Добавил:

AAA1 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1-1 Высшая математика / visshaya_matematika_chast_IV

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.01.2021

Размер:

10.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 5636 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

§2. Матриці. Системи лінійних рівнянь	351

Продовження таблиці 2.2

I. Методирозв’язання

невироджених квадратних систем рівнянь AX = B , det A ≠ 0

Матричний метод

X = A−1B ;

урозгорнутомувигляді:

...

A12

A22

...

An2

det A ... ... ... ...

A1n

A2n

...

Ann

ФормулиКрамера

∆ i

i =

∆ =

det A

– визначник системи,

1, n

∆

∆ i – визначники, отримані з ∆

заміною

i-го стовпця стовпцем вільних

членів.

a11

a12 ...

a1n

a11

… a1i−1

a1i+1

… a1n

∆ =

a21

a22 ...

a2n

∆ i=

a21

… a2i−1

a2i+1

… a2n

... ... ... ...

an1

an2 ... ann

an1

… ani−1 bn

ani+1

… ann

II. Методирозв’язання

довільних систем лінійнихрівнянь AX = B

Метод Гаусса

За допомогою елементарних перетворень рядків розширеної матриці A , ця матриця перетворюється до східчастої (трапецієвидної) форми:

		a′	a′	...	a′	a′	...	a′	b′
		a′	a′	...	a′	a′	...	a′	b′
		11	12		1r	1r+1		1n	1
		0	a′	...	a′	a′	...	a′	b′
			22		2r	2r+1		2n	2
	...		... ... ...			...	... ...		...
		0	0	...	′	′	...	′	′
					′	′		′	′
A = (A \| B)					arr	arr+1		arn	br	.
		0	0	...	0	0	...	0	b′
			... ... ...			...	... ...		r+1
	...		... ... ...			...	... ...		...
		0	0	...	0	0	...	0	b′
									m
									m

352	Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 2.2

Мають місце такі можливості:
1.	Хоча б одне з чисел bi′ ≠ 0, i=					Rg≠A Rg			, система
				r+ 1, m				A
несумісна.
2.	Усі числа bi′ = 0, i =			Rg A=	Rg		r , система сумісна:
			r +1, m			A=
	а) r = n	система має єдиний розв’язок;
	б) r < n	система має безліч розв’язків.

Тут m – число рівнянь, а n – число невідомих усистемі.

У випадкусумісності системи ставимо увідповідність отриманій матриці спрощенусистемулінійнихрівнянь:

a′ x

+ a′ x

+... + a′ x

+ a′

+... + a′ x

= b′

;

11 1

12 2

1r r

1n n

a′ x

+...+ a′ x

+ a′

+... + a′ x

= b′

;

22 2

2r r

2r+1

r+1

2n n

......................................................................

a′ x

+ a′

+...+ a′ x

= b′ .

rr r

rr+1

r+1

rn n

Або, після перетворення (залишаючи базисні змінні зліва, вільні – справа), маємо:

a′ x	+ a′ x	+... + a′ x	= b′ − a′		x	−...− a′			x ;
11 1	12 2	1r r	1	1r+1	r+1			1n n
	a′ x	+...+ a′ x	= b′	− a′	x			−...− a′ x ;
	22 2	2r r	2	2r+1 r+1					2n n
	......................................................................

		a′ x	= b′	− a′	x		−...− a′ x .
		rr r	r	rr+1 r+1					rn n

Цюсистемурозв’язуємо, починаючи знизувгору. У результаті отримуємо або єдинийрозв’язок, або безліч розв’язків, які записуються увигляді

загального розв’язку:
X (с , с	, ... , с	)	= (x (с , ... , с		), ... ,	x (с , ... , с			), с , ... , с		)T .
1 2	n−r		1 1	n−r		r	1	n−r	1	n−r
Тут перепозначено xr+1 = с1 , ... ,				xn = сn−r ;			c1 , c2 , ... , cn−r			R

Метод Жордана-Гаусса (повного виключення)

Метод є модифікацією методуГаусса. Суть методуполягає утому, що в

результаті елементарних перетворень рядків матриці A , в ній виділяється

діагональна (одинична) підматриця r -го порядку (улівомуверхньому куті), завдяки чомувигляд і розв’язок отриманої системи спрощується

III. Методирозв’язання однорідних систем AX = 0

Методианалогічні методам розв’язання неоднорідних систем з урахуванням того, що система AX = 0 завжди сумісна, бо має тривіальний розв’язок X = 0 , і має нетривіальні розв’язки, тобто безліч розв’язків, якщо Rg A = r < n , де n – число невідомих усистемі.

§3. Основні формули векторної алгебри

353

§3. Основні формули векторної алгебри

Таблиця 3.1

Величина

або співвідношення,

Формула

що визначаються

Сума векторів

a + b = (ax + bx )i + (ay + by ) j + (az

+ bz )k .

Добуток вектора на

α a= α

a +i α

a+jα

k .

число

Скалярний добуток

(a, b) = ab =

cos ϕ

;

векторів

(a, b) = axbx + ayby

+ azbz .

Векторний добуток

[a, b] = a × b=

векторів

Мішаний добуток

(a, b, c) =

векторів

Подвійний векторний

a ×

(b×

c=)

b(a c−)

c(a b) ;

добуток

(a × b)×

b(a c−)

a(b c) .

Довжина вектора

(a, a) = ax2 + ay2 + az2 .

Відстань між точками

M1(x1, y1, z1) та

ρ (M1, M2 )= (x2− x1 )2+ ( y2− y1 )2+ (z2− z1)2 .

M2 (x2 , y2 , z2 )

cos ϕ =

(a, b)

;

Кут між векторами

cos ϕ =

axbx

+ ayby + azbz

+ a2

b2 + b2 + b2

354

Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 3.1

Координати точки, що

r =

r1 + λ r2

;

1+ λ

ділить відрізок у даному

x + λ x

y + λ y

z+ λ z

відношенні λ

x =

y =

z =

1+ λ

+1 λ

Площа паралелограма та

трикутника,

Sпар =| a × b | ;

Sтр =

| a × b | .

побудованих на векторах

a та b

Об’єм паралелепіпеда та

піраміди, побудованих

Vпарал =| (a, b, c) | ;

Vпір =

| (a, b, c) | .

на векторах a, b, c

Колінеарність та

a || b

×a =b

;

ортогональність двох

векторів

(a,=b)

0, ax+bx

ay+by

az=bz 0 .

Компланарність трьох

(a,b,c) = 0;

= 0 .

векторів

Формули перетворення координат на площині

Паралельний перенос

x1 = x − a x

= x1 + a

початку системи

y1 = y − b,

= y1

+ b.

координат уточку (a,b)

Поворот системи

x1 =

x cosα +

y sinα

x1 cosα −

y1 sinα

координат на кут α

y1 = −x sin α +

y cosα

x1 sinα +

y1 cosα .

x1 =

(x − a)cos α +

(y− b)sinα

Загальні формули

y = −(x − a)sin α +

( y−

b)cosα

(паралельний перенос та

поворот)

x = a + x1 cos α −

y1 sinα

y = b + x1 sin α +

y1 cosβ .

§4. Основні формули аналітичної геометрії	355

§4. Основні формули аналітичної геометрії

Таблиця 4.1 – Пряма на площині

Вигляд рівняння

Назва рівняння

Пояснення

прямої l

Рівняння прямої, що

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0

проходить через

n l ; n = ( A, B ) ,

точку M0 ( x0 , y0 )

l .

перпендикулярно до

вектора n

A x + B y + C = 0

Загальне рівняння

n l ,

n = ( A, B )

Рівняння прямої з

k = tgα

– кутовий кое-

y = kx + b

кутовим

фіцієнт,

Ox ) ;

α = ( l ,

коефіцієнтом

точка ( 0, b )

l .

Рівняння прямої, що

M0 ( x0 , y0 ) l ,

y − y0 = k( x − x0 )

має кутовий

коефіцієнт k та

k = tgα ,

Ox ) .

проходить через

α =

( l ,

задануточку

x − x0

y − y0

Канонічне рівняння

M0 ( x0 , y0 ) l ,

прямої

s || l ;

s = ( m, n) .

x = x0 + mt ;

Параметричні

M0 ( x0 , y0 )

l ,

рівняння прямої

s || l ; s = ( m , n ) ,

R .

y = y0 + nt .

= 1

Рівняння прямої у

Точки (a , 0) , (0, b)

l .

відрізках

x − x

− y

Рівняння прямої,

M1( x1 , y1 )

l ,

що проходить

M2 ( x2 , y2 ) l .

x2 − x1

− y1

через дві точки

x cosα

+ y cosβ

− p = 0

Нормальне

n = ( cosα ,cosβ ) , n l ,

рівняння прямої

p = ρ (O ,l ) ≥

0 .

Відстань від точки M0 ( x0 , y0 ) до прямої l

l : A x + B y + C = 0

ρ ( M0 ,l ) =

A x0 + B y0 + C

A2 + B2

l : x cos α

+ y cosβ

− p = 0

ρ ( M0 ,l ) =

x0 cosα + y0 cosβ − p

356	Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 4.1

Кут між прямими l1

та l2 на площині

l1 : y = k1x + b1

tgϕ =

k2 − k1

: y = k

x + b

1 + k

l : A x + B y + C = 0

cosϕ

( n1 , n2 )

A1A2 + B1B2

: A2 x + B2 y + C2 = 0

|n1 ||n2 | =

A12 + B12

A22 + B22 .

Паралельність та перпендикулярність прямих l1

та l2

на площині

l1 || l2

l1 l2

l1 : y = k1x + b1

k1 = k2 .

k1k2 = −1 .

l2 : y = k2 x + b2

l1 : A1x + B1y + C1 = 0

n1 × n2 = 0 ;

( n1 , n2 ) = 0 ;

: A x + B y + C

= 0

A A + B B = 0 .

l :

x − x1

y − y1

s × s

= 0 ;

( s , s

) = 0 ;

x − x2

y − y2

m m + n n

= 0 .

Таблиця 4.2 – Площина у просторі

Вигляд рівняння

Назва рівняння

Пояснення

площини P

Рівняння площини, що

M0 ( x0 , y0 , z0 ) P ,

A( x − x0 ) + B( y − y0 ) +

проходить через точку

+C( z − z0 ) = 0

M0 перпендикулярно

P ,

n = ( A, B,C ) .

до вектора n

A x + B y + C z + D = 0

Загальне рівняння

P ,

n = ( A, B,C ) .

Рівняння площини у

Точки ( a ,0,0 ) ,

= 1

відрізках

( 0,b,0 ) , ( 0,0, c ) P .

x − x

y − y

z − z

Рівняння площини, що

M1( x1 , y1 , z1 ) P ,

проходить через задані

M2 ( x2 , y2 , z2 ) P ,

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

= 0

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

точки M1 , M2 , M3

M3( x3 , y3 , z3 ) P .

§4. Основні формули аналітичної геометрії	357

Продовження таблиці 4.2

P : xcosα

+ ycosβ

Нормальне рівняння

n = (cos α

,cos β

,cosγ ) ,

+ zcosγ − p = 0

площини

P, p = ρ (O,l ) ≥

0 .

Відстань від точки M0 ( x0 , y0 , z0 ) до площини

P : Ax + B y + C z + D = 0

ρ ( M0 , P ) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B2 + C2

P : x cosα

+ y cosβ +

ρ ( M0 , P ) =

x0 cosα

+ y0 cosβ + z0 cos γ − p

+ z cos γ − p = 0

Кут між площинами P1 та P2

P1 : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0

cosϕ =

(n ,n

)

A A + B B +C C

1 2

P2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

|n1 | |n2 |

A12 + B12 +C12 A22 + B22 +C22

Паралельність та перпендикулярність площин P1 та P2

P1 || P2

P1 : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0

n × n

0 ;

( n , n

) = 0 ;

P :

A x + B y + C

z + D = 0

A A

+ B B

+ C C

0 .

Таблиця 4.3 – Пряма у просторі

Вигляд рівняння

Назва рівняння

Пояснення

прямої L .

A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

Загальні рівняння

Пряма визначається

перетином двох

A x + B y + C

z + D

= 0.

прямої

непаралельних площин

x = x0 + mt ;

Параметричні

Точка A(x0 , y0 , z0 )

L ,

y = y0 + nt ;

s || l ; s = ( m, n , p ) ,

рівняння прямої

z = z0

+ pt .

t R .

x − x0

y − y0

z − z0

Канонічні рівняння

A( x0 , y0 , z0 ) L ,

s || l ;

s = ( m, n , p ) .

прямої

x − x

y − y

z − z

Рівняння прямої, що

( x , y , z )

L ,

проходить через дві

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

точки M1 , M2

M2 ( x2 , y2 , z2 )

L .

358

Глава 7. Довідковий матеріал

Продовження таблиці 4.3

Відстань від точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) до прямої

L :

x − x1

= y − y1

= z − z1

ρ ( M 0 , L ) =

A M 0 ×

s |

|s |

A( x1 , y1 , z1 ) L , s = ( m , n , p ) .

Кут між прямими L1

та L2

x − x1

y − y1

= z − z1

( s1 , s2 )

m1m2 + n1n2 + p1 p2

cosϕ = |s

| |s

| =

2 .

x − x2

y − y2

z − z2

+ n

+ p

+ n

+ p

Кут між прямою L та площиною Q

L :

x − x1

y − y1

z − z1

sin ϕ

| Am + Bn + Cp|

A2 +

B2 + C 2 m2 + n2 + p2

Q : Ax + By + Cz + D = 0

Відстань між двома мимобіжними прямими

x − x1

y − y1

z − z1

ρ ( L , L

|( A A , s , s

;

1 2 1

1 2

|s × s

x − x

2 =

y − y

2 =

z − z

A ( x , y , z ) L

A ( x

, y

, z

) L

;

1 1 1 1

s = ( m

, n ,

p ) , s

= ( m

, n

, p

) .

Паралельність

та

перпендикулярність

прямих

та

L1 || L2

x − x1 =

y − y1 = z − z1

s × s

0 ;

( s , s

) = 0 ;

L2 : x − x2 =

y − y2 = z − z2

m1 = n1 = p1 .

m m

+ n n

+ p p

=0 .

Паралельність

та

перпендикулярність прямої

L та

площини

L || Q

L :

x − x1

= y − y1

= z − z1

( s , n ) = 0 ;

s × n = 0 ;

Q : Ax + By + Cz + D = 0

A m + B n + C p = 0 .

m = n = p .

§4. Основні формули аналітичної геометрії	359

Таблиця 4.4 – Криві другого порядку

Назва кривої

Канонічне рівняння

Коло

x2 + y2 = r2

Еліпс

= 1

Гіпербола

−

= 1

Парабола

y2 = 2 p x ,

p > 0

Таблиця 4.5 – Поверхні другого порядку

Назва поверхні

Канонічне рівняння

Сфера

x2 + y2 + z2 = R2

Еліпсоїд

= 1

Гіперболоїди:

а) однопорожнинний

−

= 1

гіперболоїд;

б) двопорожнинний

гіперболоїд

−

= −1

Параболоїди:

= 2z,

pq > 0

а) еліптичний

параболоїд;

б) гіперболічний

= 2z,

pq > 0

параболоїд

−

Циліндри:

x2 + y2

= 1

а) еліптичний;

б) гіперболічний;

a2 − b2

= 1

в) параболічний

y2 = 2 px

Конічна поверхня

−

= 0

360

Глава 7. Довідковий матеріал

§5. Границі. Неперервність

Таблиця 5.1

Поняття

Формула

або

співвідношення,

що визначаються

Число e

lim

= e

n→

∞

lim c f (x) = c lim

f (x),

c = const ;

Границя

x →

x → a

суми,

lim[ f (x) ± g(x)] = lim

f (x) ± lim g(x) ;

добутку,

x→ a

x→

lim[ f (x) g(x)] = lim

f (x) lim g(x) ;

частки

за умови: lim f (x) ,

x → a

x →

x→

lim

f (x)

x→ a

f (x)

lim g(x)

lim

x →

, lim g(x) ≠ 0

g(x)

lim g(x)

x→ a

x →

Перша важлива

lim

sin x

= 1

границя

x →

Наслідки з першої

lim

arcsin x

= 1 ;

x →

важливої границі

lim

tg x

1 ;

lim

arctg x

= 1

x →

Друга важлива

границя

lim

= e

x→

∞

lim (1+ x)

= e ;

Наслідки з другої

x →

loga (1+ x)

ln (1+ x)

важливої границі

lim

;

lim

= 1;

x →

ln a

x →

lim

a x −1

= lna

;

lim

ex −1

x→ 0

x→

lim

+ x)µ −1

= µ

x →

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 5636 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1-1 Высшая математика

#
31.01.202141.44 Кб55325.jpg
#
31.01.202110.43 Кб56Individual work 1.pdf
#
31.01.202187.04 Кб56Individual work 2.doc
#
31.01.202153.25 Кб66REKOMENDOVANA_LITERATURA-1.doc
#
31.01.202128.67 Кб56Titul.doc
#
31.01.202110.23 Mб87visshaya_matematika_chast_IV.pdf
#
31.01.2021539.08 Кб55ВМ - график консультаций.jpg
#
31.01.2021458.12 Кб55ВМ - для идиотов.jpg