84 Глава 3

формулы (2.2). Имея в виду, что на границе раздела проводника с диэлектриком есть как сторонние, так и связанные заряды ( и), придем к следующему выражению: Еn ( + )/ 0. С другой стороны, согласно (3.26) En = Dn/ 0 = / 0. Из этих двух уравнений находим: / = + , откуда

Видно, что поверхностная плотность связанного заряда в диэлектрике однозначно связана с поверхностной плотностью стороннего заряда на проводнике, причем знаки этих зарядов противоположны.

§ 3.6. Поле в однородном диэлектрике

Еще в § 2.1 было отмечено, что определение результирующего поля Е в веществе сопряжено с большими трудностями, поскольку мы не знаем заранее, как распределяются индуцированные заряды в веществе. Ясно только, что распределение этих зарядов зависит от природы и формы вещества, а также от конфигурации внешнего поля Е0.

Поэтому в общем случае решение вопроса о результирующем поле Е в диэлектрике наталкивается на серьезные трудности: определение макрополя Е связанных зарядов в каждом конкретном случае представляет собой, вообще говоря, сложную самостоятельную задачу — универсальной формулы для нахождения Е , к сожалению, нет.

Исключение составляет случай, когда все пространство, где имеется поле Е0, заполнено однородным изотропным диэлектриком. Рассмотрим этот случай более подробно. Представим себе заряженный проводник (или проводники) в вакууме — обычно сторонние заряды располагаются на проводниках. Как мы уже знаем, в состоянии равновесия поле внутри проводника Е = 0, это при определенном и единственном распределении поверхностного заряда . Пусть в окружающем проводник пространстве создано при этом поле Е0.

Теперь заполним все пространство, где есть поле, однородным диэлектриком. В таком диэлектрике вследствие его поля-

ризации появятся только поверхностные связанные заряды— на границе с проводником, причем заряды однозначно связаны со сторонними зарядами на поверхности проводника согласно (3.27).

Внутри же проводника поле по-прежнему будет отсутствовать (Е = 0). Это значит, что распределение поверхностных зарядов (сторонних + связанных ) на границе раздела проводника и диэлектрика будет подобно прежнему распределению сторонних зарядов ( ), и конфигурация результирующего поля Е в диэлектрике останется той же, что и при отсутствии диэлектрика. Изменится только значение поля в каждой точке.

Согласно теореме Гаусса + 0Еn, где Еn Dn/ 0 / 0,

Но если заряды, создающие электрическое поле, всюду на границе раздела уменьшились в раз, значит, и само поле Е тоже стало всюду меньше поля Е0 во столько же раз:

поле вектора D в рассматриваемом случае не меняется. Формулы (3.29) и (3.30), оказывается, справедливы и в бо-

лее общем случае, когда однородный диэлектрик целиком заполняет объем между эквипотенциальными поверхностями поля Е0 сторонних зарядов (или внешнего поля). И здесь внутри диэлектрика Е Е0/ и D D0. В указанных случаях напряженность Е поля связанных зарядов находится в простой связи с поляризованностью Р диэлектрика, а именно

Это соотношение легко получить из формулы Е Е0 + Е , если учесть, что Е0 Е и Р k 0Е.

В других случаях, как уже было отмечено, дело обстоит значительно сложнее, и формулы (3.29)–(3.31) становятся не справедливыми.

86 Глава 3

Следствия. Итак, если однородный диэлектрик заполняет все пространство, занимаемое полем, то напряженность Е поля будет в раз меньше напряженности Е0 поля тех же сторонних зарядов, но при отсутствии диэлектрика. Отсюда следует, что потенциал во всех точках также уменьшается в раз:

где 0 — потенциал поля в отсутствие диэлектрика. Это же относится и к разности потенциалов

где U0 — разность потенциалов в вакууме, без диэлектрика. В простейшем случае, когда однородный диэлектрик заполняет все пространство между обкладками конденсатора, разность потенциалов U между его обкладками будет в раз меньше, чем при отсутствии диэлектрика (разумеется, при том же значении заряда q на обкладках). А раз так, то емкость конденсатора (C = q/U) при заполнении его диэлектриком увеличится

в раз:

где С — емкость конденсатора без диэлектрика. Следует обратить внимание на то, что эта формула справедлива при заполнении всего пространства между обкладками конденсатора и без учета краевых эффектов.

С помощью некоторых диэлектриков (керамик) удалось создать конденсаторы емкостью в несколько фарад (!).

Задачи

3.1.Поляризованность диэлектрика и связанный заряд. Точечный сторонний заряд q находится в центре сферического слоя неоднородного изотропного диэлектрика, проницаемость которого изменяется только в радиальном направлении по закону /r, где — постоянная, r — расстояние от центра системы. Найти объемную плотность связанных зарядов как функцию r внутри слоя.

Решение. Воспользуемся уравнением (3.6), взяв в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом r, центр которой совпадает с

центром системы. Тогда

4 r2 · Pr q (r),

где q (r) — связанный заряд внутри этой сферы. Запишем дифференциал этого выражения:

4 d(r2Pr) dq . (1)

Здесь dq — связанный заряд в тонком слое между сферами радиусов r и r + dr. Имея в виду, что dq = r 4 r2dr, преобразуем (1) к виду

r2dPr + 2rPr dr = – r2dr,

и выражение (2) после соответствующих преобразований будет иметь вид

1q

4 r 2 .

Это и есть искомый результат.

3.2.Теорема Гаусса для вектора D. Бесконечно большая пластина из однородного диэлектрика с проницаемостью заряжена равномерно сторонним зарядом с объемной плотностью > 0. Толщина пластины 2а. Найти:

1) модуль вектора Е и потенциал как функции расстояния l от середины пластины (потенциал в середине пластины положить равным нулю); взяв координатную ось Х перпендикулярно пластине, изобразить примерные графики зависимостей проекции Еx(х) вектора Е и потенциала (х);

2) поверхностную и объемную плотности связанного заряда.

Решение. 1. Из соображений симметрии ясно, что в середине пластины Е = 0, а во всех остальных точках вектор Е перпендикулярен поверхности пластины. Для определения Е воспользуемся те-

оремой Гаусса для вектора D (ибо нам известно распределение только сторонних зарядов). Возьмем в качестве замкнутой поверхности прямой цилиндр высотой l, один торец которого совпадает со средней плоскостью пластины. Пусть площадь сечения этого цилиндра равна S, тогда

сторонний заряд > 0, то на обеих поверхностях пластины выступит также положительный связанный заряд.

Для определения объемной плотности связанного заряда воспользуемся уравнением (3.9), которое в нашем случае будет иметь наиболее простой вид:

Отсюда видно, что связанный заряд распределен по объему равномерно и имеет знак, противоположный стороннему заряду.

3.3.Однородный диэлектрик имеет вид сферического слоя, внутренний и внешний радиусы которого равны а и b. Изобразить примерные графики напряженности Е и потенциала электрического поля как функции расстояния r от центра системы, если данному диэлектрику сообщили положительный сторонний заряд, распределенный равномерно: 1) по внутренней поверхности слоя;

2)по объему слоя.

Решение. 1. Воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D, взяв в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом r:

4 r2D = q,

где q — сторонний заряд внутри этой сферы. Отсюда следует, что

D(r < a) = 0, D(r > a) = q/4 r2.

Искомая напряженность

E(r < a) = 0, E(r > a) = D/ 0.

График зависимости Е(r) показан на рис. 3.12, а. На этом же рисунке изображен и график зависимости от r. График (r) должен иметь такой вид, чтобы производная д /дr, взятая с обратным знаком, соответствовала графику функции Е(r).

Следует обратить внимание на то, что график (r) является непрерывным. В местах конечных разрывов функции Е(r) график (r) испытывает лишь изломы.

2. В данном случае согласно теореме Гаусса

4 r2D = 4/3 (r3 – a3) ,

где — объемная плотность стороннего заряда. Отсюда

Графики зависимостей Е(r) и (r) показаны на рис. 3.12, б.

3.4.Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью > 0 по шару радиусом а из однородного диэлектрика с проницаемостью . Найти: 1) модуль вектора Е как функцию расстояния r от центра шара, изобразить примерные графики функции Е(r) и потенциала (r); 2) поверхностную и объемную плотности связанных зарядов.

Решение. 1. Для определения Е воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D, поскольку задано распределение лишь сторонних зарядов:

90 Глава 3

Этот результат можно получить и иначе — с помощью уравнения (3.9). А именно, так как Р = k 0E и k не зависит от координат (внутри шара), то

–D · P –k 0D · E,

где 0D · Е = + . Поэтому = – k ( + ), откуда и следует (1).

3.5.Емкость проводника. Найти емкость шарового проводника радиусом а, окруженного примыкающим к нему слоем однородного диэлектрика с наружным радиусом b и проницаемостью . Изобразить примерные графики зависимостей поля Е(r) и потенциала(r), где r — расстояние от центра шара, если проводник заряжен положительно.

Решение. По определению, емкость С = q/ . Найдем потенциал проводника, мысленно сообщив ему заряд q:

После интегрирования этого выражения получим:

Графики зависимостей E(r) и (r) показаны на рис. 3.14.

3.6.Емкость конденсатора. Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и b, где а < b, заполнен изотропным, но неоднородным диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до цент-

ра системы как /r, — постоянная. Найти емкость такого конденсатора.

Решение. Согласно определению емкости конденсатора (C = q/U) задача сводится к нахождению разности потенциалов U при заданном заряде q:

где предполагается, что внутренняя обкладка имеет заряд q > 0. Определим Е с помощью теоремы Гаусса для вектора D:

После подстановки последнего выражения в (1) и соответствующего интегрирования найдем:

3.7.Теорема Гаусса и принцип суперпозиции. Имеется диэлектрический шар, который сохраняет состояние поляризации после выключения внешнего электрического поля. Если шар поляризован однородно, то напряженность поля внутри него Е = –Р/3 0, где

Р— поляризованность.

1.Получить эту формулу, считая что так поляризованный шар есть результат малого сдвига всех положительных зарядов диэлектрика относительно всех отрицательных зарядов.

2.Воспользовавшись этой формулой, найти напряженность E0 поля в сферической полости внутри безграничного статически поляризованного (Р) диэлектрика, если вдали от полости напряженность в диэлектрике равна Е.

Решение. 1. Представим такой шар в виде двух шаров одинакового радиуса, имеющих равномерно распределенные заряды с плот-

ностями и – . Пусть в результате малого сдвига центры шаров сместились относительно друг друга на расстояние l (рис. 3.15). Тогда в произвольной точке А внутри шара

где использовано, что напряженность поля внутри равномерно заряженного шара Е = = r/3 0, это непосредственно следует из тео-

ремы Гаусса. Остается учесть, что, согласно (3.4), l = P.

2. Создание сферической полости в диэлектрике эквивалентно удалению шарика из поляризованного вещества. Поэтому по принципу суперпозиции поле Е внутри диэлектрика может быть представлено как сумма Е = Е + Е0. Отсюда

E0 E E E P/3 0 .

Т.е. поле в сферической полости больше поля Е в диэлектрике на величину Р/3 0.

3.8.Граничные условия. Вблизи точки А (рис. 3.16) границы раздела диэлектрик — вакуум напряженность электрического поля в ва-

кууме равна E0, причем вектор Е0 составляет угол 0 с нормалью к поверхности раздела в данной точке. Проницаемость диэлектрика. Найти отношение Е/Е0, где Е — напряженность поля внутри диэлектрика вблизи точки А.

Воспользовавшись условиями (3.22) и (3.24) на границе раздела диэлектриков, найдем:

E0 E0 sin 0, En Dn/ 0 E0n/ (E0/ ) cos 0,

где E0n — нормальная составляющая вектора Е0 в вакууме. Подставив эти выражения в (1), получим

т. e. Е < E0 .

Решение. 1. Воспользуемся непрерывностью нормальной составляющей вектора D на границе диэлектрика (рис. 3.17):

где слагаемое /2 0 — это составляющая напряженности поля, создаваемая вблизи рассматриваемого участка плоскости, на котором поверхностная плотность заряда равна . Из последнего уравнения следует, что

Здесь учтено, что cos l/r. При l 0 величина 0, т. е. если заряд q находится на самой границе раздела, то поверхностный заряд на плоскости отсутствует.

2. Рассмотрим тонкое кольцо на границе раздела с центром в точке О (рис. 3.17). Пусть внутренний и внешний радиусы этого ко-

льца r и r + dr . Поверхностный связанный заряд в пределах данного кольца dq · 2 r dr . Из рисунка видно, что r2 = l2 + r 2, от-

куда r dr =r dr , и выражение для dq с учетом (1) приобретает вид

Проинтегрировав это уравнение по r от l до %, получим

q 1 q .

1

3.10.Точечный заряд q находится на плоскости, отделяющей вакуум от безграничного однородного диэлектрика с проницаемостью . Найти модуль векторов D и E во всем пространстве.

Решение. В данном случае из условия непрерывности нормаль-

ной составляющей вектора D следует, что E2n E1n. Вклад в нормальную составляющую вектора Е будет давать только повер-

хностный заряд вблизи интересующей нас точки, поэтому предыдущее равенство можно переписать так:

/2 0 (– /2 0).

Отсюда сразу видно, что 0.

Итак, в данном случае поверхностный связанный заряд отсутствует (кроме точек, непосредственно прилегающих к точечному стороннему заряду q). Значит, электрическое поле в окружающем пространстве — это поле точечного заряда q + q , и E зависит только от расстояния r до этого заряда. Но заряд q нам не известен, поэтому воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D. Взяв в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом r с центром в точке нахождения заряда q, запишем

2 r2D0 + 2 r2D q,

где D0 и D — модули вектора D соответственно в вакууме и диэлектрике на расстоянии r от заряда q.

Кроме того, из условия непрерывности тангенциальной составляющей вектора Е следует, что

и напряженность электрического поля во всем пространстве

Видно, что при = 1 эти формулы переходят в известные нам выражения для D и Е точечного заряда в вакууме.

Полученные результаты графически представлены на рис. 3.18. Следует обратить внимание на то, что поле D в данном случае определяется не только сторонними зарядами (иначе оно имело бы вид поля точечного заряда).

Рис. 3.18