ки A к точке B — по внешнему участку цепи, внутри же источника «подняться» от точки B к точке A им помогают сторонние силы, обозначенные стрелкой.

§ 5.4. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

Расчет разветвленных цепей, например нахождение токов в отдельных ее ветвях, значительно упрощается, если пользоваться двумя правилами Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа — оно относится к узлам цепи, т. е. к точкам ее разветвления: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Уравнение (5.17) является следствием условия стационарности (5.5); если бы это было не так, в узле изменялся бы заряд и токи не были бы стационарными.

Второе правило Кирхгофа — оно относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру: алгебраи-

ческая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в этом контуре:

Для доказательства этого правила достаточно рассмотреть случай, когда выделенный контур состоит из трех участков (рис. 5.5). Зададим направление обхода, например, по часовой стрелке, как показано на рисунке. Затем применим к каждому

из трех участков закон Ома (5.15):

I1R1 2 – 3 + 1,

I2R2 3 – 1 + 2,

I3R3 1 – 2 + 3.

Рис. 5.5 Сложив эти равенства, приходим после сокращения всех потенциалов к форму-

ле (5.18), т. е. ко второму правилу Кирхгофа.

Таким образом, уравнение (5.18) является следствием закона Ома для неоднородных участков цепи.

Составление системы уравнений. Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную систему алгебраических уравнений, из которой могут быть найдены, например, все неизвестные токи.

Уравнений (5.17) и (5.18) надо составлять столько, чтобы их число было равно числу искомых величин. При этом надо следить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других:

1)если в разветвленной цепи имеется N узлов, то независимые уравнения типа (5.17) можно составить лишь для N – 1 узлов; уравнение для последнего узла будет следствием предыдущих;

2)если в разветвленной цепи можно выделить несколько замкнутых контуров, то независимые уравнения типа (5.18) можно составить только для тех контуров, которые не получаются в результате наложения уже рассмотренных. Например, для цепи (рис. 5.6) такие уравнения для контуров 124 и 234 будут независимыми. Уравнение же для контура 1234 является

следствием двух предыдущих. Можно составить независимые уравнения для двух других контуров, например для контуров 124 и 1234, но тогда уравнение для контура 234 будет следствием двух первых. Число независимых

Рис. 5.6 уравнений типа (5.18) оказывается равным наименьшему числу разрывов, которые следует сделать в цепи, чтобы нарушить все контуры.

Это число, кстати, равно числу областей, ограниченных про-

Цепь содержит N 2 узла. Значит, независимых уравнений типа (5.17) только одно:

I + I1 + I2 = 0.

Теперь составим уравнения типа (5.18) — их должно быть два (по числу областей). Возьмем контур, содержащий R и R1, и контур с R и R2. Выбрав направление обхода каждого контура по часовой стрелке, запишем

–IR + I1R1 = – 1, –IR + I2R2 = – 2.

Полезно убедиться, что соответствующее уравнение для контура, содержащего R1 и R2, является следствием этих двух. Решив систему написанных трех уравнений, получим

R1R2 RR1 RR2

Если после подстановки числовых значений окажется, что I > 0, то это значит, что в действительности ток течет так, как мы предположили на рис. 5.8, если же I < 0, то в противоположном направлении.

§5.5. Закон Джоуля–Ленца

Спрохождением тока через проводник, обладающий сопротивлением, неразрывно связано выделение теплоты (нагревание проводников). Наша задача — найти количество теплоты, выделяющееся за единицу времени на определенном участке цепи. Здесь возможны два случая, которые мы и рассмотрим последовательно, — однородный и неоднородный участки цепи. В основу решения этого вопроса мы возьмем закон сохра-

нения энергии и закон Ома.

Однородный участок цепи. Пусть интересующий нас участок заключен между сечениями 1 и 2 проводника (рис. 5.9). Найдем работу, которую совершают силы поля над носителями тока на участке 12 за время dt.

через сечение 2. Так как распределение зарядов в проводнике остается при этом неизменным (ток постоянный), то весь процесс эквивалентен непосредственному переносу заряда dq от сечения 1 к сечению 2, имеющих потенциалы 1 и 2.

Поэтому совершаемая при таком переносе работа сил поля

A dq( 1 – 2) I( 1 – 2)dt.

Согласно закону сохранения энергии эквивалентная этой работе энергия должна выделяться в иной форме. Если проводник неподвижен и в нем не происходят химические превращения, то эта энергия должна выделяться в форме внутренней (тепловой) энергии, в результате чего проводник нагревается. Механизм этого превращения достаточно прост: носители тока (например, электроны в металлах) в результате работы сил поля приобретают дополнительную кинетическую энергию и затем расходуют ее на возбуждение колебаний решетки при столкновении с ее узлами-атомами.

Итак, согласно. .закону сохранения энергии элементарная работа A Qdt, где Q — теплота, выделяемая в единицу времени (тепловая мощность). Из сравнения последнего равенства с предыдущим полу-

чаем

.

Q I ( 1 2 ).

Эта формула выражает известный закон Джоуля—Ленца. Получим выражение этого закона в локальной форме, ха-

рактеризующей выделение теплоты в различных местах проводящей среды. Для этой цели выделим в данной среде элементарный объем в виде цилиндрика с образующими, параллельными вектору j — плотности тока в данном месте. Пусть поперечное сечение цилиндрика dS, а его длина dl. Тогда на основании закона Джоуля–Ленца в этом объеме за время dt выделяется количество теплоты

Q RI 2dt dl ( j dS )2 dt j 2 dV dt, dS

где dV dS dl — объем цилиндрика. Разделив последнее уравнение на dV dt, получим формулу, которая определяет количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема проводящей среды, — удельную тепловую мощность тока:

Эта формула выражает закон Джоуля–Ленца в локальной форме: удельная тепловая мощность тока пропорциональ-

на квадрату плотности электрического тока и удельному сопротивлению среды в данной точке.

Уравнение (5.20) представляет собой наиболее общую форму закона Джоуля–Ленца, применимую к любым проводникам вне зависимости от их формы, однородности и от природы сил, возбуждающих электрический ток. Если на носители тока действуют только электрические силы, то на основании закона Ома (5.10)

Таким образом, последнее уравнение имеет менее общий характер, нежели (5.20).

Неоднородный участок цепи. Если участок цепи содержит источник э.д.с., то на носители тока будут действовать не только электрические силы, но и сторонние. В этом случае выделяемое в неподвижном проводнике тепло будет равно по закону сохранения энергии алгебраической сумме работ электрических и сторонних сил. Это же относится и к соответствующим мощностям: тепловая мощность должна быть равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил. Проще всего в этом можно убедиться, умножив выражение (5.15) на I:

Здесь слева стоит выделяющаяся на участке тепловая мощ-

. .

ность Q; при наличии сторонних сил величина Q определяется той же формулой (5.19), что и для однородного участка цепи. Последнее же слагаемое справа представляет собой мощность, развиваемую сторонними силами на данном участке. Заметим еще,

что последняя величина ( I) является алгебраической: в отличие от RI2 она изменяет знак при изменении направления тока I.

Таким образом, уравнение (5.22) означает, что тепловая мощность, выделяемая на участке цепи между точками 1 и 2, равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил. Сумму этих мощностей, т. е. правую часть (5.22), называют мощностью тока на рассматриваемом участке цепи. Тогда можно сказать, что в случае неподвижного участка цепи мощность выделяемой на этом участке теплоты равна

т. е. общее количество выделяемой за единицу времени во всей цепи джоулевой теплоты равно мощности только сторонних сил. Значит, теплота производится только сторонними силами. Роль же электрического поля сводится к тому, что оно перераспределяет эту теплоту по различным участкам цепи.

Получим теперь уравнение (5.22) в локальной форме. Для этого умножим обе части. уравнения (5.11) на j, а также учтем, что 1/ и j 2 Q уд [см. (5.20)]. Тогда удельная тепловая мощность тока в неоднородной проводящей среде

§5.6. Переходные процессы в цепи

сконденсатором

Опереходных процессах. Так называют процессы при переходе от одного установившегося в цепи режима к другому. Примером таких процессов является зарядка и разрядка конденсатора, на них мы и остановимся более подробно в этом параграфе.

До сих пор мы рассматривали только постоянные токи. Оказывается, однако, что полученные законы во многих случаях можно применять и к изменяющимся токам. Это касается всех тех случаев, когда изменение тока происходит не слишком быстро. В этих случаях мгновенное значение тока будет практиче-

Продифференцировав (5.26) по времени, найдем закон изме-

где I0 q0/0 — сила тока в момент t 0. На рис. 5.11 показан график зависимости

q(t) — заряда на конденсаторе от времени. График зависимости I(t) имеет такой же вид.

Зарядка конденсатора. Рассмотрим цепь, содержащую последовательно соединенные конденсатор С, сопротивление R и источник э.д.с. (рис. 5.12). Первоначально конденсатор не заряжен (ключ K разомкнут). В момент t 0 ключ замкнули, и в цепи пошел ток, заряжающий конденсатор. Увеличивающиеся заряды на обкладках конденсатора будут все в большей степени препятствовать прохождению тока, постепенно уменьшая его.

Теперь ток в цепи будем считать положительным, когда он течет в направлении к положительно заря-

женной обкладке конденсатора: I dq/dt. Применим закон Ома для неоднородного участка цепи к участку 1ER2:

RI 1 – 2 + ,

где под R понимается полное сопротивление этого участка, включая внутреннее сопротивление источника э.д.с. Учитывая, что I dq/dt и 2 – 1 U q/C, перепишем предыдущее уравнение в виде

dq q/C . dt R

Разделение переменных дает

R dq dt.

q/C

Проинтегрировав это уравнение с учетом начального усло-

C #