм во многих случаях обнаруживается сравнительно легко, например магнитное поле проводника с током. Причина подобных благоприятных обстоятельств обусловлена тем, что магнитное поле может создаваться очень большим числом движущихся зарядов при условии почти полного исчезновения электрического поля из-за практически идеального баланса числа электронов и протонов в проводниках. В этих случаях магнитное взаимодействие оказывается преобладающим.

Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить релятивистские эффекты (т. е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов Ньютона не пришлось уточнять.

Поле не движется, а изменяется. Поскольку электрическое

имагнитное поля появляются в разных соотношениях при изменении системы отсчета, следует проявлять определенную осторожность в обращении с полями Е и В. Скажем, уже вопрос о силе, действующей на заряд со стороны движущегося магнитного поля, не имеет сколько-нибудь точного содержания. Сила определяется значениями величин Е и В в точке нахождения заряда. Если в результате движения источников полей Е и В их значения в этой точке будут меняться, изменится

исила, в противном случае движение источников на значении силы не отразится.

Таким образом, при решении вопроса о силе, действующей на заряд, необходимо знать Е и В в точке нахождения заряда и его скорость v, причем все эти величины должны быть взяты относительно интересующей нас инерциальной системы отсчета.

Если же когда и говорят о «движущемся» поле, то это нужно понимать просто как краткий и удобный способ словесного описания изменяющегося поля в определенных условиях и ничего более.

Насколько надо проявлять осторожность в обращении с полем при переходе из одной системы отсчета к другой, станет ясно хотя бы уже из такого простого примера.

Пример. Заряженная частица покоится между полюсами магнита, неподвижного в K-системе от-

счета. Перейдем в K -систему, которая движется вправо (рис. 8.2) с нерелятивистской скоростью v0 — относительно K-системы. 1. Можем ли мы утверждать, что в K -системе заряженная частица движется в магнитном поле? 2. Най-

дем силу, действующую на эту частицу в K -системе.

1.Да, частица движется в магнитном поле. Но, заметим, в магнитном поле, а не относительно магнитного поля. Имеет смысл говорить о движении частицы относительно системы отсчета, магнита и других тел, но только не относительно магнитного поля. Последнее просто не имеет физического смысла. Все это касается не только магнитного, но и электрического поля.

2.Чтобы найти силу, надо учесть, что в K -системе появится

иэлектрическое поле Е = [v0B], оно направлено на нас (рис. 8.2). В K -системе заряд будет двигаться влево со скоростью

–v0, причем это движение будет происходить в скрещенных электрическом и магнитном полях. Пусть для определенно-

сти заряд частицы q > 0, тогда сила Лоренца в K -системе

F = qE + q[–v0B] = q([v0B] – [v0B]) = 0,

что, впрочем, можно было и сразу сказать исходя из факта инвариантности силы при нерелятивистских преобразованиях из одной системы отсчета в другую.