Это значит, что на границе раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора Р испытывает разрыв, величина которого зависит от . В частности, если среда 2 вакуум, то Р2n = 0, и условие (3.12) приобретает более простой вид:

где Рп — проекция вектора Р на внешнюю нормаль к поверхности данного диэлектрика. Знак проекции Рn определяет и знак поверхностного связанного заряда в данном месте. Последнюю формулу можно представить в другом виде, а именно в соответствии с формулой (3.5) можно записать:

где Еп — проекция вектора Е (внутри диэлектрика вблизи от его поверхности) на внешнюю нормаль. Здесь также знак Еп определяет знак .

Замечание о поле вектора Р. Соотношения (3.6) и (3.13) нередко дают основание ошибочно думать, что поле вектора Р зависит только от связанных зарядов. На самом деле это не так. Поле вектора Р, как и Е, зависит от всех зарядов, как связанных, так и сторонних, об этом говорит хотя бы уже тот факт, что векторы Р и Е связаны друг с другом соотношением Р = k 0E. Связанные заряды определяют не поле вектора Р, а лишь поток этого вектора сквозь замкнутую поверхность S. Более того, этот поток определяется не всеми связанными зарядами, а только теми, которые охватывает поверхность S.

§ 3.4. Вектор D

Теорема Гаусса для поля вектора D. Поскольку источниками поля Е являются все электрические заряды — сторонние и связанные, теорему Гаусса для поля Е можно записать так:

где q и q — сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхностью S. Появление связанных зарядов q усложняет дело, и формула (3.15) оказывается малополезной для нахож-

дения поля Е в диэлектрике даже при «достаточно хорошей» симметрии. Действительно, эта формула выражает свойства неизвестного поля Е через связанные заряды q , которые в свою очередь определяются неизвестным полем Е.

Это затруднение, однако, можно обойти, если выразить заряд q через поток вектора Р по формуле (3.6). Тогда выражение (3.15) можно преобразовать к такому виду:

Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой D. Итак, мы нашли вспомогательный вектор D:

поток которого сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью:

Это и есть теорема Гаусса для поля вектора D.

Заметим, что вектор D представляет собой сумму двух совершенно различных величин: 0Е и Р. Поэтому он действительно вспомогательный вектор, не имеющий какого-либо глубокого физического смысла. Однако свойство поля вектора D, выражаемое уравнением (3.18), оправдывает введение этого вектора: во многих случаях он значительно упрощает изучение поля в диэлектриках*.

Соотношения (3.17) и (3.18) справедливы для любого диэлектрика, как изотропного, так и анизотропного.

Как видно из выражения (3.17), размерность вектора D та же, что и вектора Р. Единицей величины D служит кулон на квадратный метр (Кл/м2).

*Величину D часто называют электрическим смещением или электрической индукцией, однако мы не будем пользоваться этими терминами, чтобы лишний раз подчеркнуть вспомогательный характер вектора D.

т. е. дивергенция поля вектора D равна объемной плотности стороннего заряда в той же точке.

Это уравнение можно получить из (3.18) тем же способом, как это было проделано в случае поля Е (см. с. 23). Достаточно в проводимых там рассуждениях заменить Е на D и учесть лишь сторонние заряды.

В тех точках, где дивергенция D положительна, мы имеем источники поля D ( > 0), а в тех точках, где она отрицательна, — стоки поля D ( < 0).

Связь между векторами D и Е. В случае изотропных диэлектриков поляризованность Р k 0Е. Подставив это соотношение в (3.17), получим D 0(1 + k)Е, или

Диэлектрическая проницаемость (как и k) является основной электрической характеристикой диэлектрика. Для всех веществ > 1, для вакуума 1. Значения зависят от природы диэлектрика и колеблются от величин, весьма мало отличающихся от единицы (газы) до многих тысяч (у некоторых керамик). Большое значение имеет вода ( 81).

Из формулы (3.20) видно, что в изотропных диэлектриках вектор D коллинеарен вектору Е. В анизотропных же диэлектриках эти векторы, вообще говоря, не коллинеарны.

Поле вектора D наглядно можно изобразить с помощью линий вектора D, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий вектора Е. Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах; мы говорим, что источниками и стоками поля Е являются любые заряды. Источниками же и стоками поля вектора D являются только сторонние заряды: только на них могут начинаться и заканчиваться линии вектора D. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.

Замечание о поле вектора D. Поле вектора D зависит, вообще говоря, как от сторонних, так и от связанных зарядов (как и поле вектора Е). Об этом говорит уже соотношение D 0Е. Однако в некоторых симметричных случаях поле вектора D можно определить, используя только сторонние заряды. Именно для таких случаев вектор D является особенно полезным, резко упрощая расчет. Вместе с тем это дает повод довольно часто ошибочно думать, что поле D якобы зависит всегда только от сторонних зарядов, и неверно трактовать законы (3.18) и (3.19). Эти законы выражают только определенное свойство поля вектора D, само же поле этого вектора они не определяют.

Проиллюстрируем вышесказанное на нескольких примерах.

Пример 1. Точечный сторонний заряд q находится в центре шара радиусом а из однородного изотропного диэлектрика проницаемости . Найти напряженность Е поля как функцию расстояния r от центра данного шара.

Симметрия системы позволяет для решения интересующего нас вопроса использовать теоре-

му Гаусса для вектора D (воспользоваться аналогичной теоремой для поля Е здесь не представляется возможным, поскольку нам не известен связанный заряд). Для сферы радиусом r с центром в точке нахождения заряда q можно записать: 4 r2Dr q. Отсюда находим Dr и по формуле (3.20) иско-

Графики зависимостей D(r) и Е(r) показаны на рис. 3.4.

Пример 2. Пусть система состоит из точечного заряда q > 0 и произвольного куска однородного изотропного диэлектрика (рис. 3.5), где S — некоторая замкнутая поверхность. Выясним, что произойдет с полем векторов E и D, а также с их потоками сквозь

поверхность S, если диэлектрик Рис. 3.5 удалить.