Задачи

7.1.Условия на границе раздела. Вблизи точки А (рис. 7.16) границы раздела магнетик — ваку-

ум магнитная индукция в вакууме равна В0, причем вектор В0 составляет угол 0 с нормалью к границе раздела в данной точке. Маг-

нитная проницаемость магнетика равна <. Найти магнитную индукцию В в магнетике

Имея в виду условия (7.20) и (7.22) на границе раздела, найдем

Bn = B0 cos 0,

0H0 <<0H00 <B00 <B0 sin 0,

где H00 — тангенциальная составляющая вектора Н0 в вакууме. Подставив эти выражения в (1), получим

BB0cos2 0 < 2 sin 2 0 .

7.2.Поверхностный ток намагничивания. Длинный тонкий проводник с током I расположен перпендикулярно плоской границе раздела вакуум — магнетик (рис. 7.17). Проницаемость магнетика <. Найти линейную плотность поверхностного тока намагничивания i на этой границе раздела

взависимости от расстояния r до проводника.

Решение. Прежде всего о конфигурации поверхностного тока намагничивания. Из рис. 7.17 не-

трудно сообразить, что этот ток направлен радиально. Воспользуемся теоремой о циркуляции намагниченности J, взяв в качестве контура небольшой прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна току намагничивания в данном месте. Расположение этого контура показано на рис. 7.18, где крестиками отмечено направление поверхностного тока намагничивания. Из ра-

венства Jl = i l получим i = J.

7.4.Циркуляция векторов Н и J. Постоянный ток I течет вдоль длинного однородного цилиндрического провода круглого сечения радиусом R. Материалом провода является парамагнетик с восприимчивостью ?. Найти: 1) зависимость индукции В от расстояния r до оси провода; 2) плотность тока намагничивания j внутри провода.

Решение. 1. Из циркуляции вектора Н по окружности радиусом r с центром на оси провода следует, что

На рис. 7.20 показаны графики зависимостей H(r) и В(r).

2. Воспользуемся теоремой о циркуляции намагниченности J по окружности радиусом r (см. рис. 7.20): 2 rJ = I , где I — ток намагничивания, охватываемый этим контуром. Найдем диффе-

ренциал этого выражения (при перехо- Рис. 7.20 де от r к r + dr):

2 d(rJ) = dI'.

Так как dI = j 2 r dr, то предыдущее уравнение можно преобразовать к виду

j J dJ .

rdr

Теперь учтем, что J H (?I/2 R2)r. Тогда получим

j ?I/ R2.

Нетрудно сообразить, что этот ток течет в ту же сторону, что и ток проводимости (в отличие от поверхностного тока намагничивания, текущего в противоположную сторону).

7.5.Длинный соленоид заполнен неоднородным изотропным парамагнетиком, восприимчивость которого зависит только от расстояния r до оси соленоида как ? аr2, где а — постоянная. На оси солено-

ида магнитная индукция равна В0. Найти зависимость от расстояния r: 1) намагниченности, J(r); 2) плотности тока намагничива-

ния, j (r).

Решение. 1. Намагниченность J H. В нашем случае Н не зависит от r (это непосредственно следует из циркуляции вектора Н по контуру, показанному на рис. 7.21 слева). Поэтому Н = Н0 — на оси соленоида, и мы получаем

Jar2H0 ar2B0/<0.

2.Из теоремы о циркуляции намагниченности J по бесконечно уз-

кому контуру, показанному на рис. 7.21 справа, следует

где l — высота контура, dr — его ширина. Отсюда

Знак минус показывает, что вектор j' направлен против вектора нормали n, образующего с направлением обхода контура правовинтовую систему. Другими словами, вектор j' направлен в ме-

сте расположения правого (на рисунке) контура на нас, т. е. объемные токи намагничивания образуют с вектором В0 левовинтовую систему.

7.6. Постоянный магнит имеет вид кольца с узким зазором между полюсами. Средний диаметр кольца равен d. Ширина зазора b, магнитная индукция поля в зазоре В. Пренебрегая рассеянием поля на краях зазора, найти модули векторов Н и J внутри вещества.

( d – b)H0 + bB/<0 = 0,

где Н0 — проекция вектора Н на направление обхода контура (оно взято совпадающим с направлением вектора В в зазоре). Отсюда

Знак минус показывает, что направление вектора Н внутри вещества магнита противоположно вектору В в той же точке. Заметим, что при b 0 и Н 0.

Модуль намагниченности J найдем по формуле (7.11), используя результат (1):

7.7.На железном сердечнике в виде тора со средним диаметром d имеется обмотка с общим числом витков N. В сердечнике сделана узкая поперечная прорезь шириной b (см. рис. 7.22). При токе I через обмотку магнитная индукция в прорези равна В. Пренебрегая рассеянием поля на краях прорези, найти магнитную проницаемость железа в этих условиях.

Решение. Согласно теореме о циркуляции вектора Н по окружности диаметром d (см. рис. 7.22) имеем

( d – b)H + bH0 NI,

где Н и H0 — модули вектора Н соответственно в железе и прорези. Кроме того, отсутствие рассеяния поля на краях прорези означает, что

B B0.

Из этих двух уравнений с учетом того, что В 0H и b I d, получим

восприимчивость парамагнетика, если максимальная сила притяжения равна Fm.

Решение. 1. Пусть для определенности вектор В на оси направлен вверх, туда же направим и ось X. Тогда согласно (6.34) Fx = = рmдВ/дх, где учтено, что магнитный момент рm направлен туда же, куда и вектор В (для парамагнетика), поэтому дn заменено на

дх.

Далее, так как рm = JV = ?HV и дВ/дх = –2аВ0х еxp(–ax2), то

где A 2aB02 ?V /<<0 .

Вычислив производную dFx/dx и приравняв ее к нулю, получим cледующее уравнение для определения xm: 1 – 4ах2 = 0, откуда

2. После подстановки (2) в (1) найдем

? <0 Fm e , B02V a

где учтено, что для парамагнетика < 1.

7.9. Длинный тонкий цилиндрический стержень из парамагнетика с магнитной восприимчивостью ? и площадью поперечного сечения S расположен вдоль оси катушки с током. Один конец стержня находится в центре катушки, где магнитное поле равно В, а другой конец — в области, где магнитное поле практически отсутствует. С какой силой катушка действует на стержень?

Решение. Выделим мысленно элемент стержня длиной dx (рис. 7.25). На него действует сила

dFx dpm Bx . n

Пусть вектор В на оси катушки направлен вправо (на рисунке), в сторону положительных х. Тогда Вx = В, дп = дх, и так как dpm = JSdx = ?HS dx, то

Проинтегрировав это выражение, получим

Знак минус показывает, что вектор F направлен влево, т. е. стержень притягивается к катушке с током.

7.10.Небольшой шарик объемом V из парамагнетика с магнитной восприимчивостью ? переместили вдоль оси катушки с током из точки, где магнитная индукция равна В, в область, где поле практически отсутствует. Какую при этом совершили работу против магнитных сил?

Решение. Направим ось Х вдоль оси катушки. Тогда элементарная работа против магнитных сил при перемещении шарика на dx будет иметь вид

где Fx — проекция на ось Х магнитной силы (6.34), а знак минус означает, что работа производится против этой силы.

Пусть вектор В на оси направлен в сторону положительных х, тогда Вx = В и дп = дх (в противном случае Вx = –В, дп = –дх, т. е. производная дВх/дп не зависит от того, куда направлен вектор В). Учитывая, что рm JV HV, перепишем уравнение (1) в виде

A ?NV B dx ?V B dB.x <<0

Проинтегрировав это выражение от В до 0, получим

Следует обратить внимание на тот факт, что полученный результат — работа А — не зависит от характера зависимости B(x).