т. е. ротор намагниченности J равен плотности тока намагничивания в

той же точке пространства.

Замечание о поле вектора J. Свойства поля вектора J, выраженные уравнениями (7.5) и (7.6), разумеется, не означают, что само поле J определяется только токами I . Поле вектора J (оно ограничено только той областью пространства, которое заполнено магнетиком) зависит от всех токов — как от тока намагничивания I , так и от тока проводимости I. Однако в некоторых случаях с определенной симметрией дело обстоит так, как будто поле вектора J определяется только токами I .

Пример. Найдем поверхностный ток намагничивания, приходящийся на единицу длины цилиндра из однородного магнетика, если его намагниченность J, причем вектор J направлен всюду вдоль оси цилиндра.

Применим уравнение (7.5) к контуру, выбранному так, как показано на рис. 7.5. Циркуляция вектора J по этому контуру равна, как нетрудно сообразить, произведению Jl. Ток намагничивания здесь поверхностный. Если обозначить его линейную плотность буквой i , то рассматриваемый контур охватывает ток намагничивания i l. Из равенства Jl = i l получаем

Рис. 7.5

Отметим попутно, что векторы i и J взаимно перпендикулярны: i J.

§ 7.3. Вектор Н

Теорема о циркуляции вектора Н (для магнитного поля постоянных токов). В магнетиках, помещенных во внешнее магнитное поле, возникают токи намагничивания, поэтому циркуляция вектора В теперь будет определяться не только токами проводимости, но и токами намагничивания, а именно:

где I и I — токи проводимости и намагничивания, охватываемые заданным контуром Г.

Ввиду того что определение токов I в общем случае задача сложная, формула (7.8) становится малопригодной в практическом отношении. Оказывается, однако, можно найти некоторый вспомогательный вектор, циркуляция которого будет определяться только токами проводимости, охватываемыми контуром Г. Действительно, мы уже знаем, что с током I связана циркуляция намагниченности:

Предполагая, что циркуляция векторов В и J берется по одному и тому же контуру Г, выразим I в уравнении (7.8) по формуле (7.9), тогда:

Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой Н.

Итак, мы нашли некоторый вспомогательный вектор Н:

циркуляция которого по произвольному контуру Г равна алгебраической сумме токов проводимости I, охватываемых этим контуром:

Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора Н:

циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром.

Правило знаков для токов то же, что и в случае циркуляции вектора В (см. с. 152).

Заметим, что вектор Н представляет собой комбинацию двух совершенно различных величин В/<0 и J. Поэтому вектор Н — это действительно вспомогательный вектор, не имеющий ско- лько-нибудь глубокого физического смысла*. Однако важное свойство вектора Н, выраженное в теореме о его циркуляции, оправдывает введение этого вектора: во многих случаях он значительно упрощает изучение поля в магнетиках.

И еще, соотношения (7.11) и (7.12) справедливы для любых магнетиков, в том числе и анизотропных.

Из формулы (7.12) видно, что модуль вектора Н имеет размерность силы тока, деленной на длину. В связи с этим единицей величины Н является ампер на метр (А/м).

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора Н:

т. е. ротор вектора Н равен плотности тока проводимости в той же точке вещества.

Связь между векторами J и Н. Мы уже знаем, что намагниченность J зависит от магнитной индукции В в данной точке вещества. Однако J принято связывать не с В, а с вектором Н. Мы ограничимся пока рассмотрением только таких магнетиков, для которых зависимость между J и Н имеет линейный характер, а именно:

где ? — магнитная восприимчивость, безразмерная величина, характерная для каждого данного магнетика (безразмерность ? следует из того, что согласно (7.11) размерности Н и J одинаковы).

В отличие от диэлектрической восприимчивости k, которая всегда положительна, магнитная восприимчивость ? бывает как положительной, так и отрицательной. Соответственно магнетики, подчиняющиеся зависимости (7.14), подразделяют на

парамагнетики (? > 0) и диамагнетики (? < 0). У парамагнетиков J Н, у диамагнетиков J + Н.

*Величину Н часто называют напряженностью магнитного поля, однако мы

не будем пользоваться этим термином, чтобы лишний раз подчеркнуть вспомогательный характер вектора Н.

Заметим, что кроме этих магнетиков существуют ферромагнетики, у которых зависимость J(Н) имеет весьма сложный характер: она не линейная и, помимо того, наблюдается гистерезис, т. е. зависимость J от предыстории магнетика. (Более подробно о ферромагнетиках будет рассказано в § 7.6.)

Связь между В и Н. Для магнетиков, которые подчиняются зависимости (7.14), выражение (7.11) принимает вид (1 + ?)НB/<0. Отсюда

У парамагнетиков < > 1, у диамагнетиков < < 1, причем как у тех, так и у других < отличается от единицы весьма мало, т. е. магнитные свойства этих магнетиков выражены очень слабо.

Замечание о поле вектора Н. Обратимся к вопросу, с которым связано довольно часто встречающееся заблуждение: от каких токов зависит поле вектора Н? Поле Н зависит, вообще говоря, от всех токов — и от токов проводимости, и от токов намагничивания (как и поле вектора В). Об этом говорит уже формула (7.15). Однако в некоторых случаях поле Н определяется только токами проводимости — именно для таких случаев вектор Н является весьма полезным. Вместе с тем это дает повод ошибочно думать, что поле вектора Н якобы зависит всегда только от токов проводимости, и неверно трактовать теорему о циркуляции вектора Н и уравнение (7.13). Указанная теорема выражает только определенное свойство поля вектора Н, само же поле этого вектора она не определяет.

В каждой точке пространства поле В обусловлено как током проводимости I, так и токами намагничивания в парамагнетике. А так как в нашем случае согласно (7.15) Н = В/<<0, то сказанное относится и к полю вектора Н — оно тоже зависит и от тока проводимости I, и от токов намагничивания.

Удаление куска парамагнетика приведет к изменению поля В, а значит, и поля Н. Изменится и циркуляция вектора В по контуру Г, так как поверхность, натянутую на контур Г, уже не будут пронизывать токи намагничивания, остается только ток проводимости. Циркуляция же вектора Н по контуру Г остается прежней, несмотря на изменение самого поля Н.

Когда внутри магнетика j = 0? Мы сейчас покажем, что токи намагничивания внутри магнетика будут отсутствовать, если: 1) магнетик однородный и 2) внутри него нет токов проводимости (j 0). В этом случае при любой форме магнетика и при любой конфигурации магнитного поля можно быть уверенным, что объемные токи намагничивания равны нулю и остаются только поверхностные токи намагничивания.

Для доказательства этого воспользуемся теоремой о циркуляции вектора J по произвольному контуру Г, взятому целиком внутри магнетика. В случае однородного магнетика можно, заменив J на ?Н, вынести в уравнении (7.5) ? из-под интеграла и записать

I ? KHdl.

Оставшийся интеграл равен согласно (7.12) алгебраической сумме токов проводимости I, охватываемых контуром Г, поэтому для однородного магнетика

Это соотношение между токами I и I справедливо для любого контура внутри магнетика, в частности и для очень малого кон-

тура, когда I dI jn dS и I dI = jn dS. Тогда jn dS ?jn dS, и после сокращения на dS мы получим jn ?jn . Последнее ра-

венство выполняется при любой ориентации малого контура, т. е. при любом направлении нормали n к нему. А это значит, что таким же равенством связаны и сами векторы j и j: